程中占给大神们的题

lusishun

解下列不定方程：
1、A*15+B*2022=C*2023
2、A*15+B*1515=C*16
3、A*15+B*2023=C*2022
4、A*15+B*16=C*1515
程中占特邀大神光临。比比你们的才智。

费尔马1

学生在元宵节没事，仿照鲁老师的题目出了几个小题，与鲁老师共享，不料，鲁老师将它们发于论坛里了，那么，我们就一起把这几个题当游戏玩吧！谢谢老师们。
解下列不定方程：
1、A^15+B^2022=C^2023
2、A^15+^1515=C^16
3、A^15+B^2023=C^2022
4、A^15+B^16=C^1515

lusishun

费尔马1 发表于 2022-2-15 11:13
学生在元宵节没事，仿照鲁老师的题目出了几个小题，与鲁老师共享，不料，鲁老师将它们发于论坛里了，那么， ...

欢迎数学大侠时空伴随者，把这几个题吧？

yangchuanju

解下列不定方程：       
1、A*15+B*2022=C*2023       
解：先求15,2022,2023的最小公倍数等于15*2022*2023/3=20452530       
最小公倍数分别除以15,2022,2023得：
15        1363502
2022        10115
2023        10110
此乃通解的周期数。       

再求15,2022的最小公倍数等于10110
加1除以2023余2019，试求10110k+1除以2023的各余数，当k=1214时余数是0，整除发生
k       余数
1        2019
2        2014
3        2009
4        2004
1214        0

(10110*1214+1)/2023=19696/2023=6067       
       
10110*1214=12273540，分别除以15,2022得
15        818236
2022        6070
又(10110*1214+1)/2023=19696/2023=6067
818236,6070,6067乃通解的非周期数。
       
通解为       
A=2^(1363502t+818236)       
B=2^(10115t+6070)       
C=2^(10110t+6067)       
检验       
A^15=[2^(1363502t+818236)]^15=2^(1363502*15t+818236*15)=2^(20452530t+12273540)       
B^2022=[2^(10115t+6070)]^2022=2^(10115*2022t+6070*2022)=2^(20452530t+12273540)       
C^2023=[2^(10110t+6067)]^2023=2^(10110*2023t+6067*2023)=2^(20452530t+12273541)=2×2^(20452530t+12273540)       
A^15+B^2022=C^2023       

yangchuanju

解下列不定方程：       
2、A^15+B^1515=C^16       
解：先求15,16,1515的最小公倍数等于16*1515=24240       
最小公倍数分别除以15,1515,16得：
15        1616
1515        16
16        1515
此乃通解的周期数。       

再求15,1515的最小公倍数等于1515，
1515加1除以16余12，试求1515k+1除以16的各余数，当k=13时余数是0，整除发生：
k      余数
1        12
2        7
3        2
4        13
13        0
       
(1515*13+1)/16=19696/16=1231       

11515*13=19695，分别除以15,1515得1313和13
又(1515*13+1)/16=19696/16=1231
1313,13,1231乃通解的非周期数。

通解为       
A=2^(1616t+1313)       
B=2^(16t+13)       
C=2^(1515t+1231)       
检验       
A^15=[2^(1616t+1313)]^15=2^(1616*15t+1313*15)=2^(24240t+19695)       
B^1515=[2^(16t+13)]^1515=2^(16*1515t+13*1515)=2^(24240t+19695)       
C^16=[2^(1515t+1231)]^16=2^(1515*16t+1231*16)=2^(2424t+19696)=2×2^(2424t+19695)       
A^15+B^1515=C^16       

费尔马1

非常感谢杨老师解答，您的两道题的答案都正确，且答案美观。您是数坛老剑客，优秀数学家。

费尔马1

采用yangchuanju老师的1、2题的结果直接写出3、4答案
3、A^15+B^2023=C^2022
A=bm^（1363502t+818236）
B=m^（10110t+6067）
C=am^（10115t+6070）
其中，a、b为正整数，t为自然数，
m=a^2022－b^15，m>0

4、A^15+B^16=C^1515
A=bm^（1616t+1313）
B=m^（1515t+1231）
C=am^（16t+13）
其中，a、b为正整数，t为自然数，
m=a^1515－b^15，m>0
分析其解法，

费尔马1

分析7#楼的解法:
A^15+B^2023=C^2022
关于x、y的二元一次不定方程ax+c=by，其中，a、b、c两两互质。
在不定方程15*2023*x+1=2022y中，2022与15有公约数3，所以，此方程无正整数解。
把原方程移项得，C^2022－A^15=B^2023
据鲁氏解法（即取底数法），等号左边系数的代数和是1－1=0，这样，0做其解的底数没有意义。
变化方程得，a^2022*C^2022－b^15*A^15=B^2023
即（a*C）^2022－（b*A）^15=B^2023
这样，在不定方程15*2022*x+1=2023y中，2023与15、2022互质，所以，这个方程有正整数解。左边取15、2022的最小公倍数，方程化为10110x+1=2023y
辗转相除法解这个不定方程得其最小正整数解是，x=1214  y=6067
通解是，x=2023t+1214，y=10110t+6067
其解的指数公用参数式是，10110x，
即10110（2023t+1214）……………………⑴
⑴式除以15做为A的指数，
⑴式除以2022做为C的指数，
B的指数就是y，
底数取a^2022－b^15，且底数大于0
其它地方同以前的二项和不定方程。
注，二元一次不定方程的解法:
关于x、y的二元一次不定方程ax+c=by，其中，a、b、c两两互质。
先用辗转相除法解出最小的正整数解（x。、y。），之后，直接写出通解:
x=bt+x。     y=at+y。
（最小正整数解，如果涉及的数字不太大时，可以用电子表格海选法直接得到。）

费尔马1

鲁老师说:深藏贵如金，说破淡如水。哈哈，程氏解法如是而已！

lusishun

费尔马1 发表于 2022-2-17 02:21
分析7#楼的解法:
A^15+B^2023=C^2022
关于x、y的二元一次不定方程ax+c=by，其中，a、b、c两两互质。

写多清楚，思路清晰。表述清楚，赞。
这就是程氏解法。