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发表于 2022-10-6 09:36
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江：我们知道数学有诸多领域。起初您研究群论，而后转到代数组合学。想请问您为什么想研究代数组合？有任何动机吗？
B：没有动机。我想我是延续我在群论的工作，如果你熟悉置换群（permutation group），譬如秩 3 的置换群，就会联系上强正则图（strongly regular graphs）。如果你考虑无多重性（multiplicity-free）置换群（Gelfand pairs），它们会成为交换结合方案（commutative association schemes）。所以我实际上是在研究群论，同时也在研究组合的东西。
江：了解，是自然长成的。
B：事实上，至少就我自己而言，我从没想过要转换领域。但就外人看来，我原先研究群论，之后开始研究组合学。对我来说，这比较类似解析延拓（analytic continuation）。
E：也许就是你说的「没有群的群论」。（大家都笑了）
B：是啊，我说过「没有群的群论」。这在很多地方被引用。
林：我补充一下。以您的观点，这像是用强大的组合工具来做群论，完成传统方法无法完成的某些事情。而且在 70 年代，有限单群（finite simple groups）的分类就大致完成了。您想尝试找到新的方法来做这些分类？或者……
B：是的，那正是我想做的。但这非常困难，每个人都觉得不可能。我也不是很乐观，但我仍想往那个方向做些事情。不保证能够成功完成。也许野心过大。
林：就我来看，您十二月的演讲尝试聚焦在这个部分。您上次介绍了有限单群，越来越多的组合工具在您的各个步骤上派上用场。接着我们试着了解：结合方案（association schemes）或相关配置（coherent configuration）等诸多工具，在分类问题上如何发挥功用。那是计划或者……
B：有限单群的分类并不容易。在接下来的演讲，我至少会解说有限单群分类的应用。我将试着解说我们想做什么、想解决什么问题。我会尝试着做，但不能保证什么。我希望我们能做点东西。我希望你们中的一些人能就这题目做点东西。
江：好的，还有一个问题是，我们需要什么预备知识，来开始学习代数组合？
B：基本上，我认为任何特别的预备知识都非不可或缺。如你所知，一个题目、任何题目，都帮助你起步去学习，即使它看起来与代数组合相去甚远。不管你对什么题目有兴趣，都应该有所助益。事实上，数学中存在许多内部连结，许多东西应该都互有关联。研究任何领域都是好的。对我来说，群论对代数组合的研究大有帮助。
江：那很重要。
B：对，但对其他人来说，其它领域也许有用。我们不知道哪些领域有用。
江：了解。除了代数组合学，您对哪些数学有兴趣？微分几何？代数几何？
B：我对代数几何、拓朴、微分几何都不很熟悉。我们有些和 Francois Jaeger 在自旋模型上的研究，与拓朴学相关。最近，微分几何与组合学有些链接。我熟悉的，是从学自岩堀教授的观点，来看李群、Chevalley 群或有限单群之间的关联。我对数论有兴趣，特别是格点（lattices）、模形式（modular forms）、丢番图方程式（diophantine equations），不过并非真正的专家。我做了一些数论的工作。我也对正交多项式（特别是 Askey-Wilson 多项式）、数值分析内的体积公式（cubature formulas），以及设计理论（design theory）有兴趣。我最近的工作与量子物理（量子信息理论），以及酉设计（unitary designs）之类的东西相关。
俞：可以描述一下微分几何、组合学或其他领域之间的关联吗？
B：先来考虑对称性（symmetries）。考虑几何学的对称空间（symmetric spaces）。对称空间是种结构，在其上李群流畅地作用于黎曼空间。那么它的有限版本（有限的 Gelfand pair）是什么？有限版本本质上是交换结合方案，而且它们关系密切。再看紧致（半）单（semi-simple）李群的分类，1920 年 E.Cartan 优雅地完成分类，是非常好的分类，但有限单群或有限对称空间的分类是什么？情况复杂多了。很多人说无限的情况比有限的情况困难。但情况正好相反。有限比无限复杂得多，如你所见，有限单群的分类比（半）单李群的分类困难得多。
