a,b,c,d,e 可取值 -1,0,1，满足 a+b^2+c^3+d^4+e^5=2，(a,b,c,d,e)有几组不同的取法？

Nicolas2050

论坛里许多业余数学爱好者，都自认为有数学天赋，来做做美帝的小学数学。

Nicolas2050

答案可以给出： 0.0112、55

波斯猫猫

题：a,b,c,d,e 可取值 -1,0,1，满足 a+b^2+c^3+d^4+e^5=2，(a,b,c,d,e)有几组不同的取法？

思路：(b^2+d^4)+(a+c^3+e^5)=2.

（1）(b^2+d^4)中两个1，其余为0，有4组不同的取法；

（2）(a+c^3+e^5)中两个1，其余为0，有3组不同的取法；

（3）(b^2+d^4)与(a+c^3+e^5)中各一个1，其余为0，有4x3组不同的取法；

（4）(b^2+d^4)中两个1，(a+c^3+e^5)中一个1、一个-1，其余为0，有4x3x2组不同的取法；

（5）(b^2+d^4)中一个1，(a+c^3+e^5)中两个1、一个-1，其余为0，有4x3x1组不同的取法。

综上，满足条件的共有55组不同的取法。

luyuanhong

fungarwai

\((x^{-1}+1+x)^3 (1+2x)^2\)
\(=4 x^5 + 16 x^4 + 37 x^3  + 55 x^2  + 58 x + 43 + \frac{22}{x}+ \frac{7}{x^2}+ \frac{1}{x^3}\)

\((1+x)^5 (1+x^5)^4 (1+x^{10})^3\)
\(=x^{55} + 5 x^{54} + 10 x^{53} + 10 x^{52} + 5 x^{51} + 5 x^{50} + 20 x^{49} + 40 x^{48} + 40 x^{47} + 20 x^{46} + 13 x^{45} + 45 x^{44} + 90 x^{43} + 90 x^{42} + 45 x^{41} + 25 x^{40} + 80 x^{39} + 160 x^{38} + 160 x^{37} + 80 x^{36} + 38 x^{35} + 110 x^{34} + 220 x^{33} + 220 x^{32} + 110 x^{31} + 46 x^{30} + 120 x^{29} + 240 x^{28} + 240 x^{27} + 120 x^{26} + 46 x^{25} + 110 x^{24} + 220 x^{23} + 220 x^{22} + 110 x^{21} + 38 x^{20} + 80 x^{19} + 160 x^{18} + 160 x^{17} + 80 x^{16} + 25 x^{15} + 45 x^{14} + 90 x^{13} + 90 x^{12} + 45 x^{11} + 13 x^{10} + 20 x^{9} + 40 x^{8} + 40 x^{7} + 20 x^{6} + 5 x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1\)

fungarwai

\([x^{30}](1+x)^5(1+x^5)^4(1+x^{10})^3\)
\(=[x^{30}](1+x^5)(1+x^5)^4(1+x^{10})^3\)
\(=[x^{30}](1+x^5)^5(1+x^{10})^3\)
\(=[x^{30}](1+5x^5+10x^{10}+10x^{15}+5x^{20}+x^{25})(1+x^{10})^3\)
\(=[x^{30}](1+10x^{10}+5x^{20})(1+x^{10})^3\)
\(=[x^{30}](1+10x^{10}+5x^{20})(1+3x^{10}+3x^{20}+x^{30})\)
\(=1+30+15=46\)

fungarwai

\([x^2](x^{-1}+1+x)^3 (1+2x)^2\)
\(=[x^2](x^{-2}+2x^{-1}+3+2x+x^2)(x^{-1}+1+x) (1+2x)^2\)
\(=[x^2](x^{-3}+3x^{-2}+6x^{-1}+7+6x+3x^2+x^3)(1+4x+4x^2)\)
\(=28+24+3=55\)

王守恩

挺不错的题目。往前走一走。

\(a_{k} 可取值 -1,0,1,\ 满足S(n)=a_{1}^1+a_{2}^2 +a_{3}^3+...+a_{k}^k +...+a_{n}^n=2,\ S(n)有几组不同的取法？\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-3 07:28
挺不错的题目。往前走一走。

\(a_{k} 可取值 -1,0,1,\ 满足S(n)=a_{1}^1+a_{2}^2 +a_{3}^3+...+a_{k}^k  ...

接8#。能给出前面若干项吗？
这数字串长得太快了，手工不好找规律。OEIS没有相同的数字串。

谢谢Nicolas2050！谢谢爬楼梯的计算程序！这次好像不是爬楼梯的计算程序。

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-6 09:50
接8#。能给出前面若干项吗？
这数字串长得太快了，手工不好找规律。OEIS没有相同的数字串。

谢谢Nicolas2050！谢谢爬楼梯的计算程序！这次好像不是爬楼梯的计算程序。
a,b,c,d,e 可取值 -1,0,1，满足 a+b^2+c^3+d^4+e^5=2，(a,b,c,d,e)有几组不同的取法？


                        1,   1,    1,
                      1,   3,    3,      2,
                   1,  4,     7,     8,      5,      2,
                1,  6,   15,   22,     21,    12,     4,
             1,   7,   22,   43,   58,     55,    37,    16,    4,
          1,  9,   36,   87,  144,   171,  147,    90,    36,    8,
       1,  10, 46,  132,  267,  402,  462,  408,   273,  134,   44,   8,
    1,  12, 66, 224,  531,  936, 1266, 1332, 1089,  680, 312,  96,  16,
  1, 13, 79, 302,  821,1691,2733,3534,  3687, 3101,2081,1088, 424,112,16,
1,15,105,460,1425,3333,6115,9000,10755,10475,8283,5250,2600,960,240,32,
........

说明 1，
第2行：3=2*1+1,3=2*1+1,2=2*1
第3行：4=1+3,7=1+3+3,8=3+3+2,5=3+2,2=2
第4行：6=2*1+4,15=2*4+7,22=2*7+8,21=2*8+5,12=2*5+2,4=2*2
第5行：7=1+6,22=1+6+15,43=6+15+22,58=15+22+21,55=22+21+12,37=21+12+4,16=12+4,4=4
第6行：9=2*1+7,36=2*7+22,87=2*22+43,144=2*43+58
........

说明 2，
譬如第 3 行：1,4,7,8,5,2
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=-2有 1 组不同的取法。\)
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=-1有 4 组不同的取法。\)
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=0\ \ 有 7 组不同的取法。\)
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=1\ \ 有 8 组不同的取法。\)
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=2\ \ 有 5 组不同的取法。\)
\(满足a_{1}^1+a_{2}^2+a_{3}^3=3\ \ 有 2 组不同的取法。\)