数学魔法师康威的游戏人生

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数学魔法师康威的游戏人生

本文初稿写作于 2004 年，首发在《心桥》杂志上。微信版本作了一些修改，并更换了插图。本文的主角 John Horton Conway 不幸于 2020 年 4 月 11 日因新冠肺炎逝世，享年 82 岁。

撰文 | 倪忆

上帝是怎样创造这个世界的？按照《圣经》的说法，第一天他在一片混沌中游荡，发现太黑了，就说：“要有光”，然后就有了光……他总共花了六天来创造万物，第七天休息。但并不是就此一劳永逸地结束了，麻烦事还在后头，像什么偷食禁果之类的。他得花更多的时间和精力来维护这个系统，有时不爽了还得格一下盘（大洪水），——当然格盘之前需要保存一下数据（诺亚方舟）。有次自己亲自深入系统来查一下毒，还给弄挂掉了……

其实没有这么麻烦，上帝这样的大智者，自然找得到最方便的办法。他应该是在一张餐巾纸上随手写几个公式作为定义这个世界的规则，然后制造一次大爆炸。接下来的事情就不用他管了，他只需端起一杯咖啡，在一旁悠然地看。

不信吗？那么就尝试一下 Game of Life 吧。在一个有许多正方格的大棋盘上随意放一些棋子，称为胞体（cell），然后遵循下面的规则：

(i) 复生：一个胞体在 t 时刻是“死”，而在 t+1 时刻是“活”，如果它的八个邻域有三个胞体在 t 时刻是“活”的。

(ii) 死于孤单：一个活的胞体在 t 时刻没有或只有一个胞体邻域，就会在 t+1 时刻死亡。

(iii) 死于过度拥挤：一个活的胞体在 t 时刻如有四个或四个以上的邻居，就会在 t+1 时刻因过度拥挤而死去。

(iv) 生存之道：一个胞体在 t 时刻生存而能延续生命到 t+1 时刻，当且仅当它在 t 时刻有二个或三个活邻域。

就是这样简单的规则，却可以随着初始状态的不同产生无穷无尽的变化，有兴趣的读者可以连上 https://playgameoflife.com/，随意自己设定初始状态，或者打开别人设计好的一些有趣的状态，看看这个简单平台上出现的复杂世界。


用“生命游戏”可以模拟任何图灵机，上图是用生命游戏编写的计算 π 的程序的输出画面丨图源：LifeWiki

1970 年，这个“生命游戏”甫一发明出来便轰动了世界，很多人乐此不疲。据说有一段时间，全世界四分之一的电脑都在运行这个程序。这个游戏的设计者，就是本文的主角，普林斯顿大学数学系教授，英国数学家 John Horton Conway 。


John Horton Conway, 1937.12.26--2020.04.11 丨图源：普林斯顿大学

Lord of the Common Room

大约十年前的一篇访问记中，说 Conway 每天打开计算机时，屏幕上会随机显示十个日期，比如 1789 年 7 月 14 日，2037 年 12 月 26 日等等，Conway 则心算出这些日期分别是星期几，输入后才能进入电脑。他的最高纪录还不到 20 秒就算出了全部星期。（Conway 的算法在《数学顽童的圆周率日》一文中有简单介绍。）这种情形我倒是从没见过，因为我见到的 Conway 一向都是使用 common room（公共休息室）外的公用电脑。

Conway 绝对是一个占用公共资源的专家。系里的 common room 就是他的办公室，里面的沙发宽大又舒适，足够容纳他的身躯。Common room 内外有好几块黑板，刚好能让他打草稿——按他自己的说法是：talk to myself on the blackboards 。 桌子上堆着他的玩具。各种各样的人都会到 common room 里来，所以 Conway 从不缺乏聊天的对象。  

有一次我正在 common room 里喝咖啡，突然听见电话铃响。我正纳闷，想谁会打电话到 common room 里来呢，却听见电话机旁的一名学生大喊“John”，同时看见 Conway 一个箭步从聊天的人群中窜了出去，拿起电话就是一声 hello …… 暴汗。后来见多了也就见怪不怪了，我甚至还替他接过一次电话。

我曾问过 Conway，为什么他喜欢呆在 common room 里面，他说因为他自己的办公室里非常乱。据他说，最初系里给他两个办公室，后来觉得两个太多了，便收回了一个。（想当初必定是用两个办公室作为优惠条件来吸引他，如今新人胜旧人，就给减掉了，资本主义真是残酷。）