江：如果您现在不在数学界工作，假设这样，那么您会从事什么职业？可否告诉我们？
B：我只曾想过要成为数学家，别无其他。我想这种思考方式不很理智。
江：您就只为数学而生活。
B：是的。但即使在当年，对任何人来说，获得学术性职位并不容易。其实，我有可能成为高中老师，但我不敢去拿日本教师执照。因为我想一旦自己拿了执照，就会成为高中教师。我掌握机会成为数学家，我觉得自己很幸运。那是非常危险的选择。
李金彦（以下简称李）：您发表过许多论文。最满意的是哪一篇？
B：很多篇，有很多和别人合作的好论文。或许我十分擅长鼓励、搓和别人来一起做研究。我觉得我参与过的论文，最强的是我与川中宣明（Noriaki Kawanaka）、宋圣烈合作的，关于 GL(2n,q)/Sp(2n,q) 的特征标表的论文。其实重要的部分都是川中完成的。我和宋圣烈及 Mark Damerell 也有很多论文。当然，还有我和伊藤达郎（Tatsuro Ito）关于距离正则图（distance-regular graphs）的工作。伊藤的贡献很大。我和 Mark Damerell 有关于紧的球面设计（tight spherical designs）的共同著作。我和宋圣烈及田中太初完成关于交换结合方案的特征标表的著作，他们也助我良多。最近，我、悦子及其他人有一系列关于欧氏设计（Euclidean designs）及相对设计（relative designs）的论文; 集结起来，它们代表了一个新的重要研究方向。
B：总之，我认为自己非常擅长和一些人一起工作，一起完成一些作品。我觉得自己的力量极其有限，所以需要从别人那里得到协助。这是我的态度。我有很多好论文，但大部分是靠共同作者的帮忙。
俞：或许您可以选出最好的一篇。哪一篇您最引以为傲？另外，是否请您可以多谈些数学？
林：对，也许是结果本身，不只是一篇论文。
B：结果本身。我最重要的工作或许是 1984 年与伊藤达郎合写的书《代数组合学，I》，很有影响力，至今仍有很多人在读这本书。书的最终目标是要对P-与 Q-多项式结合方案进行分类，虽然它尚未完成。但至少我提出了那个问题，也请 Doug Leonard 解决那个问题，而后他有了突破。当时我是俄亥俄州立大学的新进教授，Doug Leonard 是研究生，不是我的学生，是 Rick Wilson 的学生。他已经拿到博士学位。他来听我的课，我就请他解决那个问题，研究 P- 与 Q- 多项式结合方案可能的特征标表。他真的解决了，证明它们基本上可以由 Askey-Wilson 多项式以及与其相关之多项式描述。同样地，我鼓励了很多人来解题。有很多非常成功的案例，但有时不成功。有时我们合写论文，有时没写。事实上我很自豪自己可以影响一些人。
B：我们不应该忘了 Francois Jaeger。他、悦子和我一起研究自旋模型。他是研究自旋模型的法国数学家，发现自旋模型与结合方案有紧密的连结。我们很要好，但他在 1997 年辞世。
俞：我不知道 Jaeger 这个人。
B： J-A-E-G-E-R。他是拓朴学家，也是图论学家。我回答您之前提出的问题：除了岩堀，数学上谁影响了我？我应该要提到铃木通夫（Michio Suzuki），他是有名的群论学家。另外还有伊藤升（Noboru Ito），也是有名的群论学家。铃木通夫是伊利诺大学的教授，伊藤升则在伊利诺大学芝加哥分校任教。铃木及伊藤被邀请赴美，而后留在美国。铃木教授每年夏天返回日本，教我们研究生，讲授前一年的群论发展。他真的给了我们很大的帮助，我非常尊敬他。我也读了很多伊藤升关于组合的紧 4-设计（combinatorial tight 4-designs）的论文，以及其它关于置换群的论文。另外，原田当时在俄亥俄州立大学，正在研究有限单群。他鼓励我到俄亥俄州立大学，且设法让我取得教职。Ray-Chaudhuri 也协助我到俄亥俄州立大学。
李：您提出很多未解决的问题，您觉得哪一个问题最有希望解决？
B：有很多未解决的问题，可是很多问题其实可解（每个人都笑）。对我来说，提出未解决的问题很容易。有些容易解，但有些一点都不简单。通常我们无法预先知道哪个好解。在某些情况下，我有些想法，但我们不能信任它们。而且，有些问题重要，有些没那么重要，要视情况而定。你的问题不容易回答。
李：也许我用的字不准确。不是「有希望」，而是「想」。
俞：是啊，哪个问题是您想解决的呢？也许是个梦幻问题，像是我很长时间想解出这个问题，我非常想解出来。
