莱布尼茨还是欧拉？——谈函数概念的历史发展

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莱布尼茨还是欧拉？——谈函数概念的历史发展



文章转载自微信公众号：好玩的数学

作者 | 姚少魁（北京市第八十中学），张浩（北京市朝阳区教育科学研究院），转自《数学教学》

摘要：人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册称函数符号是由德国数学家莱布尼茨在 18 世纪引入的，而人教B版普通高中教科书数学必修第一册称欧拉于 1734 年首先使用字母表示函数。究竟哪一种说法准确？通过简介函数概念的数学史发展，指出莱布尼茨最早使用了“函数”的说法，而欧拉最早给出了表示函数的符号 f 。

关键词：函数；数学符号；数学史；数学教育

1 引言：源自两本教科书的疑问

函数是中学数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的一条主线，同时也是现代数学最重要的概念之一，它是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。

哥廷根数学学派的创始人、德国数学家 F·克莱因（Felix Klein，1849-1925）称函数是数学的灵魂，他强调用近代数学观点改造中学数学内容，并提出用“函数观念和几何直观作为数学教学的核心”，以函数为核心概念的教材结构体系是学生理解数学、应用数学解决问题的典型载体[1]，他在 19 世纪末领导德国数学教育改革的口号就是“用函数来思考”（functional thinking）[2]。

同样来自德国的语言学家洪堡特认为“语言决定人的世界观”，数学语言作为一种特殊的语言也影响了人的世界观。数学符号作为数学语言的重要组成部分，其含义明确、表达简明、使用方便，并且还体现了数学的特征：形式化、抽象化、符号化。没有数学符号，数学就难以快速发展，科学的发展也会步履维艰。

关于函数符号的创立，2019 年人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册（简称人教A版新教材）在 3.1.1 节（第 62 页）给出函数概念时介绍道：“函数符号 y=f(x) 是由德国数学家莱布尼茨在 18 世纪引入的。”在之前的人教 A 版教材 1.2.1 节也有同样的介绍。2019 年人教 B 版普通高中教科书数学必修第一册（简称人教 B 版新教材）在拓展阅读《函数定义的演变过程简介》中称：“欧拉于 1734 年首先使用字母 f 表示函数。”

人教社的这两本教科书中出现了不一致的说法，哪个说法准确呢？函数符号 f 到底是谁最先使用的？莱布尼茨还是欧拉？莱布尼茨和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作用？还有哪些数学家对函数概念的形成起到了关键作用？

2 函数的概念发展简史

二十世纪六十年代，我国数学史学家杜石然先生在《函数概念的历史发展》一文中介绍了函数概念经历了六次扩张，其中提到 17 世纪末莱布尼茨（G.W. Leibniz，1646-1716）引入了函数的概念，但他把函数理解为幂的同义词，而函数符号 f(x) 是欧拉（L. Euler，1707-1783）于 1734 年首先引入的[3]。杜石然先生的说法参考的是苏联大百科全书“数学符号”词条。关于函数符号的引入，M·克莱因（M. Kline，1908-1992）在《古今数学思想》（第二册）中写道：“在函数的符号表示方面，约翰·伯努利 1718 年用 φx 表示 x 的函数，Leibniz 同意这样做。记号 f(x) 是欧拉于 1734 年首先引进的”[4]。徐品方、张红的《数学符号史》在介绍函数符号史时将函数的概念发展分成七次扩张，称欧拉在 1734 年的著作中就用 f(x/a+c) 表示 x/a+c 的任意函数，并称“这是数学史上首次用 f(x) 表示 x 的函数，一直沿用至今”，此外拉丁语函数“function”一词最早作为专门数学术语使用的是莱布尼茨[5]。世界著名数学史学家卡尔·博耶（Carl B. Boyer，1906-1976）在《数学史》中称“莱布尼茨不是现代函数记号的发明者，但‘函数’这个词要归功于他，这个词跟今天所使用的在很大程度上是一样的意义”[6]。

由此可见，针对前面从两本教科书中发现的问题已经有了一个确定的回答，函数符号 f 最先是欧拉使用的，而莱布尼茨最早使用了“function”一词表示函数的含义。人教 A 版教材在此处有误，应该进行修正。

亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状”。在《普通高中数学课程标准》（2017 年版）中对于“函数的形成与发展”这部分内容提出了以下要求：“收集、阅读函数的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。”因此，尽管前面的问题已经得到回答，但是我们仍想对教材中出现的有关函数概念的数学文化和数学史做一些深入的探讨。

