数学家怀尔德的直觉主义思想

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数学家怀尔德的直觉主义思想

作者 | 刘鹏飞  

来源 |《科学技术哲学研究》第 37 卷第 2 期

摘 要: 数学家怀尔德曾担任美国国家科学院院士、美国数学会主席和美国数学协会主席，在多篇文章和多个场合中强调自己是一个直觉主义者，认为数学中所谓的“证明”只不过是对我们直觉产物的一种检验过程。他高度重视直觉在数学概念进化、数学问题研究和数学教学过程中的作用，他的数学直觉主义思想至今仍有重要的当代价值。

关键词: 怀尔德; 数学直觉; 直觉主义; 数学证明

中图分类号: O11  文献标识码: A   文章编号: 1674 － 7062(2020) 02 － 0095 － 06




一  数学基础问题的历史评述

在 19 世纪数学分析的实数体系建立所带来的“安全性”实现数学的自我满足后，类似古希腊时代无理数危机的集合论危机再次出现。因为数学的各个部分或多或少地依赖于逻辑和集合论，似乎有必要为整个数学建立一个新的基础来应对这一危机，20 世纪早期一些最有能力的数学家开始着手解决这个问题。最著名的是英国数学家和哲学家罗素与怀特海，德国著名数学家希尔伯特和荷兰数学家布劳威尔。

怀尔德指出，整个 19 世纪，对数学真正本质进行“解释”之强烈要求提供一种“遗传”的压力，这种压力导致了许多新的数学基础。德国数学家弗雷格认为所有的数学都可以建立在逻辑学基础上。意大利数学家皮亚诺和他的弟子们对公理法进行改进，从而为数学奠定了基础，引入了一种形式主义，这种形式主义使得陈述的精确度高于普通语言，就如欧几里得的《原本》。罗素和怀特海的工作很大程度上是受弗雷格和皮亚诺工作的影响而形成，二人的《数学原理》试图从不证自明的普遍逻辑真理（“重言式”）中推导出整个数学。随着数学研究深入更高的抽象领域，有必要引入一些很难被承认作为构成“不言而喻的逻辑真理”之公理。

希尔伯特的方法更直白地说就是公理，因为他的基本术语和命题，虽然用一种类似于《数学原理》的形式主义手法加以修饰，但它们所构成的不过是一组基本假设，它们自身既不是对的，也不是错的，而是“公式”，人们希望从这些“公式”中，通过精心构造的“有限性”方法，推导出整个没有矛盾的数学。所谓的形式主义，最终在希尔伯特和他的杰出学生贝尔奈斯合作的两卷名为《数学基础》著作中发表。

19 世纪著名数学家克罗内克之学说有着截然不同的特点，几乎形成了一种“文化奇点”。他对数学本质的“解释”包括断言“上帝创造了自然数，其余都是人的创造”，而自然数又是人类“直觉”的产物，“直觉”代替了上帝。与他同时代的人不同，克罗内克在数学发展道路上没有受到前人所受的关于负数或无理数实在性限制与阻碍，他避免使用所有不能从自然数中构造出来的数字（比如 2/3 这样的分数）。在世纪之交的集合论危机之后，克罗内克的论文被荷兰数学家布劳威尔以一种改进过的形式再次肯定，提出一种后来被称为“直觉主义”的数学形式。

怀尔德指出，直觉主义哲学的最大优点是它不受矛盾限制，从而保证了不受建构方法的限制。但它的致命缺陷是它不能仅用其构造方法，推导出被认为是现代最伟大成就之数学的大部分概念。从今天的观点来看，直觉主义可以被看作是一种试图阻止数学进化的努力——一种文化阻力。直觉主义产生巨大的、似乎是有益的影响，许多杰出数学家如庞加莱和外尔在某些或全部的原理上都有共同之处，更重要的是直觉主义建构性原则被发现在传统数学理论框架内适用于许多情况。

1931 年，奥地利数学家哥德尔两个不完备定理的证明，即不可能通过这种方法对数学进行完整的描述，也不可能在其自身框架内证明这种系统的完备性，使得怀特海和希尔伯特的伟大计划取得成功的希望彻底破灭。挪威逻辑学家斯科伦曾发起这项研究，最后得出集合论永远不可能有完整基础的结论。无论是逻辑还是集合理论，如果用现代数理逻辑中发展起来的有力方法加以分析，都不能被说成是一种独特的理论。相反地，它被证明是有可能发展出各种各样的逻辑学和集合理论。这可能被认为是“直觉主义”的部分胜利，直觉主义认为自然数是数学基础的理论似乎得到支持。