B：当然有很多、很多问题非常重要但几乎无法解决。所以你的问题很难回答。我开始研究群论时，最感兴趣的是分类多重可传递置换群（multiply transitive permutation groups），亦即 t 很大时的 t-可传递置换群。这个问题后来被解决，用到了有限单群的分类。而若没有有限单群的分类，多重传递置换群的分类仍无法解决。有很多、很多这种问题，用了有限单群分类来解，否则根本解不动。至于 t-置换群的分类以及 Schreier 猜想（任何有限单群的外自同构群（outer automorphism group）都可解（solvable）），我真的想看到它们被解决。有很多、很多这类的问题，我希望来日看到它们被解决。但目前似乎希望渺茫。
林：我的评论是：使用有限单群的分类，就好比拥有字典或百科全书。但是其它问题，譬如多重可传递群，或许需要的材料较少，你不妨试着利用工具去解决。但你可以随时查字典，看看是否行得通; 好，我们就从那里开始。但这个工作太庞大，而且世界上几乎没有人能够了解该分类的所有东西。我从 Quanta 杂志读到：一些年轻学者正尝试重写这个分类，因为比较了解的人大都垂垂老矣; 一旦作者离世，他们担心证明失传。因此一群年轻学者试着重新整理该分类的证明。对，另一方面，应该有某些更简单的方法，如坂内教授所言，径行觉察正确的观点，不使用那个字典。这非常困难。
B：您提到有限单群分类的第二代证明。Gorenstein 启动了它，但他过世了。他的遗愿由 Ricard Lyons 跟 Ron Solomon 传承。我想最近 Michael Aschbacher，Steve Smith 及其他人做了更多尝试。他们的工作非常重要但很困难。
俞：我再提一个未解决的问题。坂内博士尝试分类紧的球面 t-设计，而目前只有 t=4,5,7 未解决。我想我非常想完成这个分类，特别是 t=4 和 5 ，我个人有很好的直觉。如果维度大于 22 ，就没有其他的紧的球面 4-设计。如果能完成它，我想那会是很好的结果。
B：对，那是很好的结果。那也许是可解的。它和我之前提到的多重可传递置换群的问题不同。目前除了利用有限单群分类之外，完全没其它想法。
李：当您停滞不前的时候，如何提振士气？
江：听音乐？
B：嗯，我同时对很多问题有兴趣。因为解不出某个问题而感气馁时，我就停止处理那个问题，着手于另一个问题。我不确定; 也许我会抑郁，但通常不是很严重。我知道，很多、很多问题都无望解决，不能解决某些问题是理所当然的。
李：您如何选择更换问题的时机？
B：我想这并没有明确的答案。有时我会更换问题，有时不会。但我通常同时处理很多问题。不要坚持在单一问题，会试着去解另一个问题。比起一般人，我对更多问题有兴趣。很多人试着专注在单一问题，我通常同时考虑很多问题; 不清楚何者较好; 不同的风格。
俞：好的。印象中，有些教授会提到数学的品味。我想请问您：什么是好的数学工作？或者说，什么是您的数学品味？不同的人，对什么是好的数学，持有不同的意见。或许您能试着判断或定义，什么是您心中的好数学？
B：很大的问题。就我判断，什么是好的数学？这实际上视情况而定，没有明确的公式。
俞：您觉得那是什么样的特征？也许您可以说一些原则。
B：对我来说，原则是：我得到某些非常有趣的惊喜，或者结果是始料未及的新发现。我想那很有趣，但也许那很自然，不是我特有的。不确定你的……
俞：超乎想象，或者新的、令人惊讶的新想法。
叶：我最后的问题和韦亘的类似。有些研究说：对数学之美的感受，与对优美风景的感受，并无二致。在您心目中，数学呈现什么样的美？数学之美是否给了您某些解题的洞见？
B：我不太思索数学的美。我觉得数学是一门科学。有些数学家认为数学是一种艺术，但我觉得数学更像是一门科学。有时候，它不尽然美丽。它需要被纠正，而那些提供灵感的，就是好数学。我想，也许，美存在这启发灵感的性质里，但我仍不觉得数学是一种艺术。我不确定我是否正确。我跟伊原教授讨论过。他说数学是一种艺术，而美是最重要的。但我不太确定这一点。他曾在九州大学给过一系列关于「什么是好的数学」的演讲，我记得当时与他进行过一些很好的讨论。
俞：您 1989 年左右回到日本时，我想日本并没有很多人在做组合。您如何在日本推广您的研究领域？我也想做类似的事，在台湾推广相关的领域。您能分享您的经验吗？