2.1  教科书中的函数发展史

首先给出各版本的教材中对函数概念的发展的简介，按照原文出现的历史人物及贡献将部分节选内容列举如下。

人民教育出版社 A 版普通高中教科书数学必修第一册（2019 年出版）《函数概念的发展历程》：

莱布尼茨：“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在 1692 年使用。

李善兰：在中国，清代数学家李善兰在 1859 年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译做“函数”。

约翰·伯努利：瑞士数学家约翰·伯努利强调函数要用公式表示。

欧拉：瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。

狄利克雷：德国数学家狄利克雷在 1837 年时提出：“如果对于的每一个值 x ，总有一个完全确定的值 y 与之对应，那么 y 是 x 的函数。”

说明：与人教 A 版旧教材的内容完全相同。

人民教育出版社 B 版普通高中教科书数学必修第一册（2019 年出版）《函数定义的演变过程简介》：

莱布尼茨：“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系。

欧拉：欧拉于 1734 年首先使用字母表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。

黎曼：1851 年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定 x 是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。如果对它的每一个值，都有未知量 y 的唯一的一个值与之对应，则称 y 为 x 的函数。

布尔巴基学派：1939 年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了函数的定义……

人民教育出版社 B 版普通高中教科书数学必修第一册（旧教材）《函数概念的形成与发展》：

笛卡儿：当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象。法国哲学家、数学家笛卡儿引入了坐标系，创立了解析几何。他把几何问题转化为代数问题。

牛顿：英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿，以流数来定义描述连续量——流量（fluxion）的变化率，用以表示变量之间的关系。因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念。

莱布尼茨：函数（function）一词首先是由德国哲学家莱布尼茨引入的，他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、交量、参变量等概念。

欧拉：瑞士数学家欧拉于 1734 年引入了函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是由一个公式确定的数量关系。

狄利克雷：直到 1837 年，德国数学家狄利克雷放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了是 x 与 y 之间的一种对应的现代数学观点。

李善兰：1859 年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今。

江苏凤凰教育出版社普通高中教科书数学必修第一册《函数概念的形成与发展》：

笛卡儿：1637 年，法国数学家笛卡儿在《几何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及了变量，同时也引入函数的思想。

莱布尼茨：1692 年，德国数学家莱布尼茨最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵坐标等。

约翰·伯努利：1718 年，瑞士数学家约翰·伯努利给出函数新的解释：“由变量和常量用任何方式构成的量都可以叫作的函数。”

欧拉：1755 年，瑞士数学家欧拉给出了函数的如下定义……

狄利克雷：1837 年，德国数学家狄利克雷认为：“如果对于 x 的每一个值，总有一个完全确定的 y 值与之对应，那么 y 是 x 的函数。”

李善兰：1859 年，我国清朝数学家李善兰将 function 一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。”这里的“函”，是包含的意思。在国外的数学书上，习惯将函数（即对应关系）记为 y=f(x) ，而在国内的数学书上，通常将函数写为“地=函（天）”。

北京师范大学出版社普通高中教科书数学必修第一册《函数概念的起源》：

伽利略：意大利科学家伽利略第一个提出了函数或称为变量关系的这一概念。

莱布尼茨：“function（函数）”这个词作为数学术语，最初是由微积分奠基人之一、德国哲学家、数学家莱布尼茨在 1673 年的手稿中首次使用的。

李善兰：1859 年，我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把“function”译为“函数”。

在以上不同版本教材的简介中，莱布尼茨和欧拉都经常出现，那么在函数概念发展的历程中，教材中提到的这些人物做出了哪些贡献，还有哪些关键人物呢？为了对函数概念有更全面的理解，也方便师生在撰写函数发展过程的小论文时参考，我们以人物为线索，简要回顾函数概念发展的几种学说，不同历史阶段更多数学家对函数的理解还可参考[7]。

2.2 变量说

对运动与变化的研究是函数概念产生的直接原因。16 世纪以来，人们对地球运动、天体运动以及如何测量时间等实际问题的需要，使得自然科学转向对运动的研究以及对各种变化过程和各个变化着的量之间关系的研究，因此数学中出现了“变量”的概念。从此，数学从漫长的常量数学时期进展到变量数学时期，也就是从研究“数”变为了研究“函数”。尽管初中教材已经出现函数的概念，但直到高中教材函数一章的全面介绍，中学数学真正从对数的研究转变为对函数的研究。函数概念的发展离不开微积分观念的发展，要研究运动变化过程自然离不开“微分”，因此学生在高中接触导数与微积分之后，也正式跨入了近代数学的大门。