他的办公室在三楼，离 common room 只有几步路，跟更高楼层里的那些办公室不是一个型号。这间面积相对小许多，门还是玻璃门。Conway 在门上贴满了数学画报，不过想偷窥的人还是能透过缝隙看见里面的情形，——也没什么好看的，反正我最初看到时还以为是系里的杂物间。


Conway 在他的普林斯顿办公室里丨图源：New York Times

下面这段描写（by Richard Guy）能让读者对他办公室里的情形有个概念：

“他的剑桥大学纯数学和统计系的办公室里几张桌子堆满了论文、书籍、没有回复的文件、笔记、模型、流程、图表、几个喝完没洗的咖啡杯以及一些各种各样的玩艺儿，这些东西泛滥到地板上和椅子上，因此很难容两人在办公室里及坐下来。如果你能走到黑板，你会看到各种颜色的粉笔字迹，却没有地方让你写东西。虽然他有很好的记忆力，可是他常常找不到几天前他写下重要发现的纸张，他只好重新写。”

Conway 从来不看信，收到信件后便往故纸堆里一扔。等他再发现这些信件时，看到上面的邮戳是几年前的，就决定永远不去拆阅，免得自己产生内疚感。不过他 e-mail 收得倒是非常勤，经常能看见他坐在 common room 外的公用电脑前，满面笑容，飞快地打着字。

每天下午 tea time 时，Conway 周围就会聚集一些跟他关系好的教授或学生听他胡侃。当然他的魅力还比不上点心，只要新的一盘点心端上来，这帮人便纷纷起身（common room 里的其他小群体也是一样），Conway 还总是抢在头里。上学期他的一门课与 tea time 的开始时间重合，但他通常要晚十分钟才去上课，因为点心一盘也不能少吃。有时他甚至一边啃着点心一边在黑板上奋笔疾书。上他课的几个人在吃点心方面自然也都跟他臭味相投，对推迟几分钟毫不在意。

甜食带来的一个坏处就是让他的体形不能保持。其实在美国比 Conway 胖的人比比皆是，但数学家里有他这么大肚子的却少见。对于他这个年纪的人，胖是一件很危险的事。去年期中的时候，Conway 突然从 common room 里消失了，后来才听项武忠教授说他患心脏病动了手术。我当时很诧异，因为他看上去活蹦乱跳的。项武忠解释说：“他太胖！”

手术后 Conway 恢复得很好，就是在家里一天都呆不住，他太太为此写信到系里，请大家打电话或去家里骚扰他。等再看见他时，已经临近期末。那时他身体还没完全好，一说话就喘不上气，却已经很着急地跑到common room 里找人聊天。聊天之余又在黑板上写写画画，尽管都是些高中水平的数学。他说自己好长时间不做数学，得先做一些简单的来恢复一下能力。

A Tale of Two Universities

英国制度，11 岁入中学，这时就要根据未来的志愿选择学校。Conway 说他在那时就决定去剑桥当一名数学家。他在 Harold Davenport 手下拿到博士学位后留校任教，研究数理逻辑。当时他感到非常沮丧，因为自己没有拿得出手的成果，觉得不是在做真正的数学。

很快机会就来了。1965 年，John Leech 在研究装球问题时发现了一种 24 维的格（lattice）。（Ernst Witt 说他在 1940 年就发现了 Leech lattice，但当时没有发表。）他觉得这个 lattice 的自同构群可能会很有趣，但自己的群论水平不足以对其研究，便把这个问题告诉了许多群论专家。只有 Conway 比较彻底地研究了这个群，从其商群和子群中一举发现了三个新的有限单群。Conway 从此声名鹊起，被邀请到许多地方报告他的发现。他独特的演讲风格给人留下了深刻印象，而 Conway 也因此获得了信心，迈入一流数学家的行列。


Conway 参与编写的大书 Atlas of Finite Groups 是这一领域的重要文献。丨图源：Notices of the AMS

除了他发现的三个被称为 Conway 群的有限单群，Conway 在这一领域最著名的工作是他跟 Simon Norton 在 1979 年提出的魔群月光猜想（monstrous moonshine）。这一猜想把最大的散在单群“魔群”的表示与模形式联系在一起，在 1992 年被 Conway 的学生 Richard Borcherds 证明。Borcherds 因此获得了 1998 年的菲尔兹奖。魔群月光猜想及其推广跟理论物理里的弦理论有着奇妙的联系。它的证明用到了弦理论里的成果，而这个猜想本身也对弦理论有许多反哺。例如 Edward Witten 用它来计算黑洞的 Bekenstein-Hawking 熵，得到的结果跟传统方法算出来的非常接近。

