D,E,F 在 ΔABC 边上，BD/DC=AF/FB=CE/EA=λ，AD,BE,CF 交于 L,M,N，求 SΔLMN/SΔABC

jvk0825

請問此題如何求解？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子。

其中（2）推导出的结论是：

      若 BD／DC = CE／EA = AF／FB = k ，则  SΔGHI／SΔABC = (k-1)^2／(1+k+k^2) 。

在本题中， BD／DC = CE／EA = AF／FB =  λ  ，所以有

                   SΔLMN／SΔABC = (λ-1)^2／(1+λ+λ^2) 。

王守恩

\(这样也是一条路。记∠A=A1+A2,∠B=B1+B2,∠C=C1+C2,则\)

\[\frac{S_{ΔLMN}}{S_{ΔABC}}=\frac{(\frac{\sin A1\sin(C1+C2)}{\sin(A1+B2)}-\frac{\sin C2\sin(A1+A2)}{\sin(B1+B2)})(\frac{\sin C1\sin(B1+B2)}{\sin(C1+A2)}-\frac{\sin B2\sin(C1+C2)}{\sin(A1+B2)})\sin(A1+B2)}{\sin(A1+A2)\sin(B1+B2)\sin(C1+C2)}\]