怀尔德认为，数学作为一门科学的地位与其他科学并无不同。数学与其他自然科学和社会科学的主要区别在于，自然科学和社会科学在其研究范围内直接受到物理或社会现象的限制，而数学只是间接地受到这些限制。数学几乎从一开始就变得越来越自给自足，现代数学家所研究的问题，主要来自数学中已经存在的理论，也主要来自自然科学理论，因此完全是文化起源。只要人类文化进化进程持续不间断，数学就如同物理、化学、生物和社会科学一样，会继续发展出更抽象、更科学有效和更奇妙的概念。数学中的数、几何、集合等抽象概念的唯一实在性是作为文化元素或人工创造，它的起源和进化是由环境和遗传的文化压力引起的，这些概念导致富有成效的数学发展，而且解决了过去三个世纪以来数学面临的危机。当然，他们又带来了新的危机（集合论危机），但这些危机反过来又促进对其解决办法的探索。达朗贝尔的名言“前进吧!信念会来到你的身边”是非常好的建议，直到数学大厦面临崩溃的威胁之前，为了拯救世界，我们需要有勇气进入一个新的概念世界[1]。

二  数学证明的本质

1944 年怀尔德发表“数学证明的本质”一文，通过查阅德州大学奥斯汀分校“多尔夫·布里斯科美国史中心”保存的怀尔德手稿资料，可以发现怀尔德的一个关于对数学基础（Notes Relating to Foundation of Mathematics）和相关内容注记的笔记本（没标记具体年限），笔记本内部贴有希尔伯特曾在德国数学年刊上的两篇文章内容剪纸，分别为“公理化思想”[2]和“数学的逻辑基础”[3]文中部分内容，尤其是希尔伯特说的原话，怀尔德在贴纸间隙用英文手写了一句话:“What is nature of proof this ?”[4]可见，他正是在梳理上述 20 世纪初数学基础主义三大流派之间的论争史，开始了对数学基础的哲学思考。

怀尔德指出:“在冒昧地跟大家讨论‘数学证明的本质’这样一个题目之前，让我向大家保证，我这样做并不是为了提出任何新的或惊人的事实，我这样做是因为我认为这对我们是有好处的，各类数学专家们经常使用让大家彼此模糊的术语讨论，应不时停下来反思我们正在做的事情和我们是如何做的。当然，我们把大部分的时间和精力投入到证明的行动之中。首先问大家一个问题，你相信有人能够最终证明费马定理吗？或者你相信有人能证明连续统假设吗？如果我们能找到定理证明，证明它们解的关键问题，那么很多的数学问题就会得到答案。”[5]

怀尔德讨论了数学归纳、实例证明、演绎与抽象、建构方法、非一致性原则等数学证明类型，指责了数学证明中的教条主义，牛顿和莱布尼茨建立的微积分从现代数学标准来看没有任何基础，但你不能说它不是数学。在定理证明的思想资源方面，怀尔德非常重视“直觉”的重要作用，数学的定理源于直觉，那么数学证明的角色是什么呢？在怀尔德看来，数学证明仅仅是对那些我们通过直觉提出之问题的检验过程。且有各种各样的检验方法，例如三段论、代换、有限选择等等。

怀尔德直言不讳地说自己是一个直觉主义者，他认为一个数学家的判断标准是他直觉的质量和可靠性，至少他有能力证明一些数学问题。无论何时我们要证明一个数学定理，在证明定理的同时需要检验证明定理的方法，如果给定的证明方法导致定理的不可接受性，那它大概也就会被数学家共同体所拒绝，而数学家共同体的一致同意被认为是数学可接受性的终极判断标准[6]。显然，怀尔德对于数学证明的信念是直觉主义的、经验主义或拟经验主义的，他对于从欧几里得开始就建立的演绎性、公理化证明，尤其是大卫·希尔伯特发展起来的形式主义证明是持批评态度的，认为他们是教条主义。他非常认同哈代的主张:“严格来说，没有数学证明这样的东西;我们可以在最后的分析中什么也不做，但必须指出证明就如同我和李特伍尔德称之为毒气的东西，只是修辞上的夸耀设计，会影响学生的心理、课堂黑板上的图片和刺激学生想象力的手段。”[7]

三  数学直觉的作用

1965 年，怀尔德在宾夕法尼亚州的韦斯特切斯特学院发表了题为“直觉的作用”之演讲，后于 1967 年发表于《科学》（Science）杂志上[8]。怀尔德在文章开篇回忆：我记得当我还是名博士生的时候，我导师（莫尔）一次又一次地告诫我“不要让你的直觉欺骗你”。然而，我永远记不起当时把这句话理解为什么意思，我可能认为它的意思是“不要让你的想象力把你引入歧途，你认为正确的东西很可能被证明是错误的”。怀尔德提到，关于直觉有可能带来认识错误这方面的文章，自己最喜欢的是收录于数学家纽曼主编的《数学的世界》选集中。数学家汉斯·哈恩关于“直觉的危机”的演讲文本，该文警告大家“你认为正确的东西很有可能是错误的”。哈恩用大家认为最直观的几何学科为例子，来说明在很多情形下直观都有欺骗性，会把我们引入歧途，直观上正确的命题一次又一次被逻辑分析证明是错误的，数学家们越来越怀疑直观的合法性。但怀尔德认为，虽然直觉是不可靠的，这种精神品质已经受到了太多的误解。如果没有直觉，数学创造将几乎停止。

