代数证明一定严密吗

denglongshan

吴文俊先生说欧式几何不可能严谨！
http://www.360doc.com/content/17/0508/11/37288455_652070394.shtml
关于几何图形退化，吴文俊有一段精彩说明：

在Euclid几何中，公理与定理的叙述往往隐含了一种没有明白说出的假设一所考虑的图形必须处在某种正常的、一般性的、而非异常的、带有特殊性的退化情况。例如，在说到两直线平行时，就隐含着它们是不同的两条直线而不是退化为两条重合的直线。同样在说到两条直线相交时，也隐含着它们并没有退化为两条平行的或重合的直线。又如在说到三角形时，总是隐含了这是一个正常的真正三角形，它的三个顶点互不相同且不退化为顶点在同一直线上的一个“扁”三角形，如此等等。虽然我们可在定义或定理的叙述中加上种种非退化的限制，但那样叙述显得极为冗沓。究竟给出什么样的非退化的限制才算合适并不清楚。退化一词也没有确切的定义，所以等腰三角形或直角三角形算不算是一个退化的三角形，就很难确定了。尤其严重的是，定理的证明往往只适用于某种正常的、一般的、而非异常的或退化的情形。对于退化的情形，往往对证明作必要的修改才能适用。或者需要改变全部证明。有时对于退化情形定理本身甚至完全失去意义以至根本不成立。

他好象说过：代数方法可以严密证明？
以下命题的两种代数证明方法严密吗？
命题：一直线与一圆交于两点，则这两点的中点与圆心的连线垂直于这条直线
解析几何方法：
问题：
设直线l交一个圆O于Z1(x1,y1)和Z2(x2,y2)，Z0是Z1Z2的中点，证明OZ0垂直l。
证明1：假设这直线的斜率是k，它的方程是y=kx+b,圆的方程是x^2+y^=1，把直线方程代入圆方程中，得：
\(\left( kx+b\right)^2+x^2-1=0\)，展开合并同类项得：
\(\left( k^2+1\right)x^2+2kbx+b^2-1=0\)
因为Z是中点，所以由韦达定理得\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2kb}{k^2+1}{,}y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{b}{k^2+1},\frac{y_0}{x_0}=-\frac{1}{k}\)，所以OZ垂直于Z1Z2..
证明2：
引理\(az+b\overline{z}=c表示一直线的充分必要条件是\frac{a}{\overline{b}}=\frac{b}{\overline{a}}=\frac{c}{c}\),这条定理容易证明，也可以参考签名链接。
假设这直线的复斜率是k，它的方程是\(z=k\overline{z}+k\),圆的方程是\(z\overline{z}=1\)，把直线方程代入圆方程中，得：\(k\overline{z}^2+b\overline{z}-1=0\)，由韦达定理得：\(\overline{z_2}+\overline{z_1}=-\frac{b}{k}\)，所以\(z_1+z_2=-\overline{b}k{,}\frac{_{z_0}}{\overline{z_0}}=\frac{\overline{b}k^2}{b}\)，根据引理得\(b=-k\overline{b},代入上式即得\frac{_{z_0}}{\overline{z_0}}=-k\)，所以OZ垂直Z1Z2.