三局两胜的象棋比赛，把最弱的对手排第二位，赢得概率最大？

wufaxian

题目：
你参加一个象棋比赛,必须与三个对手下象棋.按规定,只有赢两场比赛,才算你得胜.假定,与每个对手比赛的时候,你赢棋的概率是已知的.另外,你成为得胜者的概率与比赛的次序有关.证明将三位比赛对手中的最弱者排在第二位的时候,你成为得胜者的概率最大,而与其他两位对手的比赛次序无关.


答案：
Let pi  be the probability of winning against the opponent played in the ith turn. Then, you will win the tournament if you win against the 2nd player (probability p 2 ) and also you win against at least one of the two other players [probability p 1 + (1-p 1 )p 3 = p 1 + p 3 - p 1 p 3 ]. Thus, the probability of winning the tournament is

p 2 (p 1 + p 3 - p 1 p 3 ).

The order (1, 2, 3) is optimal if and only if the above probability is no less than the probabilities corresponding to the two alternative orders, i.e.,

p 2 (p 1 + p 3 -p 1 p 3 ) ≥ p 1 (p 2 + p 3 -p 2 p 3 ),
p 2 (p 1 + p 3-p 1 p 3 ) ≥ p 3 (p 2 + p 1 - p 2 p 1 ).

It can be seen that the frst inequality above is equivalent to p2 ≥ p1  inequality above is equivalent to p 2 ≥ p 3 .

我的疑问：
从上文除了下划线部分都看懂了。不明白为什么强行规定   p 2 (p 1 + p 3 - p 1 p 3 ) ≥ p 1 (p 2 + p 3 -p 2 p 3 ),即“第二场赢，其他两场任赢一场的概率”   必须 大于等于     “第一场赢，其他两场任赢一场的概率？我赢1，3两场，输第二场不一样可以赢得比赛？ 如果这一条解释通了，其他的就都理解了？

luyuanhong

原题的答案确实有问题，没有把“第一局胜，第二局负，第三局胜”这种情况考虑进去。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-8-23 09:48
原题的答案确实有问题，没有把“第一局胜，第二局负，第三局胜”这种情况考虑进去。

谢谢lu老师的分析。
可能我剪切的缘故，答案中少了一个不等式，现在已经不充上了。

不讨论这个，影响将最弱对手安排在第二位，赢的概率最高的结论么？比如我假设 p 1 (p 2 + p 3 -p 2 p 3 )   ≥  p 2 (p 1 + p 3 -p 1 p 3 )。成立。会推翻命题么？我觉得似乎结论被推翻了！最弱的对手可以排在第一位。

justinyang948

wufaxian 发表于 2022-8-23 08:35
谢谢lu老师的分析。
可能我剪切的缘故，答案中少了一个不等式，现在已经不充上了。

应该是翻译错误，不是“只有赢两场”，而是“只有连赢两场”。