● 笛卡儿、费马、牛顿

众所周知，笛卡儿与费马是解析几何的奠基者，他们引入了坐标系，使代数表达式和平面上的几何图形相对应，从而可以将几何问题转化为代数问题来研究。但事实上，他们也是函数概念的奠基人，他们提出了坐标中和具有某种关系，如费马所说“每当我们找到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它描写的不外乎是一条直线或曲线”，这里出现的轨迹和曲线就是早期函数的类似物。

牛顿首次用专门术语 genita（拉丁文）描述了从一个量中得到的另一个量。牛顿称他的变量为流数。牛顿为函数概念的发展作出的最大贡献在于他使用了幂级数，幂级数对函数概念的后续发展非常重要。

● 莱布尼茨

北师大版新教材中称“function（函数）”这个词作为数学术语最初是由德国数学家莱布尼茨在 1673 年的手稿中首次使用的，而人教 A 版新教材、苏教版新教材均称莱布尼茨于 1692 年最早使用“函数”这个词。事实上，这两个事实是不矛盾的。

莱布尼茨在 1673 年的一篇手稿《反切线或函数方法》（Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus）中首先使用了“function”的拉丁文，但这个词并不表示函数的含义。术语“function”首次出现在印刷品上是莱布尼茨在 1692 年发表的论文《De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章中也包含了许多现在常用的其他数学术语[8]。在 1694 年莱布尼茨的另一篇论文中也出现了函数，他用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如曲线上点的坐标、弦、切线、法线等。

莱布尼茨的函数的定义过分限制在几何领域。事实上，作为微积分的奠基人，牛顿和莱布尼茨当时所研究的微积分并不是现代意义下基于函数的微积分，而是基于几何学的微积分。

● 约翰·伯努利

之后，莱布尼茨的学生约翰·伯努利（J. Bernoulli，1667-1748）使用了函数这个术语。1698 年 7 月，莱布尼茨在给约翰·伯努利的信中写道：“我很高兴你在我的意义下使用函数这个术语”。伯努利在 1698 年 8 月的回信中说：“为了表示某个不定量的函数，我喜欢使用相应的大写字母或希腊字母，这样我们就可以同时看到这个函数所依赖的不定量。”在同一封信中，他使用了符号 F 和 φ 。之后，函数的概念逐渐脱离几何。

1718年，伯努利首次明确给出函数的正式定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常数以任意一种方式构成的量”。他试验过几种表示的函数的符号，其中用数学符号表示函数是最接近现代记法的一种。“变量”一词也是这时引入的。伯努利的这个定义脱离了几何语言，但他没有解释“以任意一种方式构成”的含义。

● 欧拉

下一位关键人物是欧拉，他是约翰·伯努利的学生。在约翰·伯努利的基础上，欧拉在18世纪30年代发表的一篇论文中用表示的任意函数，之后在 1748 年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把一个变量的函数看作由该变量和一些常数以任何方式构成的解析表达式，如 ，。欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积分是关于函数的，而不是关于曲线的。这是欧拉的“解析式”定义。

1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数”。这是欧拉的“依赖关系”定义。

总之，欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数”函数、“超越”函数，“单值”函数、“多值”函数等术语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示。欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变量说”。欧拉对函数发展的更多贡献可参考[10]。

● 其它数学家

欧拉及同时代的其他数学家都要求函数是通过一个解析式表达出来的，根据他们的观点，不能用一个解析式表达出来的关系，不能称之为一个函数。在这一时期，持用解析式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位。

丹尼尔·伯努利在研究弦振动方程时，获得了一个称为三角级数（即后来的 Fourier 级数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有的函数都可以表示为三角级数的形式。

拉格朗日在《解析函数论》（1797 年）中称一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母或  放在一个变量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种给定的规律随着那个变量一起变化。拉格朗日在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限制为解析函数。

