已知 ω^503=1 ，ω≠1 ，求 ω^2／(ω-1)+ω^4／(ω^2-1)+…+ω^1004／(ω^502-1)

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請問代數

luyuanhong

题  已知 ω^503=1 ，ω≠1 ，求 ω^2／(ω-1)+ω^4／(ω^2-1)+…+ω^1004／(ω^502-1) 。

解  我过去在《数学中国》发表过一个帖子，证明了以下结论：

若 n 是一个正奇数，有 ω^n = 1 ，ω≠1 ，则 ∑(k=1,n-1)ω^(2k)／(ω^k-1) = (n-3)／2 。

在本题中，n = 503 是一个正奇数，有 ω^503=1 ，ω≠1 ，所以

    ω^2／(ω-1)+ω^4／(ω^2-1)+…+ω^1004／(ω^502-1)

   = ∑(k=1,502)ω^(2k)／(ω^k-1) = (503-3)／2 = 250 。

luyuanhong