之前未注意过：椭圆中的绝对值符号，可否去掉？

dodonaomikiki

Given   that：   

\(          semi-major-axis=a          \)
\(          semi-minor-axis=b          \)
   \(OA\perp  OB           \)
Prove   that:
\(            \Gamma：              \frac{     1       }{OA^2 }+\frac{ 1          }{OB^2}=1                  \)



Proof
\(   \measuredangle   AOX=\theta      \)
  \begin{cases}           x=\rho  cos  \theta         \\  y=\rho  sin  \theta                   \end{cases}  
  \(\Gamma：        \frac{     1       }{\rho^2 }=  \frac{ cos ^2 \theta       }{a^2}   +\frac{  sin ^2 \theta          }{b^2}              \)
  \( \begin{cases}         OA=\rho 1         \\ OB=\rho 2                  \end{cases}         \)
  \(  \Longrightarrow         \frac{     1       }{\rho_1^2 }=  \frac{ cos ^2 \theta       }{a^2}   +\frac{  sin ^2 \theta          }{b^2}              ...  ...(1)   \)

      \(  \Longrightarrow        \frac{     1       }{\rho_2^2 }=  \frac{ cos ^2（90^O+ \theta）=sin ^2 \theta        }{a^2}   +\frac{  sin ^2（90^O+ \theta）= cos ^2  \theta         }{b^2}              ...  ...(2)  \)



Hence
\((1)+(2)=    \frac{     1       }{\rho_1^2 }+   \frac{     1       }{\rho_2^2 } = \frac{ 1     }{a^2}   +\frac{ 1       }{b^2}     =1     \)
\(  \Longrightarrow     \frac{     1       }{OA^2 }+\frac{ 1          }{OB^2}=1        \)

dodonaomikiki

如果原来的资料中像主楼那样证明，
那倒也作罢！
但问题是，
原资料中，
OA,OB是 带有绝对值符号，请看图中，海蓝色箭头所指的红色绝对值符号！





非常令人迷惑：是不是，此题证明中，引入了向量的意念？
如果不带有绝对值符号，会出现什么问题、什么纰漏？

dodonaomikiki

   \(                cos ^2（90^O+ \theta）=sin ^2 \theta                               \)

那是因为   \(                   cos（90^O+ \theta）=-cos(90^O- \theta)=-sin \theta                  \)     


  \(                sin ^2（90^O+ \theta）=   cos ^2（90^O+ \theta)                   \)
那是因为       \(                 sin （90^O+ \theta）=  sin(90^O- \theta )=cos \theta                   \)