德摩根在 1837 年的《代数学》中将函数定义为以任意方式包含 x 的表达式。1851 年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称“若一个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第一个变量为第二个变量的函数”。英国传教士伟烈亚力（A. Wylie，1815-1887）和清代数学家李善兰（1810-1882）翻译的《代数学》和《代微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）正是这两本书，它们采用的都是函数的“解析式”定义，因此他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同。李善兰将函数符号“f”用“函”表示，从而函数用汉字化符号表示成“地=函（天）”。《代数学》中函数定义为：“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”，这就是中文数学名词“函数”的由来。当代数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译著，因为它们给中国传统数学带来了西方符号表示理论体系和系统化的微积分理论[11]。

人教 A 版教材称“在中国，清代数学家李善兰在 1859 年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将‘function’译做‘函数’”，而北师大版新教材称“1859 年，我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把‘function’译为‘函数’”。那么李善兰究竟是在《代数学》还是《代微积拾级》中最早把 function 翻译成函数的？事实上，这两本书可能是同时进行翻译的，并且都是在 1859 年于墨海书馆出版的。因此，更确切的说法可能是：1859 年，我国清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在合译《代数学》与《代微积拾级》时首次将“function”译为“函数”。徐品方、张红在《数学符号史》中使用了这种说法[5]。

用函数的解析式定义有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系无法用解析式表达。更多关于解析式定义的内容，我们推荐读者阅读[9]。

2.3 对应说

1755 年，欧拉就给出了函数的“依赖关系”定义，这种定义也逐渐演变为“对应说”。之后，傅里叶摆脱了欧拉单一解析式定义的束缚，柯西、狄利克雷和黎曼等给出了函数的现代定义。

● 傅里叶

法国数学家傅里叶（J. Fourier，1768-1830）在研究热传导方程的解时，得到结论：在不同的区间一个三角级数的和可用不同的算式表达。他认为函数是否由单一解析式给出并不重要，他在 1822 年《热的解析理论》中给出函数的如下定义：“函数代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标的值，有同样多个纵坐标。……我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律”。

● 柯西

法国数学家柯西（A. Cauchy，1789-1857）指出了拉格朗日用幂级数定义函数的局限，他研究了函数 f(x)=e^(-1/x^2)（当 x≠0），f(x)=0（当 x=0）并证明在 x=0 处 f(x) 的各阶导数均为 0 ，但按照泰勒级数给出的函数不是原来的函数。1823 年，柯西用关系给出了函数的定义：“在某些变量之间存在着一定的关系，只要其中某一变量的值给定了，其它变量的值可随之而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量就叫做函数”。

● 狄利克雷

1837 年，德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet，1805-1859）改进了傅里叶的定义，给出了函数的以下定义：“如果对于给定区间上的每一个x 的值，有唯一有限的 y 的值同它对应，那么 y 就是 x 的一个函数。至于在整个区间上 y 是否按照一种规律依赖于 x ，或者依赖于 x 是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的”。

由此，函数可以理解为一个规则，变量 x 的值固定了，按照这个规则确定了（或对应着）唯一的一个值 y 。函数的这个定义打破了十八世纪占统治地位的函数只能由一个解析式来表达的想法，狄利克雷在研究傅里叶级数的收敛性问题时出现了狄利克雷函数。这样定义的对应关系在狄利克雷的意义下成为函数。狄利克雷的函数定义已经接近中学教科书中的函数概念[12]。

自狄利克雷的工作之后，出现了大量的“病态”函数，分析学的特征也出现了变化。17 世纪以来，分析学被认为可以应用于“所有”函数，从狄利克雷开始，分析学转向研究特定的函数类，如连续函数、可微函数、可积函数、单调函数等。而一些数学家也开始研究一些不规则的函数，如魏尔斯特拉斯在 1872 年给出的著名的处处不可微的连续函数。

● 黎曼

1851 年，黎曼（B. Riemann，1826-1866）给出的函数定义是：“假定 z 是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个值，都有不定量 w 的唯一的值与之对应，则称 w 为 z 的函数”。

狄利克雷和黎曼的定义中采用了“唯一的一个值与之对应”，通常这样的定义称为函数的“对应说”，这样函数的概念从“变量说”转变为“对应说”，我国现行高中教科书大多采用这样的定义[13]。

