两位数的正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，满足这样条件的 M 共有几个？

popo987654

请教方法

小fisher

两位数的正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，满足这样条件的 M 共有几个？

除了 16、32、64 外，其他两位数都可以表示成两个或以上连续正整数之和。

形如 M=2^n×(2k+1) 的正整数，总是可以表示成两个或以上连续正整数之和，因为：

1）若 2^n＞k，则 M 可表示为从(2^n-k)到(2^n+k)连续2k+1个正整数之和，例如 8×7=5+6+7+8+9+10+11；

2）若 2^n≤k，则 M 可表示从(k-2^n)到(k+1+2^n)连续2^(n+1)个正整数之和，例如 8×17=1+2+…+8+9+…+15+16

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答很好！已收藏。

时空伴随者

1:   10 = 1+2+3+4
2:   11 = 5+6
3:   12 = 3+4+5
4:   13 = 6+7
5:   14 = 2+3+4+5
6:   15 = 7+8   15 = 4+5+6   15 = 1+2+3+4+5
7:   17 = 8+9
8:   18 = 5+6+7   18 = 3+4+5+6
9:   19 = 9+10
10:   20 = 2+3+4+5+6
11:   21 = 10+11   21 = 6+7+8   21 = 1+2+3+4+5+6
12:   22 = 4+5+6+7
13:   23 = 11+12
14:   24 = 7+8+9
15:   25 = 12+13   25 = 3+4+5+6+7
16:   26 = 5+6+7+8
17:   27 = 13+14   27 = 8+9+10   27 = 2+3+4+5+6+7
18:   28 = 1+2+3+4+5+6+7
19:   29 = 14+15
20:   30 = 9+10+11   30 = 6+7+8+9   30 = 4+5+6+7+8
21:   31 = 15+16
22:   33 = 16+17   33 = 10+11+12   33 = 3+4+5+6+7+8
23:   34 = 7+8+9+10
24:   35 = 17+18   35 = 5+6+7+8+9   35 = 2+3+4+5+6+7+8
25:   36 = 11+12+13   36 = 1+2+3+4+5+6+7+8
26:   37 = 18+19
27:   38 = 8+9+10+11
28:   39 = 19+20   39 = 12+13+14   39 = 4+5+6+7+8+9
29:   40 = 6+7+8+9+10
30:   41 = 20+21
31:   42 = 13+14+15   42 = 9+10+11+12   42 = 3+4+5+6+7+8+9
32:   43 = 21+22
33:   44 = 2+3+4+5+6+7+8+9
34:   45 = 22+23   45 = 14+15+16   45 = 7+8+9+10+11   45 = 5+6+7+8+9+10   45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
35:   46 = 10+11+12+13
36:   47 = 23+24
37:   48 = 15+16+17
38:   49 = 24+25   49 = 4+5+6+7+8+9+10
39:   50 = 11+12+13+14   50 = 8+9+10+11+12
40:   51 = 25+26   51 = 16+17+18   51 = 6+7+8+9+10+11
41:   52 = 3+4+5+6+7+8+9+10
42:   53 = 26+27
43:   54 = 17+18+19   54 = 12+13+14+15   54 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10
44:   55 = 27+28   55 = 9+10+11+12+13   55 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
45:   56 = 5+6+7+8+9+10+11
46:   57 = 28+29   57 = 18+19+20   57 = 7+8+9+10+11+12
47:   58 = 13+14+15+16
48:   59 = 29+30
49:   60 = 19+20+21   60 = 10+11+12+13+14   60 = 4+5+6+7+8+9+10+11
50:   61 = 30+31
51:   62 = 14+15+16+17
52:   63 = 31+32   63 = 20+21+22   63 = 8+9+10+11+12+13   63 = 6+7+8+9+10+11+12   63 = 3+4+5+6+7+8+9+10+11
53:   65 = 32+33   65 = 11+12+13+14+15   65 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
54:   66 = 21+22+23   66 = 15+16+17+18   66 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
55:   67 = 33+34
56:   68 = 5+6+7+8+9+10+11+12
57:   69 = 34+35   69 = 22+23+24   69 = 9+10+11+12+13+14
58:   70 = 16+17+18+19   70 = 12+13+14+15+16   70 = 7+8+9+10+11+12+13
59:   71 = 35+36
60:   72 = 23+24+25   72 = 4+5+6+7+8+9+10+11+12
61:   73 = 36+37
62:   74 = 17+18+19+20
63:   75 = 37+38   75 = 24+25+26   75 = 13+14+15+16+17   75 = 10+11+12+13+14+15   75 = 3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
64:   76 = 6+7+8+9+10+11+12+13
65:   77 = 38+39   77 = 8+9+10+11+12+13+14   77 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
66:   78 = 25+26+27   78 = 18+19+20+21   78 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
67:   79 = 39+40
68:   80 = 14+15+16+17+18
69:   81 = 40+41   81 = 26+27+28   81 = 11+12+13+14+15+16   81 = 5+6+7+8+9+10+11+12+13
70:   82 = 19+20+21+22
71:   83 = 41+42
72:   84 = 27+28+29   84 = 9+10+11+12+13+14+15   84 = 7+8+9+10+11+12+13+14
73:   85 = 42+43   85 = 15+16+17+18+19   85 = 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
74:   86 = 20+21+22+23
75:   87 = 43+44   87 = 28+29+30   87 = 12+13+14+15+16+17
76:   88 = 3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
77:   89 = 44+45
78:   90 = 29+30+31   90 = 21+22+23+24   90 = 16+17+18+19+20   90 = 6+7+8+9+10+11+12+13+14   90 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
79:   91 = 45+46   91 = 10+11+12+13+14+15+16   91 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
80:   92 = 8+9+10+11+12+13+14+15
81:   93 = 46+47   93 = 30+31+32   93 = 13+14+15+16+17+18
82:   94 = 22+23+24+25
83:   95 = 47+48   95 = 17+18+19+20+21   95 = 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14
84:   96 = 31+32+33
85:   97 = 48+49
86:   98 = 23+24+25+26   98 = 11+12+13+14+15+16+17
87:   99 = 49+50   99 = 32+33+34   99 = 14+15+16+17+18+19   99 = 7+8+9+10+11+12+13+14+15   99 = 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2022-8-5 10:36
1:   10 = 1+2+3+4
2:   11 = 5+6
3:   12 = 3+4+5