B：1989 年我从俄亥俄州立大学回到日本九州大学时，组合学完全不受赏识。唯一看得到的坚强群组是秋山仁（Jin Akiyama）他们的。他对图论有兴趣; 事实上，他在日本的图论发展扮演重要角色。他在娱乐数学也很有名。我尝试从纯数学观点来做组合学，因此要推动组合学，让它成为纯数学的一个领域。近来组合学比较被认为是应用数学的一部分，但我自认为是做组合的纯数学家，而非应用数学家。事实上我培养了很多研究生，其中的许多人现在是优秀的教授。但我是否在日本取得成功，仍然大有疑问。相较于传统科目，组合学仍然未受赏识。也许台湾的情况也一样。
俞：活动的部分呢？像是日本的年度组合学会议？
B：我们通常每年有两次组合学会议，另外还有许多人筹划更多的学术会议，不定期举办。事实上目前有很多很多会议及学术会议，但仍然不清楚组合学在日本是否取得成功。我对日本组合学近期情况的印象是，它发展的方向是朝内，而非朝外。与我多年前在日本时的情况相比较，这是我的印象。这只是我的印象，我不确定我讲得对不对。我想有这种情况的不只是数学，其他许多领域也相同。我想日本的实力，以及留给世人的印象，肯定正在下降。
俞：是说人数吗？
B：人数，以及日本研究者撰写的论文数目。与中国或其他国家的数字相较，我想这些数字无疑在下降中。我想其中一个原因是奖助金的分配方式。他们选择大型大学的超大领域，但我觉得这样不好。我们应该要能够去研究任何我们喜欢的领域。这是我的印象。选择研究领域的自由度正在下降。此外，有些强调应用数学的倾向，但我觉得这不是个好方向。总之，日本目前的情况十分艰困。
林：这是我最后想提出的一个相关问题。现今，纯数学家一直苦于争取政府或其它推动纯数研究的团体的预算或奖助。原因是纯数在社会没有立竿见影的直接应用。如果无法在社会上看到立即的成果或应用，就很难觉察研究有用、想去学起来。纯数的获益隐而不显; 我能理解这个观点，因为费时耗日之后，成果才得以发表及发展。举例来说，我知道九州大学有个很强的应用数学团队，有大约 100 位数学家，与工程界及其他公司合作。某种意义下，我想问：我们要如何推广纯数，告诉社会这是确实有用的领域？我们是否有好的想法？如何说服人们支持这样的研究？
B：您提到的方向我参与不多，也未曾成功。我比较特立独行，也不喜欢赶流行。数学对产业和其它社群有用是件好事，但我没兴趣认真推动这个方向。我想数学无论如何是有用的，虽然可能不是立即有用。我想社会是否有能力认识到这个事实，将是衡量社会成熟度的标准。
林：我提到这个，是因为九州大学与我们大学有些连结，有些教授参与你们系规划的讨论会或学术会议，像是与产业界进行为期一周的会议，让他们提出想解决的问题。但这种活动不应被过于强调; 因为对纯数学家来说，我们有自己的问题要解决。与此同时，产业界资助数学家，解决问题来牟利。我不知道这对双方来说是不是好的互动。我们应该要有更多的自由，做我们认为对纯数学最有价值或非常好的问题。但是提到钱，预算在那里，我们花了这么多这种钱; 你想要有药品、保险，如果它们不用花钱。我自己在这并没有好答案。是啊，尝试说服人们数学是重要的。甚至在美国，STEM（Science，Technology，Engineering，Mathematics）目前也很受欢迎。物理与化学之外，数学也入列。这样想来，数学家应该推广，或者让其他人清楚看到，数学是非常、非常、非常重要的领域。不这么做，你就不会在当前的社会获得进展。我想我们应该更大力推广这样的方案。但我只想做研究，我想这很困难。
林：我列在这里的另一个问题是，坂内教授曾在美国、日本、中国访问、教学、研究多年。您可以比较它们在这些领域的情况吗？关于如何做研究、如何获国际合作来合力解题，也许您能给我们一些建议？
B：我曾在俄亥俄州立大学（1974～76年，78～79年），九州大学（1989～2009年），以及上海交通大学（2011～2017年）担任正式教授。基本上各地的情况都类似，只是有些时间上的延迟。我的印象是，美国最早如此，之后日本，而后中国，正在逐渐赶上。我的印象是，基本上各地的情况都相同。在中国，特别是在上海交通大学，我非常惊讶的是，相较于日本（九州大学）或美国（俄亥俄州立大学）的学生，他们的（大学部）学生一般都优秀又认真。我不确定这是否应该要大声公告。九州跟俄亥俄州都有很多优秀的学生。事实上我的学生相当优秀（大家笑）。但是我很惊讶，上海交通大学有更多用功的学生。
俞：您意思是，数量上中国用功的学生比日本用功的学生多吗？
B：不确定，我只知道上海交通大学，那是中国一所非常特别的大学。我教的是一个特别的班，在一个特别的学院，叫做致远学院（Zhi-Yuan College）。