我曾问 Conway 为什么要把这个猜想命名为“月光”，他说 moonshine 这个词在英语里有 illegal（违法）的意思。他们提出这一猜想时，大家还不知道魔群是否存在，所以猜想其性质这件事是 illegal 的。（在另外的场合，Conway 则解释说 moonshine 有 crazy（疯狂）的意思，——这个猜想太疯狂了。）

本质上说，Conway 是一位组合学家。他研究的问题多数带有组合特性，看起来非常浅显，但其中却蕴藏着深刻的数学思想。就拿前面提到的生命游戏来说。1940 年，John von Neumann 提出 cellular automaton（元胞自动机），试图建立一个数学模型来描述机器的自动复制与生长。Von Neumann 最初的模型非常复杂，Conway 将其简化成人人都能理解的“生命游戏”。生命游戏经 Martin Gardner 在 Scientific American 上介绍后迅速风靡世界，Conway 因此获得了数学界以外的巨大声名。（最近 Mathematica 的创始人 Stephen Wolfram 写了一本书 A New Kind of Science，把 cellular automaton 大肆鼓吹了一番，有兴趣的读者可以弄来读读。）

Conway 说，他曾经认为自己是一流的数学家，可以做任何事，但现在他已经改变了自己的方向，只尝试让每件事物以最简单的形式出现在每个人面前。前面所说的生命游戏就具有这种特点。

Conway 的另外一项出名的工作来自纽结（knot）理论。纽结理论是拓扑学的一个分支，但也可以用纯粹的组合方法进行研究，这正是 Conway 的拿手好戏。

美国数学家 James Alexander 在 1923 年定义了一种纽结不变量，称为 Alexander 多项式。Conway 在六十年代发现了一个奇妙的拆接（crossing change）关系式，可以用来递归地定义 Alexander 多项式，连中学生都能看得懂，计算起来也很方便。（拆接关系式在 Alexander 的原始论文中已经出现，但没有引起人们的注意。Conway 实际上是重新发现了这一关系，并强调了其重要性。）


Conway 在一次讲座中指挥四名听众进行纽结操作丨图源：Tangles, Bangles and Knots with John Conway

到 80 年代时，Vaughan Jones 发现了一个新的纽结不变量：Jones 多项式，并因此获得 1990 年的菲尔兹奖。（Jones 多项式发现过程中的故事可见《出名要趁早？94 岁的新科女院士，41 岁才获得博士学位》。）Jones 多项式满足跟 Alexander 多项式非常相近的拆接关系式，而它们还可以推广为更一般的 HOMFLY 多项式，满足更一般的拆接关系式。

HOMFLY 这个名字是发现它的六位数学家姓名首字母的组合。说起这事来 Conway 还颇有些耿耿于怀。他说当时自己好长时间没有研究纽结，也不去参加各种会议。Jones 多项式出现后他的那些纽结界的朋友们（比如说 L）一直没告诉他，瞒了他好几个星期，等到 HOMFLY 多项式出来以后他才得到消息。他只用了一个下午就证明了这个 HOMFLY 多项式确实是纽结不变量，但为时已晚。Conway 说如果他早知道 Jones 多项式的事，HOMFLY 前面就得加个 C 成为 CHOMFLY了……（当时还有两位波兰数学家 P 和 T 也独立发现了 HOMFLY 多项式，但西方对他们工作了解较晚。文献中也经常把这一多项式称为 HOMFLY-PT 多项式。）

Conway 于 90 年代初离开剑桥大学，来到普林斯顿做访问教授。按普林斯顿的惯例，从别处挖人来时，给的是终身职位，但第一年的头衔还是访问教授，这样如果一年过后这人不愿意留下，还可以回原来的学校。Conway 解释说当初并不是他自己作决定留下来，“I was undecided”，是他的太太喜欢这里。

