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将 4 颗白球和 4 颗黑球,全部放入 2 个红色箱子和 2 个蓝色箱子,有几种不同的放法?

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发表于 2021-10-28 13:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
有两个红色箱子和两个蓝色箱子,把4颗白球和4颗黑球全部放入4个箱子中,同色的箱子不可区分,同色的球也不可区分,每箱放入球数不限制,则共有几种放法?
发表于 2021-10-28 15:48 | 显示全部楼层
这个 是不是要用到 polya计数   还有那么莫比乌斯反应和欧拉函数??
由于2 4  数字有点小 就直接数

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数出每种情况固然可以,这是最暴力的做法,也是钻空子的做法,跟本没有对题意做出思维归纳,只属于1加1得2的水平。区分相同事件和相异事件,并转换成数学模型,计算出结果才能得其精要  发表于 2021-11-2 08:58
你不是会编程吗?不实践下?  发表于 2021-10-28 20:55
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发表于 2021-10-30 09:47 | 显示全部楼层
我計到349

有两个红色箱子和两个蓝色箱子,把N颗白球和M颗黑球全部放入4个箱子中
\(\displaystyle \sum_{n=0}^N \sum_{m=0}^M \left(
\frac{(n+1)(m+1)}{2}+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\right)
\left(\frac{(N-n+1)(M-m+1)}{2}+2\left\{\frac{N-n+1}{2}\right\}\left\{\frac{M-m+1}{2}\right\}\right)\)
(N,M)=(0,0)時是1
(N,M)=(1,0)時是2
(N,M)=(2,0)時是5
(N,M)=(1,1)時是6
(N,M)=(4,4)時是349

方法是在紅色箱子放入n颗白球和m颗黑球, 在蓝色箱子放入N-n颗白球和M-m颗黑球
\(2\mid n\)時會有兩邊都是n/2颗白球的情況, 這時侯放入黑球有\(1+\left[\frac{m}{2}\right]\)種方法
在兩邊不是n/2颗白球的情況, 放入黑球\(1+m\)種有方法
\(2\nmid n\)時會有兩邊白球數量不相等的情況, 放入黑球有\(1+m\)種方法
這裡全部加起來會是
\(\displaystyle \left[\frac{n+1}{2}\right](1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(1+\left[\frac{m}{2}\right]\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{n+1}{2}-\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\right)(1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(1+\frac{m}{2}-\left\{\frac{m}{2}\right\}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{n+1}{2}-\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\right)(1+m)
+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left(\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{(n+1)(m+1)}{2}+2\left\{\frac{n+1}{2}\right\}\left\{\frac{m+1}{2}\right\}\)

  1. clc;clear;
  2. s=0;N=4;M=4;
  3. for n=0:N
  4.     for m=0:M
  5.         s=s+((n+1)*(m+1)/2+2*((n+1)/2-floor((n+1)/2))*((m+1)/2-floor((m+1)/2)))...
  6.             *((N-n+1)*(M-m+1)/2+2*((N-n+1)/2-floor((N-n+1)/2))*((M-m+1)/2-floor((M-m+1)/2)));
  7.     end
  8. end
  9. s
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发表于 2021-10-30 11:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 fungarwai 于 2021-10-30 11:08 编辑

用Burnside's lemma
4個箱子編號為1,2,3,4
軌道有{(1),(12),(34),(12)(34)}

考慮軌道(1)
a+b+c+d=4的解數有\(\binom{4+3}{3}\)
4颗白球的解數要乘上4颗黑球的解數
\(\binom{4+3}{3}^2=1225\)

考慮軌道(12)或(34)
a=b=0,c+d=4的解數有\(\binom{4+1}{1}\)
a=b=1,c+d=2的解數有\(\binom{2+1}{1}\)
a=b=2,c+d=0的解數有\(\binom{0+1}{1}\)
\(\left(\binom{4+1}{1}+\binom{2+1}{1}+\binom{0+1}{1}\right)^2=81\)

考慮軌道(12)(34)
a=b,c=d,a+c=2的解數有\(\binom{2+1}{1}\)
\(\binom{2+1}{1}^2=9\)

最後是\(\frac{1225+2\times 81+9}{4}=349\)
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发表于 2021-10-30 11:35 | 显示全部楼层
有两个红色箱子和两个蓝色箱子,把N颗白球和M颗黑球全部放入4个箱子中

用Burnside's lemma
4個箱子編號為1,2,3,4
軌道有{(1),(12),(34),(12)(34)}

考慮軌道(1)
a+b+c+d=N的解數有\(\displaystyle \binom{N+3}{3}\)
a+b+c+d=M的解數有\(\displaystyle \binom{M+3}{3}\)
N颗白球的解數要乘上M颗黑球的解數
\(\displaystyle \binom{N+3}{3}\binom{M+3}{3}\)

考慮軌道(12)或(34)
2a+c+d=N的解數有\(\displaystyle \left[\frac{(N+2)^2}{4}\right]\)

\(\displaystyle[x^N]\frac{1}{(1-x^2)(1-x)^2}
=[x^N](1+2x+x^2)\sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2}x^{2n}\)
\(=\begin{cases}
\displaystyle \binom{N/2+2}{2}+\binom{N/2+1}{2} & 2\mid N\\
\displaystyle 2\binom{(N-1)/2+2}{2} & 2\nmid N
\end{cases}\)
\(=\begin{cases}
\displaystyle \frac{N^2+4N+4}{4} & 2\mid N\\
\displaystyle \frac{N^2+4N+3}{4} & 2\nmid N
\end{cases}\)
\(=\displaystyle \left[\frac{(N+2)^2}{4}\right]\)

考慮軌道(12)(34)
2a+2c=N的解數有\(\displaystyle (N+2)\left\{\frac{N+1}{2}\right\}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4}\left(
\binom{N+3}{3}\binom{M+3}{3}
+2\left[\frac{(N+2)^2}{4}\right]\left[\frac{(M+2)^2}{4}\right]
+(N+2)(M+2)\left\{\frac{N+1}{2}\right\}\left\{\frac{M+1}{2}\right\}\right)\)
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发表于 2021-10-30 12:49 | 显示全部楼层
这一类问题叫整数拆分问题。有成熟的算法。
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发表于 2021-10-30 23:19 | 显示全部楼层


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这个解题思路如此的暴力,并没有把问题逻辑化,不是数学研究者所应有的作为  发表于 2021-11-4 11:27
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发表于 2021-10-30 23:45 | 显示全部楼层
我的一个解法,供讨论。
(注:上面fungarwai的解法我粗扫了一下,没看懂。可能涉及一些专业表达术语和符号;我就略过了)

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发表于 2021-10-30 23:50 | 显示全部楼层
cgl_74 发表于 2021-10-30 23:45
我的一个解法,供讨论。
(注:上面fungarwai的解法我粗扫了一下,没看懂。可能涉及一些专业表达术语和符 ...

刚看到楼上陆老师的解法,也是类似思路。看来思路都比较直接,呵呵
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发表于 2021-10-31 07:23 | 显示全部楼层
cgl_74 发表于 2021-10-30 23:45
我的一个解法,供讨论。
(注:上面fungarwai的解法我粗扫了一下,没看懂。可能涉及一些专业表达术语和符 ...

Burnside's lemma需要用到群論Group Theory知識
我是在大學三年級的時候學的,課程名稱是抽象代數

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群论工具解决方法才是最佳。  发表于 2021-11-1 21:59
多谢答复!群论来解这个题目,看上去有点大材小用了。  发表于 2021-11-1 10:05
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