因此，用“对应说”定义函数，主要关心的是对应的结果，而不是过程，对应法则是手段，对应结果才是目的[14]。相同的对应关系可以有不同的式子来表达，在这一点上，柯西给出了一个很简单的例子，  也可以用  或  来表示。我们还可以举出其他初等例子，比如  与  是同一个函数；  和  是同一个函数，等等。此外，对于函数  与  ，由于对应法则不同，它们貌似是两个不同的函数，但仔细分析，它们的定义域相同，并且一旦变量的值固定，按照这两个解析式给出的规则都确定了相同的值，因此这“两”个函数是同一个函数。

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2.4 关系说

1874 年，康托尔开创了集合论，到 20 世纪初，集合论的思想与方法渗透到数学的各个领域。在建立集合论之后，函数定义又以集合对应的方式进行了改写。

1888 年，戴德金把函数定义为集合间的映射，而映射指一种规则：在这种规则下，系统（即集合）中的任意元素对应于确定的对象。

1904 年，J. Tannery 给出了基于集合论的函数定义：考虑不同的数组成的一个集合，这些数可作为赋予字母 x 的值，则称 x 为一个变量，设 x 的每一个值对应于一个数，后者可作为赋予字母 y 的值，则我们称 y 是由集合所确定的 x 的函数。

1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上，给出的函数定义如下：设 A 和 B 是两个集合，它们可以不同，也可以相同。A 中的变元 x 和 B 中的变元 y 之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个 x∈A ，都存在唯一的 y∈B ，它满足与 x 给定的关系。称这样的运算为函数，它以上述方式将与 x 有给定关系的元素 y 和 A 与 B 每一个元素相联系。称 y 是函数在元素 x 处的值，函数值由给定的关系所确定。

布尔巴基学派还给出了函数用笛卡尔积子集（有序对）来定义的方法，这个定义也可以在《普通高中数学课程标准》（2017 年版）案例 2 中找到：设 (x,y) 是定义在集合 A 和 B 上的一个二元关系 F ，称这个关系为函数，如果对于每一个 x∈A ，都存在唯一的 y∈B ，使得 (x,y) ∈F 。但课程标准在此处未明确二元关系的定义，实际上集合 A 和 B 上的一个二元关系指集合 A 和 B 的笛卡尔积的一个子集。这个定义可以用形式化的语言描述如下：设 A 和 B 为两个集合， ， 任意  ，存在  使得  ，若  且蕴含  ，则称是集合到集合的函数。

以“关系”为桥梁，通过集合来定义函数称为函数的“关系说”。“关系说”通过附加条件避免了交代“对应关系”，国外的一些中学教材[15]也有采用。另外，布尔巴基学派是研究数学结构的先驱，最早用集合论语言刻画了数学结构。在 20 世纪，将任意集合之间的映射作为函数的概念逐渐占据主导地位。现代范畴论的奠基人麦克莱恩（S. MacLane，1909-2005）1986 年在《Mathematics: Form and Function》一书中详细探讨了函数的各种“直观”看法，使用有序数对给出了一个形式化定义，并用或来表示一般函数[16]。

“关系说”定义揭示了函数的本质但过于形式化，不利于初学者掌握[17]，因此出现了函数新定义的一些尝试[13][14]。笔者认为，虽然这种定义比较抽象，但对于已经熟练掌握高中教科书中函数概念的学生来说，适当的形式化可以培养学生的数学抽象素养，尤其是对于基础较好的学生，为了学生今后的发展，了解函数的一些更近代定义或许可以为他们打开一扇了解近现代数学的大门。

2.5 教科书中的函数概念

我们使用现行人教A版高中教科书（2019 年新教材）的函数概念：一般地，设 A ，B 是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x) 。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

从上面的叙述可以看出，在高中阶段，函数定义就是结合了布尔巴基学派的“关系说”和源自狄利克雷、柯西、黎曼等的“对应说”而形成的，这种表述也称为函数的“对应关系说”。

在这个概念中有一点需要说明：非空实数集指由实数组成的非空集合。为什么要如此大费口舌呢？原因在于实数集在教材中是一个特殊的集合，人教 A 版教材中称“全体实数组成的集合称为实数集”，于是实数集特指 R ，显然是非空的。教材中只有在函数定义中出现了“非空实数集”一词，因此应特别指出，以避免初学者将这一定义中的非空实数集当作 R 。与人教 A 版旧教材相比，原来的定义为“设 x∈E ，E 为非空的数集”，从数集到实数集，尽管只有一字之差，但对于初学者而言，却容易引起歧义。为了严谨，我们建议在定义中“设 x∈E ，E 为 R 的非空子集”。此外，为了强调集合的重要性，以及区分集合和值域，我们也建议给集合一名称“陪域”（英文 codomain），这样的叫法在英文文献中广泛使用。