Conway 结过三次婚，跟第一位太太生了四个女儿，跟第二位有两个儿子，跟第三位又生了个儿子。去年底他大病初愈时，我看见他带着一个蹒跚学步的小男孩玩，便问他：“Is he your grandson?” 他自豪地回答：“No, he is my son.” 再问其年龄，答曰两年三个月。我顿时肃然起敬，——要知道 Conway 可是 1937 年出生的。在我听说过的数学家里面，恐怕只有 I. M. Gelfand 在这方面比 Conway 更出色。

也许鼓励创新的美国比相对保守的英国更适合 Conway，尽管 Conway 坚持认为普林斯顿比剑桥更保守。美国人崇拜的科学英雄倒未必需要有非常出色的学术成就，但一定得有张扬的个性。Conway 刚好就是他们所需要的类型，加之他又喜欢跟媒体打交道，所以 Conway 频频在媒体上曝光，声名一时无两。普林斯顿数学系三楼走道旁有一块板，上面贴了各种关于系里教授报道的剪报。Conway 的报道占了将近一半，跟 John Nash 不相上下。当然如今在好莱坞的炒作之下，Nash 是比 Conway 出名多了。

另外一位著名的 John Conway 是以好几本分析教材闻名于世的 John B. Conway 。我起初还以为这两位是同一个人，曾颇奇怪了一阵，因为 John B. Conway 写的那些书跟 John H. Conway 的工作风格完全不同。后来才注意到两者的中名不同。

我们的这位 John Horton Conway 说他曾经多次在会议上碰见过 John B. Conway 。有一次参加一个会议，John H. Conway 正低头算些东西，突然听前面有人问：“Are you the John Conway?” Conway 头也不抬地答道：“I don't know, it depends on which John Conway you mean.” 一抬头，发现就是另外那位 John Conway 。

John's Adventures in Wonderland

Conway 有种种奇奇怪怪的数学玩具，common room 里就堆着好多。上学期我选他的一门课，第一次课前见他在 common room 里抱着一个箱子。看那个箱子的体积、形状、质地，怎么看都觉得里面装的是笔记本电脑。接下来他带着箱子进教室，打开，原来是一箱积木，汗…… 这些积木经过精心设计，代表了三维空间中所有种类的对称性。也不知道 Conway 从哪里弄到的这些积木，多半是订做的。

他这次课讲的是三维空间中对称的分类，采用一套他自己创造的记号，——Conway 研究问题时总喜欢使用自己的记号。我当时听不太懂他的英国口音，只能狂抄笔记，他的板书中有好多即兴发挥的缩略语，字迹又潦草，得费好大的劲儿来辨认。所以只忙着抄，根本顾不上思考其中的含义。

讲课中间，Conway 给每人发了两个积木，叫大家说出积木的对称性，——当然是用他自己的记号。另外两个学生说对了，我却都错了。Conway 勃然大怒，到黑板上把某个定义中的一句重念一遍，中间一个词突然用十倍的音量吼出来“NOT!!!”，当时把我吓得浑身一哆嗦。后来知道 Conway 上课时狮子吼是常事，有位师姐也碰见过。还有一次我路过一间教室，忽然听里面传出一声咆哮“ABSOLUTELY!!!”，心知就是 Conway 在里面上微积分课，正吓唬本科小孩们。

前面已经说过，Conway 是一流的纽结专家。别人讲纽结都是用绳子、皮带之类的有一定韧性的东西来演示，他偏要用刚性的东西。他有几根弯曲的金属管，连接起来后在接口处可以转动，Conway 能以此展示出所有交叉点不超过五个的纽结。有一次他在 common room 里给大家摆弄这件宝贝，末了觉得不过瘾，便往地下瞅。我被他瞅得心中直发毛，突然见他俯下身，伸出魔爪，一把握住我的鞋。我没敢抵抗，任凭他把我的鞋连同腿脚一同搁到茶几上。然后他便开始解我的鞋带，扯了几下后发现我的鞋带并不像他想象中那样好解，于是又开始打别人的主意。环视一圈后没找到合适的目标，只得转而寻求更加正统的方法。他拿起笔，在一张纸上随手画了一些纽结，用的还是他自己的记号。不过画纽结并非 Conway 的独门绝学，好多纽结专家信笔一挥也能画出非常复杂的纽结。

Conway 还有许多数学内容的 T 恤衫，整天穿着。有些上面是数学漫画，有的则相对简单，比如圆周率到小数点后一千位。据说有一次 Conway 的太太需要用 π 的精确数字，便问 Conway ，Conway 随口就背出了小数点后的一百位。可他太太嫌不够，问他能不能背更多。Conway 感到很没面子，便决定背到一千位。他制定计划，每天跟太太出去散步时背上二十位，而且是两人一起比赛着背，互相考问。这样没用多长时间，他们夫妇俩就都能背到一千位了。

Conway 非常热衷于研究有趣的初等数学，下面这个 look-and-say 序列就是一例，他在 common room 里给我讲过：

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...

