有限集的势——-证明有问题吧？

wufaxian

摘自《普林斯顿数学分析读本》p73

定理 8.5 (有限集的势).

设 A 和 B 是有限集，那么当且仅当 A 和 B 具有相同数量的元素时 A ～ B．（～符号是两集合是双射关系）

证明. 对于有限集 A 和 B，我们将证明“当且仅当”的两个方向． 如果 A～B，那么存在一个函数 f，该函数将 A 的每个元素（因为 f 是一 个定义良好的函数）至多映射到 B 的一个元素（因为 f 是单射），并且 B 的每 个元素都被 A 的某个元素映射到（因为 f 是满射）．因此，对于 A 的每个元素， B 中都有一个元素与之对应，并且 B 的所有元素都被这种对应关系覆盖，所以 A 和 B 一定具有相同数量的元素．

如果 A 和 B 都包含 n 个元素，那么我们可以将集合记作 A = { a 1 , a 2 , · · · , a n } 和 B = { b 1 · · · , b 2 , , b n }把 f : A → B 定义为 f : a i\(\mapsto\) b i ，其中 1\(\le\)i \(\le\)n．那么 f 是一对一且映上的函数，所以 f 是一个双射．我们找到了一个 A → B 的双 射，所以 A～B．



—-———-上述证明，红色字体是 “由A 和 B 都包含 n 个元素推出A～B”的关键条件，但是这个条件即没有出现在定理中，也并非天然存在，比如f(a1)=f(a2)=b1。并不违反函数定义！那就无法推出A～B了！