设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 M(a) ，求 M(a) 的最小值

永远

函数\(f(x)=\left| x^{2 }-a\right|\)在区间\(\left[ -1，1\right]\)内的最大值为\(M(a)\)，求\(M(a)\)的最小值。

波斯猫猫

题：设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 g(a) ，求 g(a) 的最小值。
提示：
（1）当a≤0时，f(x)=x^2-a，在x=±1时，有f(x)max=g(a) =1-a，故g(a)min =1(a=0时)。
（2）当0＜a≤1/2时，f(x)=｜x^2-a｜，在x=±1时，有f(x)max=g(a) =1-a，在x=0时，
        f(x)极大=a，此时g(a)min =1/2   (a=1/2时)。
（3）当1/2＜a＜1时，f(x)=｜x^2-a｜，在x=0时，有f(x)max=g(a) =a，此时g(a)无最小值。
（4）当a≥1时，f(x)=-x^2+a，在x=0时，有f(x)max=g(a) =a，故g(a)min =1(a=1时)。

永远

波斯猫猫 发表于 2022-5-1 17:57
题：设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 g(a) ，求 g(a) 的最小值。
提示：
（1）当a≤0 ...

第一个提示感觉空穴来风，都没写清楚

uk702

如下图，当 a 为某固定值时，显然   f(x)=｜x^2-a｜ 的最大值在 f(-1)=f(1)，f(0) 此三者中得到，

情况一： a ≧ 1   
这时有  f(1)=f(-1)= a-1，f(0) = a，且总有 f(0) > f(1)=f(-1) ，故 M(a) = a ≧ 1

情况二： 1 ≧ a ≧ 0  
这时有  f(1)=f(-1)=1-a，f(0) = a ，
当  a ≧ 0.5 时，f(0) ≧ f(1)=f(-1)，M(a) = a ≧ 0.5；
而  a ≤ 0.5 时，f(0) ≤ f(1)=f(-1)，这种情况下 M(a) = 1-a ≧ 0.5   

情况三： 0 ≧ a  
这时  f(1) = f(-1) = 1 - a ，f(0) = -a，且总有 f(1) > f(0)，所以 M(a)=f(1)= 1-a ≧ 1  

综上所述， M(a) ≧ 0.5 总成立，并在 a = 0.5 时，M(a) 取得最小值 0.5。

参考如下 Geogebra 结果：

uk702

似乎 Geogebra 的函数 最大值(f, -1, 1) 并不能总是返回 f 在区间 [-1, 1] 的最大值，就像上图浅黄色的轨迹，似乎当  a < 1/2 时返回的最大值都是错的？

不得已用 最大值(f(-1), f(0), f(1)) 代替，这时得到的图像就正确了。

浅黄色的图，想不通为什么会画成这样，分成多段不连续的折线，那位大佬前来讲解一下？

永远

波斯猫猫 发表于 2022-5-1 17:57
题：设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 g(a) ，求 g(a) 的最小值。
提示：
（1）当a≤0 ...

谢谢老师的回贴，不过您的分析貌似是错的

波斯猫猫

题：设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 g(a) ，求 g(a) 的最小值。

思路：由x∈ [-1,1]，可令x=cosθ，则有f(x)=f(cosθ)=｜(cosθ)^2-a｜=｜1-2a+cos2θ｜/2。

当1-2a≥0，即a≤1/2，且cos2θ=1时，f(x)max=｜1-a｜=1-a，

当1-2a≤0，即a≥1/2，且cos2θ=-1时，f(x)max=｜a｜=a，

故g(a)=｜a-1/2｜+1/2。显然，g(a)min=1/2。

注：三角代换的优越性得以体现。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2022-5-2 17:33
题：设函数 f(x)=｜x^2-a｜ 在区间 [-1,1] 内的最大值为 g(a) ，求 g(a) 的最小值。

思路：由x∈ [-1,1] ...

思维方法决定解题的途径与难易程度。

hannah8201

不就是普通的铅锤距离？烂大街的题目了