求任意三角形内的最大正三角形

王守恩

\(我们有“莫利定理”。\ BC=\sin(a)\ \ \ CA=\sin(b)\ \ \ AB=\sin(c)=\sin(a+b)\)

\((DE)^2=(\frac{\sin(a)\sin(b/3)}{\sin((b+c)/3)})^2+(\frac{\sin(b)\sin(a/3)}{\sin((a+c)/3)})^2-2(\frac{\sin(a)\sin(b/3)}{\sin((b+c)/3)})(\frac{\sin(b)\sin(a/3)}{\sin((a+c)/3)})\cos(c/3)\)

\((EF)^2=(\frac{\sin(b)\sin(c/3)}{\sin((c+a)/3)})^2+(\frac{\sin(c)\sin(b/3)}{\sin((b+a)/3)})^2-2(\frac{\sin(b)\sin(c/3)}{\sin((c+a)/3)})(\frac{\sin(c)\sin(b/3)}{\sin((b+a)/3)})\cos(a/3)\)

\((FD)^2=(\frac{\sin(c)\sin(a/3)}{\sin((a+b)/3)})^2+(\frac{\sin(a)\sin(c/3)}{\sin((c+b)/3)})^2-2(\frac{\sin(c)\sin(a/3)}{\sin((a+b)/3)})(\frac{\sin(a)\sin(c/3)}{\sin((c+b)/3)})\cos(b/3)\)

\(\frac{DE}{\sin(x)}=\frac{EF}{\sin(y)}=\frac{FD}{\sin(x+y)}\ \ 解得\ x=y=60^\circ\)

\(嗨！电脑一按，\pi/3\ 不就来了？！\)

根据“莫利定理”任意三角形都可以有一个正三角形，显然，莫利正三角形不是最大的
题目：求任意三角形内的最大正三角形。

王守恩

1，任意三角形内的最小正三角形(边长=k)是可以有的。

    记 \(a=\sin(A)=v+x\ \ \ \ \ b=\sin(B)=y+s\ \ \ \ \ c=\sin(C)=\sin(A+B)=t+u\)

Minimize[\(k,k^2=s^2+t^2-2st\cos(A)=u^2+v^2-2uv\cos(B)=x^2+y^2+2xy\cos(A+B)\)]

2，任意三角形内的最大正三角形还是出不来。求助各位来点资料。谢谢！

波斯猫猫

出不来哈！既然是任意三角形，那就举个反例，一个给定的正三角形存在内接最大的正三角形吗？

王守恩

波斯猫猫 发表于 2021-11-13 10:39
出不来哈！既然是任意三角形，那就举个反例，一个给定的正三角形存在内接最大的正三角形吗？

题目说得不清楚，这是我的错，再补充一下。
题目1，任意三角形内的最大正三角形 ，这个正三角形要求在三角形内部，3个顶点可以不在三角形的边上。
题目2，任意三角形内的最小正三角形 ，这个正三角形要求3个顶点都在三角形的边上。
题目3，“莫利”正三角形的中心与三角形的什么心有关系？
“莫利”正三角形是3个角的333等分点，如果是任意abc等分点,，还会有这样的正三角形吗？
求助各位来点资料。谢谢！其中题目2,2楼好像已解决？

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-14 09:38
题目说得不清楚，这是我的错，再补充一下。
题目1，任意三角形内的最大正三角形 ，这个正三角形要求在三 ...

《数学研发论坛》northwolves给了这个链接：谢谢 northwolves！
供参考 https://math.stackexchange.com/q ... de-a-given-triangle
https:math.stackexchange.com/questions/2379188/finding-the-largest-equilateral-triangle-inside-a-given-triangle

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-14 10:02
《数学研发论坛》northwolves给了这个链接：谢谢 northwolves！
供参考 https://math.stackexchange.c ...

谢谢 northwolves ！谢谢链接！

求任意三角形内的最大正三角形边长 ，

记 3边a,b,c 与 3角A,B,C 满足 \(\frac{a}{\sin A\ }=\frac{b}{\sin B\ }=\frac{c}{\sin C\ }=1\)

1, 3个角有2个角大于60的，最大正三角形边长 = \(\sin A\)  A是3个角中最小的1个。

2, 3个角有1个角等于60的，最大正三角形边长 = \(\sin A\)  A是3个角中最小的1个。

3, 3个角有2个角小于60的，最大正三角形边长用 2楼的方法。Minimize 改Maximize

drc2000再来

仅仅供参考

王守恩

drc2000再来 发表于 2021-11-15 10:48
仅仅供参考

谢谢 drc2000再来 ！简单才是好方法 ！

求任意三角形内的最大正三角形边长=k ，

记 3边a,b,c 与 3角A,B,C 满足 \(\frac{a}{\sin A\ }=\frac{b}{\sin B\ }=\frac{c}{\sin C\ }=1\)

1, 3个角有2个角大于60的，最大正三角形边长 = \(\sin A\)  A是3个角中最小的1个。

2, 3个角有1个角等于60的，最大正三角形边长 = \(\sin A\)  A是3个角中最小的1个。

3, 3个角有2个角小于60的，最大正三角形边长用 7楼的方法。

简单的公式  \(\frac{k}{\sin B}=\frac{\sin A}{\sin60^\circ}\)  再次谢谢 drc2000再来 ！

數海泛舟

大概看了解答過程，我解了內接最大面積的三角形，為內接正三角形