这些答案中，除素数外，都能写成三个或更多个连续整数之和。

王守恩

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

王守恩

谢谢 时空伴随者！

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

\(M=19267068702844458104205580598665587900321483525\)

\(=3^2*5^2*7^2*11^2*13^2*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107\)

再来一题。

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

王守恩

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5*7\)
\(=315\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11*13\)
\(=1576575\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^3*5^3*7*11*13*17*19*23\)
\(=25097947875\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^4*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41\)
\(=4107378557617335\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*47*53\)
\(=39789088838429705775\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^6*5^2*7^2*11*13*17*19*...*37*41*43*47*53*59*61\)
\(=498768841730878144106355675\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11^2*13*17*19*23*...*53*59*61*67*71*73*79\)
\(=1858189853139238604311721330010075\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 99999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5*7*11*13*17*19*23*29*...*73*79*83*89*97*101*103\)
\(=35977235293387842259059782458038387594315\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^2*5^2*7^2*11^2*13^2*17*19*23*29*31*...*83*89*97*101*103*107\)
\(=19267068702844458104205580598665587900321483525\)

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 9999999999 种写法，其中最小的 M 是几？
\(M=3^4*5^2*7^2*11^2*13^2*17^2*19*23*29*31*37*...*103*107*109*113*127\)
\(=4611218900172543686012857147158269181095454475091945175\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-8-8 11:50
谢谢 时空伴随者！

正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是 ...

谢谢 时空伴随者！

1，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

\(M=3^2*5^2*7^2*11^2*13^2*17*19*...*61*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107\)

\(=19267068702844458104205580598665587900321483525\)

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 999999999 种写法，其中最小的 M 是几？

\(M=3^4*5^4*7^4*11^4*13^4*17^4*19^4*23^4*29^4*31*37*41*43*47*53*59*61*67\)

\(=133002828882120123623001567524413828604398769862939375\)

下面2道题，我还是没做好。

1，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，有 n 种写法，其中最小的 M 是几？

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 n 种写法，其中最小的 M 是几？

时空伴随者

2，正整数 M 可写成两个或以上的连续正整数之和，恰好有 n 种写法，其中最小的 M 是几？
解：将n+1作整数因子分解并按因子大小从大到小排序，\(n+1=P_1^{q_1}P_2^{q_2}\dots P_k^{q_k}\)
其中\(P_1\ge P_2\ge \dots \ge P_k\)
最后将\(q_1个P_1-1,q_2个P_2-1等等直到q_k个P_k-1\)依次分配给前\(q_1+q_2+\dots +q_k\)个奇素数。
\(M=3^{P_1-1}5^{P_1-1}\dots P^{P_1-1}\dots\)。
例如n=99时\(n+1=5^22^2,M=3^4\times 5^4\times 7\times 11=3898125\)