求积分 ∫(-∞,+∞)sinx e^(-x^2)dx

mathfang

能帮忙回答一下这个积分有解析解吗，谢谢

\(\int_{-\infty}^{+\infty}\sin x\times e^{-x^2}dx\)

luyuanhong

mathfang

luyuanhong 发表于 2021-11-22 22:53

万分感谢，很有帮助

lihp2020

如果f(x)是奇函数 且收敛 是否求-无穷到+无穷 的积分就一定=0？
收敛这个条件 是否去掉？

luyuanhong

积分收敛这个条件不能去掉，例如 f(x)=x 是奇函数，但不能说必有 ∫(-∞,+∞) x dx = 0 。

luyuanhong

如果奇函数 f(x) 在 (-∞,+∞) 上的积分收敛，则必有 ∫(-∞,+∞)f(x)dx = 0 。

证明如下：

因为 f(x) 在 (-∞,+∞) 上的积分收敛，所以当 N 是正整数时，下列两个极限都存在：

          ∫(-∞,0)f(x)dx = lim(N→∞)∫(-N,0)f(x)dx = L1 。

          ∫(0,+∞)f(x)dx = lim(N→∞)∫(0,N)f(x)dx = L2 。

又因为 f(x) 是奇函数，所以当 N 是正整数时，必有

                        ∫(-N,N)f(x)dx = 0 。

所以，有

        ∫(-∞,+∞)f(x)dx = ∫(-∞,0)f(x)dx + ∫(0,+∞)f(x)dx

          = lim(N→∞)∫(-N,0)f(x)dx + lim(N→∞)∫(0,N)f(x)dx

          = lim(N→∞)[ ∫(-N,0)f(x)dx + ∫(0,N)f(x)dx ]

          = lim(N→∞)∫(-N,N)f(x)dx

          = lim(N→∞)0 = 0 。