中学阶段的函数概念考虑的是非空实数集合之间的映射，而这一概念在学生步入大学初期就会迅速而广泛地推广，如多元微积分中的多变量函数是 R^n 到  R 的映射，线性代数中的线性映射研究 R^n 到 R^n 的映射，内积是 R^n×R^n 到 R 的映射。从历史上看，函数最早指微积分中到的函数，如今用集合概念给出的一般函数（映射）概念在数学中起到了强大的统一作用[16]。因此，对于学力较好的学生，可以适当补充映射的相关知识，为学生进一步理解函数的推广概念奠定基础。

3 结语

对函数概念的简单回顾可以看出函数概念是一代代数学家经过多次抽象的结果，不同的历史阶段，对函数的认识角度不同，即使是同一数学家，在其不同阶段对函数的定义也有差异。函数是微积分的基本研究对象，但从历史上看，微积分在函数概念没有明确给出之前就建立了，最早的微积分是建立在曲线上的（几何学）。函数概念的提出使得诞生于几何学的微积分走上了代数化的道路，作为继欧几里得几何之后，全部数学中一个最大的创造，微积分的发展又促使人们对函数有了新的认识。

函数最早是一个几何概念，当用解析式表达函数时成为一个代数概念（或分析概念），从数学史上看，用幂级数定义的函数（如的幂级数定义）、用积分定义的函数（如欧拉定义的 Gamma 函数，概率论中正态分布函数等）、用微分方程或偏微分方程的解定义的函数（如 Bessel 函数、超几何函数等特殊函数）等对推动数学和应用数学的发展起了非常重要的作用，感兴趣的读者可以参考[18][19]；当函数作为“对应”的“逻辑”概念出现时，函数的概念进一步得到发展。随着数学的发展，函数的概念不断精确化，并且不断推广和发展，其漫长的演变过程，体现了人们追求真理的执着精神。

当谈到数学符号，不得不提及莱布尼茨。莱布尼茨希望找到一个符号系统，并给出这些符号之间的运算规则或推理演算规则，使用这种符号演算，就能够判断用这种语言写成的句子何时为真。给出这样一套理想的符号系统或语言，给出确定的语言演算规则，把日常问题转化为这种语言，利用演算就可以求解问题的答案，这就是莱布尼茨之梦！莱布尼茨曾说“符号的一般技巧或记法上的技巧是一种绝妙的辅助工具，因为它减轻了想象的职务，……要是所用的记号简洁地表达了而且反映了事物最本质的话，那么思想的工作就大大地减少了”。如莱布尼茨把曲线看成是边数为无穷的多边形，每个点的纵坐标为，是无穷多边形的边的交点确定的横轴的无穷小的部分，从而表示无穷小面积，因此莱布尼茨的记号解释为曲线下的面积。莱布尼茨发明的微分符号和积分符号沿用至今，莱布尼茨的这些符号也把只有少数专家能懂的微积分理论变成了可以在教科书中讲授的清晰明白的内容。数学史学家梁宗巨先生认为“一套合适的符号，绝对不仅仅是起速记、节省时间的作用。因为他能精明地、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系，对于一个复杂的公式，如果不用符号而用日常用语来表述，往往十分冗长而模糊不清。”莱布尼茨使用的符号具有极大的优越性，这充分体现了一套好的符号体系与演算规则力量无穷！

然而，从我们所查阅的资料分析可以看出，尽管“function”一词是莱布尼茨最早引入的，但我们熟悉的函数符号的创立应归功于欧拉。事实上，欧拉引入的符号在几何学、代数学、三角学及分析学中也随处可见，如三角学中使用小写字母 a、b 和 c 表示三角形的边，使用对应的大写字母 A、B 和 C 表示对应的角，就源自于欧拉，此外用 log 表示对数函数，用 ∑ 表示求和也都源于欧拉。总之，我们今天所使用的符号之所以是这个样子，很大一部分功劳归功于欧拉和莱布尼茨。

参考文献：

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作者简介：

姚少魁（1984—），男，陕西周至人，北京市第八十中学教师，博士，研究方向为数学物理。

张浩（1992—），男，山西太原人，北京市朝阳区教育科学研究院，博士，研究方向为代数学、数学教育。