俞：您上海交大的课堂有多少学生？
B：我班上的学生人数通常约 15 至 30 人，仅限主修数学的学生（大约 30 人）。实际上，在那所特别的学院，学生们是精挑细选过的，而且只有主修数学的可以修我的课（该课程是选修课）。这些学生都和我在九州大学及俄亥俄州立大学的顶尖学生程度相当。我有系统地讲授图论。对我来说，他们的理解能力难以置信。当然我在东京大学的同学也很出色。我真的不知道台湾的情况，当然也有很多优秀的学生。我在台湾教的，是非常特殊的一小群数学系学生，他们看来很优秀。但我未曾教过一般的数学系学生，所以实在很难下判断。
俞：您提到了致远学院。向子卿在哪里？
B：他不在致远学院，是在一个计算机科学之类的学院。
俞：那是一个计算机科学的特别班级。
B：在致远学院，如果我记得对，分五个班：物理、化学、生物、数学及计算机科学，每个班大约有三十位学生。
俞：但您的课程有收其它系的特别班学生？
B：通常只有数学，只有 20 个、或许 30 个学生。有些学生选了其他课。
林：他们是研究所程度、硕士程度或者大学部的程度？
B：只是大学部程度。
林：但是他们跟您四年，大有进步。
B：我教一些讨论会和阅读专班。教过像赵达这样的学生，很优秀而且积极。
俞：对，在 1 月 24 至 26 日的会议中，会看到赵达、朱艳和其他人。我想他们在上海交大时深受坂内博士影响。大家会看到很多他在上海教过的学生。有人有最后想说什么吗？
林：谢谢您分享您的看法。您的观点非常重要，会启发读者，让他们有扎实的了解及好的方向。这会激励更多好的研究，在未来取得成功。非常谢谢您。
俞：很多珍贵的建议。我希望学生们把握机会和坂内博士交谈。坂内博士夫妇一月底将会离开台湾。还剩两个月左右。非常谢谢您们。
B & E：非常谢谢。很感谢你们提供的机会与支持，让我们在理论中心及台湾大学访问将近十四个月。我们真的很喜欢和这里的人一起工作。
注：本文访问者坂内悦子（Etsuko Bannai）任教九州大学，俞韦亘任教中央大学数学系，林延辑任教台湾师范大学数学系，梁惠祯任职中央研究院数学研究所，江嘉恩就读台湾师范大学博士班，李金彦、叶政叡分别就读中央大学博士班与硕士班。
参考文献
[1]我想这是当时同侪之间的普遍想法。那是学运的年代。虽然我们并没有积极参与抗议, 但包含我们在内的许多学生, 仍倾向反建制 (anti-establishment), 同情学生的抗议；至少刚开始时是如此。
[2]精确来说是 1970 年。
[3]André Weil 有篇文章 《数学的未来(The future of mathematics)》, 弥永昌吉曾翻译过, 其中提到：『对数学来说, 数学家没有诺贝尔奖是好的。我们能够用纯粹的动机来唸数学。』 我也非常喜欢这种态度。
[4]在日文中我们称为「轮讲」。
[5]悦子和我 1964 年进东京大学时, 大约有 1000 位学生主修自然科学 I (科学与工程分支), 其中约仅 10 位女学生。
[6]平坂贡, 日本人, 九州大学博士, 釜山国立大学教授。
[7]另一方面, 在他的讨论会做口头报告时, 他极度重视准确性。关于如何铺陈材料, 我们学到很多。
[8]铃木通夫 (Michio Suzuki) 教授邀请榎本 (Enomoto) 和我访问伊利诺大学, 并安排我们出席这个会议。
[9]我想像居里夫人一样。
[10]Positive definite unimodular lattices with trivial automorphism groups, Mem. Amer. Math. Soc., 85(1990), no.429.
[11] John S.Hsia,1938～2020,July 27.
[12]Positive definite unimodular lattices with trivial automorphism groups, Mem. Amer. Math. Soc., 85(1990), no.429.
[13]Francois Jaeger (1947～1997)。他留给我们以下的话「不论结果如何地小, 我们应该尊敬结果与作者。」(也许不完全是他说的, 但它深烙在我们心里。)
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发表于 2022-10-6 09:27
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