n与n+1互质的经典证法

费尔马1

n与n+1互质的经典证法:
求证:正整数n与n+1互质。其中，n＞1。
证明:
①当n为偶数时，设n=(2^k)*p1p2p3……pi，其中，p1、p2、……pi为奇质数或奇质数的乘幂，1、2、3……i为下标。
这时，由于最小的质数2大于1，
所以，n+1不是2的倍数、不是p1的倍数、不是p2的倍数……、不是pi的倍数，
所以n+1与n没有相同的质因子，
故，n与n+1互质；
②当n为奇数时，设n=p1p2p3……pi，其中，p1、p2、……pi为奇质数或奇质数的乘幂，1、2、3……i为下标。
在这些质因子当中，有一个极限可能含有最小的奇质数3，不妨令p1=3，
则，n+1不是3的倍数、不是p2的倍数、不是p3的倍数……、不是pi的倍数，
所以n+1与n没有相同的质因子，
故，n与n+1互质。

太阳

这样的证明错误，牛头不对马嘴

费尔马1

太阳 发表于 2021-11-2 15:42
这样的证明错误，牛头不对马嘴

太阳老师啊，暂时不要说这个证明是错的，还是让老师们审核一下吧！

费尔马1

采用连乘积的方法:
①(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质，这样你能明白吗？
②(p1p2p3……pi－1)与(p1p2p3……pi)互质，这样你能明白吗？
其中，p1、p2、……pi为质数或质数的乘幂，1、2、3……i为下标。

费尔马1

风花飘飘 发表于 2021-11-2 17:27
6+1不是2的倍数、…
所以6+1与6没有相同的质因子，
故，6与6+1互质？

2+1是3的倍数、…
所以2+1与3有相同的质因子，
故，3与2+1不互质……
这是程氏证明法的推广？
学生回复如下:
要证明的是n与n+1互质，依您的意思是，2+1就应该与2比较，老师的2+1为什么要与3比较呢？

再说了，例如n与n+3比较，它们就不一定互质，例如n是3的倍数的时候，它们就不互质。
n与n+2比较，也不一定互质。
您是我的老乡，您是莒县吧？我现在莒南县。
您可是老资格了，千万不要信口开河啊！

被遗弃的草根

对于①：完全没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说：n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数，这只是作者的主观臆断；

对于②：其一，在p1、p2、……pi这些因子中，不含因子3是完全可能的，不能毫无根据地去说极有可能含因子3，即使其中含有因子3，也不是作为“n+1不是3的倍数”的依据。
其二，同样没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说：n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数，这也只是作者的主观臆断。

因此，这个“证明”，不是证明，连”错“的资格都未达到。

费尔马1

被遗弃的草根 发表于 2021-11-2 18:21
对于①：完全没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说：n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数，这只是作者 ...

请问老师下面这个对吗？
①(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质，这样你能明白吗？
②(p1p2p3……pi－1)与(p1p2p3……pi)互质，这样你能明白吗？
其中，p1、p2、……pi为质数或质数的乘幂，1、2、3……i为下标。

费尔马1

若有些同志看不明白本帖的证明，那么，也就看不明白欧几里得的素数无限多的证明。
以后，学生也就不再与你们辩驳了，我的证明就摆在那里，还是让精通者审核吧。哈哈