求正数 x,y，使 √[(x^2+y^2)/2]，(x+y)/2，√(xy)，2xy/(x+y) 皆为整数且总和为 66

mathch701

求所有正實數\(x{,}y\)，滿足\(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)， \(\frac{x+y}{2}\)，\(\sqrt{xy}\)，\(\frac{2xy}{x+y}\)皆為正整數且四數之和為66

luyuanhong

波斯猫猫

题：求正数 x,y，使 √[(x^2+y^2)/2]，(x+y)/2，√(xy)，2xy/(x+y) 皆为整数且总和为 66.
思路：显然 √[(x^2+y^2)/2]≥(x+y)/2≥√(xy)≥2xy/(x+y) ，且前三个数平方后成等差数列，后三个数成等比数列。
通过简单计算知，只有下面几种情形：
√[(x^2+y^2)/2]                    (x+y)/2        √(xy)        2xy/(x+y)
√28（无理数）                       4                  2             1
√112（无理数）                     8                  4             2
√448（无理数）                     16                8             4
√1792（超过10）                   32                16           8
√153（无理数）                     9                  3             1
√1657（超过27）                  27                 9             3
35                                        25                 5             1
a  (a=33/2)                           a                  a              a

可以看出，只有倒数第二种情形有解，易解得x=25+10√6,y=25-10√6或x=25-10√6,y=25+10√6。