这里面有什么规律呢？说穿了非常低幼。第二个数字 11 应该读作“1 个 1”，表示前一个数字是 1 个 1 。第三个数字21应该读作“2 个 1”，表示前一个数字是2 个 1 连写在一起。第四个数字 1211 应该读作“1 个 2 再 1 个 1”，表示前一个数字先是 1 个 2 ，再是 1 个 1 。第五个数字 111221 表示前一个数字先是 1 个 1 ，然后是 1 个 2 ，再是 2 个 1……

这看起来就是幼儿园小朋友胡乱作的规定，Conway 却能发现其中的数学内容，专门写了一篇论文研究其性质。比如说 Conway 证明了这个序列中出现的数字都由 1, 2, 3 组成。换句话说，只要你会数到 3 就能把这个序列一直写下去。作为普林斯顿大学数学系的讲席教授，Conway 丝毫不觉得研究这种初等数学有多么“跌份”。这或许是他有如此高人气的一个原因吧。

Conway 是数学游戏爱好者，他发明过好多游戏，生命游戏只是其中最有名的一个。据说以前在剑桥时，他经常在休息室里赤着脚，用纸和笔来玩数学游戏。有时他抓着学生、同事和访客陪他玩，找不到对手就自己坐在地下研究这些游戏。


剑桥大学时期的 Conway（右三）与朋友们下双陆棋丨图源：New York Times

下面这个“豆芽游戏”就是 Conway 在剑桥时和 Michael S. Paterson 一起发明的。两个人用纸和笔就可以玩，幼儿园小朋友也能理解。

游戏开始时，在纸上画若干个点。每方每回合在两点（可以是同一点）间画上一条连接线，然后在此线中间增加一个点，把这一条线分成两条。连接线可以是直线或曲线，但不能跟自己或别的线相交。每一点最多跟三条线相连。


豆芽游戏，初始点是两个的情况。丨图源：维基百科

豆芽游戏有两个版本。普通版本（normal play）里，画最后一条线者赢；悲惨版本（misère play）里则是画最后一条线者输。悲惨版本的难度比普通版本要大许多，有兴趣的读者不妨都试试。

Conway 在游戏方面的一个有趣结果是“超现实数（surreal numbers）”。他发现每个实数都能对应一个游戏，相应地，实数的四则运算可以用游戏的语言来解释；此外还有许多游戏具有类似于实数的性质，却不对应实数。这样，Conway 便把游戏看作“数”，得到实数体系的扩充，称为“超现实数”。

Conway 把他的想法告诉了计算机科学家 Donald Erwin Knuth（高德纳），Knuth 对此大感兴趣，便借自己在挪威度假的机会，写成了一本小说体的数学书 Surreal numbers : how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness : a mathematical novelette 。

需要指出的一点是，Conway 对游戏的研究并非博弈论（Game theory）的主流，标准的博弈论教科书上根本没有一点儿对 Conway 工作的介绍。Conway 研究的游戏确实非常有趣，但在我们这些人眼中，不会给数学带来多大的进益。

也许在 Conway 看来，一个问题并不必重要或困难，只需要有趣便可以吸引他去研究。在21世纪的今天，数学已经更多地成为一种职业而非兴趣。可对于如孩童一般在海滩拾贝的 Conway 来说，它永远还只是游戏。

参考文献

[1] 劳拉·常，赵伯炜等译，约翰·H·康威——神秘数学世界的漫游者，《纽约时报 50 位科学家》，海南出版社，2003.

[2] 李学数，英国的怪数学家康威，《数学和数学家的故事 3》，新华出版社，1999.

[3] J. J. O'Connor and E. F. Robertson, John Horton Conway, http://www-history.mcs.st-and.ac ... icians/Conway.html.

本文转载自微信公众号“普林小虎队”，原题目为《Conway ：游戏人生》。