在 Z5 域中定义的“+”，其实并不是普通整数域中的“加”，而是“模 5 取余的加”

wufaxian

《普林斯顿数学分析》P38

集合 S = { 0, 1, 2, 3, 4 } 结合普通的加法和乘法无法构成一个域．因为 S 包含 2 和 3，但是 2+3 = 5 不属于 S，所以 S 对加法不封闭．同样地，(2)(3) = 6 \(\notin\)S， 所以 S 对乘法也不封闭．

但是，不妨设 T = S mod 5，也就是说，我们在 S 中把数 5 设为 0．那么 10 = 5 + 5 = 0 + 0；同样地，5 的任何倍数也都等于 0．此时，2 + 3 = 5 = 0 就 包含在 T 中．在 T 中，元素的任意和或积 x 均包含在 T 中；因为当 x\(\ge\)5 时， 我们可以把 x 写成 x = 5n + m = m，其中 m, n ∈ N 且 m < 5．这个奇怪的域 T 通常记作 \(Z_{5}\)．



—————-对于上面红色字体感觉比较矛盾，比如17，可以看作5*3+2=2   ，还在T中。在这个过程中5先被看成5，来令5*3+2=17，接着5又被看成0，令5*3+2=2。  所以5究竟是5还是0 ？如果我们定义5“就是0”，那么令5*3+2=17就有些牵强了！

luyuanhong

在 Z5 域中定义的“+”，其实并不是普通整数域中的“加”，而是“模 5 取余的加”。

上面写 x = 5n + m = m ，人们容易把其中的“+”当作普通整数域的“加”，就会觉得有矛盾。

最好把式子写成 x ≡ (5n + m) mod 5 ≡ m mod 5 ，这样人们就不会有误会了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-10-13 16:51
在 Z5 域中定义的“+”，其实并不是普通整数域中的“加”，而是“模 5 取余的加”。

上面写 x = 5n + m  ...

谢谢lu老师讲解。
请问“ “模 5 取余的加”。”和普通加法有什么区别？相加结果除5，然后取余数 ，余数作为加法结果？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2022-10-14 03:47
谢谢lu老师讲解。
请问“ “模 5 取余的加”。”和普通加法有什么区别？相加结果除5，然后取余数 ，余数 ...

对。“模 5 取余的加”，就是先作普通的加，相加的结果除以 5 ，然后取余数 ，余数就是这种运算的结果。

llshs好石

这不会是5进制吧？