【资料】阿碧乐斯椭圆以及我的理解

dodonaomikiki

倆个内切圆之间的“中间线”，构成一个椭圆。


Set:
the  radius  of  little   circle   \(       =b         \)
the  radius  of big   circle   \(       =a         \)

That the major semiaxis of the ellipse  
   \( =      (2a-  \frac{2a-2b}{2})/2         \)
   \( =      a-  \frac{a-b}{2}         \)
    \( =      \frac{a+b}{2}          \)           


半长轴是   \(       a、b的算术平均         \)

dodonaomikiki

计算半短轴的时候，
顶点落在椭圆 最顶部，
可见这个三角形为等腰三角形\(        （WHY?）            \)，然后自然利用勾股来计算：



The minor semiaxis
\(        = \sqrt{ （\frac{a+b}{2}）^2-（\frac{a-b}{2}）^2}     \)
\(        = \sqrt{ \frac{  2ab+2ab }{4}      }     \)
\(        = \sqrt{ab}     \)
半短轴是   \(       a、b的调和平均         \)


最后引出一个疑问：
阿碧乐斯椭圆的焦点，分别是两园的圆心吗？

dodonaomikiki

\(         Ellipse   \quad    in   \quad  Arbelos             \)，这个问题最早出现在
1947年，美国数学月刊上

dodonaomikiki

在我眼里，英文字母太抽象啦！
不大好，太糟糕~~~
换以阿拉伯数字




这样非常直观的看一哈阿碧乐斯椭圆：
       \(       set:   a=3,  b=1                          \)
       \( The    \quad   arithmetic  \quad     mean=     \frac{3+1}{2}=2 \)
       \(     the  \quad   geometric   \quad  mean = \sqrt{3\bullet1}=\sqrt{3}   \)
       \(       ellipse   \quad  equation:   \frac{ (x-2)^2  }{  2 ^2  }+\frac{y^2}{3}=1   \)

dodonaomikiki

再来关注二楼的问题！



焦距
          \(   =\sqrt{     (\frac{a+b}{2})^2-ab          }                   \)
          \(   =\sqrt{  \frac{a^2+ab+b^2-4ab  }{4}    }          \)
          \(   =\frac{a-b}{2}          \)


得到小圆圆心
          \(   \frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}=b          \)
得到大圆圆心
          \(   \frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=a          \)


自然也就明晓啦
小圆圆心，大圆圆心，椭圆顶点构成啦
一个等腰    \(  \blacktriangle          \)