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我計到349
有两个红色箱子和两个蓝色箱子,把N颗白球和M颗黑球全部放入4个箱子中
\(\displaystyle \sum_{n=0}^N \sum_{m=0}^M \left(
\frac{(n+1)(m+1)}{2}+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\right)
\left(\frac{(N-n+1)(M-m+1)}{2}+2\left\{\frac{N-n+1}{2}\right\}\left\{\frac{M-m+1}{2}\right\}\right)\)
(N,M)=(0,0)時是1
(N,M)=(1,0)時是2
(N,M)=(2,0)時是5
(N,M)=(1,1)時是6
(N,M)=(4,4)時是349
方法是在紅色箱子放入n颗白球和m颗黑球, 在蓝色箱子放入N-n颗白球和M-m颗黑球
\(2\mid n\)時會有兩邊都是n/2颗白球的情況, 這時侯放入黑球有\(1+\left[\frac{m}{2}\right]\)種方法
在兩邊不是n/2颗白球的情況, 放入黑球\(1+m\)種有方法
\(2\nmid n\)時會有兩邊白球數量不相等的情況, 放入黑球有\(1+m\)種方法
這裡全部加起來會是
\(\displaystyle \left[\frac{n+1}{2}\right](1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(1+\left[\frac{m}{2}\right]\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{n+1}{2}-\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\right)(1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(1+\frac{m}{2}-\left\{\frac{m}{2}\right\}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{n+1}{2}-\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\right)(1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{(n+1)(m+1)}{2}+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\)
- clc;clear;
- s=0;N=4;M=4;
- for n=0:N
- for m=0:M
- s=s+((n+1)*(m+1)/2+2*((n+1)/2-floor((n+1)/2))*((m+1)/2-floor((m+1)/2)))...
- *((N-n+1)*(M-m+1)/2+2*((N-n+1)/2-floor((N-n+1)/2))*((M-m+1)/2-floor((M-m+1)/2)));
- end
- end
- s
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