1．直觉的本质。

怀尔德相信某些（如果不是全部，至少有一部分）哲人具有“先天的直觉”，他举例哲学家笛卡尔、康德、布劳威尔、庞加莱都有天生的直觉。怀尔德把直觉与经验联系起来，更准确地说是数学经验，而且数学家越有经验，他的直觉就越可靠。也就是说，数学直觉和智力一样是一种心理素质，这种素质可能来自遗传能力，但它主要是一种态度的积累，这种态度来自一个人的数学经验。当然，这并不意味着数学直觉是种已包含一个人对从未面对过的数学情境的态度。事实上，在今天这个数学分支广泛多样的时代，数学家可能对他从未研究过的分支几乎没有或根本没有直觉，他的直觉主要用在他有经验的领域。该论断与哈恩文章结论是一致的，即直觉是根植于心理惯性的习惯力量。直觉就像智力一样，可能完全是由文化环境造成的，甚至可能比智力受文化环境的影响更大。一般的非数学家头脑中除了有些模糊的直觉特质，根本就没有数学直觉，只有当他有了丰富的数学经验，才会产生数学直觉。

2．个体直觉与集体直觉。

怀尔德指出，在魏尔斯特拉斯给出一个实连续函数在定义区间内任意一点都没有导数的例子之前，几乎每个数学家都直觉地认为这样的函数不可能存在，这种直觉已成为一种文化态度、一种普遍信念。但每个数学家都曾研究过实变量函数，发展关于它们的直觉是可预期的，就那些构成每个数学家知识的、他们所关心的数学概念而言，可以认为存在数学共同体大多数成员都有的一种直觉。但一个人一旦超越这些概念进入更专业的领域，尤其是他们的前沿领域，直觉就变成一件非常个性化的事情，这种直觉在创造性工作中有直接的重要性。但这完全符合“数学直觉”的概念，它是一个从经验中获得的态度累积物。就普遍的知识而言，例如函数理论，我们所获得的态度是由我们老师所决定的，且明显与当时那个时代普遍的数学文化有关。但当一个人培养出特别感兴趣的领域，特别是当他开始从事某一领域的前沿研究时，他就会根据自己个人经验形成自己的态度，才能做出有根据的猜测，因为他已经形成了自己的直觉。

3．直觉在数学中的作用。

关于直觉的作用，怀尔德认为通过具体例子来说明是可取的。第一个例子是非欧几何，古希腊人和他们的中世纪后继者，显然拥有直觉“平行公理是正确的”。这是当时所有数学家都具有的一种直觉信念。哈恩引用这个典型例子来说明集体直觉是一种错误指南。但怀尔德认为直觉的错误并不足以得出它就是坏的结论，至少在这个例子中影响是非常有益的。如果没有“平行公理可从欧几里得其他公理中得到证明”这种信念（这种信念的直接结果是关于它是真理的共同直觉），那么，非欧几何的出现以及它对所有数学和哲学的影响可能会被推迟。当然，非欧几何迟早会被发现，最终会有人用其他方法来验证平行公理。但最终意识到平行公理的独立性，引发了哲学和数学思想的实质性革命。

第二个例子是：错误的直觉为“连续函数在其定义区间的某一点上必须有导数的信念”提供了基础，对魏尔斯特拉斯例子出版前的历史进行研究，就会发现这种虚假的直觉影响有其有益的一面。我们可以立即想起拉格朗日提出泰勒级数展开函数求导数的方法，从而开创了解析函数理论。如果拉格朗日知道（正如我们现在所知道的）在贝尔范畴定理意义上的“大多数”连续函数在定义区间内的任何地方都没有导数，他有可能会打消提出一种他认为适用于所有连续函数的方法之念头吗？

第三个例子是关于“闭合曲线”的，更具体地说是平面上两个区域的公共边界曲线。怀尔德指出，因为若尔当曲线定理和皮亚诺的空间填充曲线都激发了人们对平面曲线的兴趣。虽然我们现在知道了闭合曲线的一些很简单例子，这些闭合曲线除了作为公共边界的两个域外，还有其他的互补域，显然在 20 世纪初我们的共同直觉是只有两个这样的域，一个内域和一个外域。平面拓扑学方面的专家、欧氏空间拓扑学的主要创立者舍恩弗利斯的相关证明中理所当然地认为闭合曲线仅有两个互补的区域。这当然是坏的结论，但它对数学发展的影响是坏的吗？它显然引起现代直觉主义之父布劳威尔的注意，并激励舍恩弗利斯去研究假设的有效性，激发了舍恩弗利斯持续研究拓扑学的兴趣，特别是，使他对闭曲线的拓扑不变性产生了兴趣，导致同调理论在一般空间中的推广。他发现的很多拓扑学结果已经成为数学史上的经典（如不动点定理和局部欧氏流形的映射），但直到十多年后才完全被拓扑学的主流接受。

怀尔德通过三个都是错误的集体直觉例子，来说明它们的影响未必完全是坏的。古希腊关于数和量的集体直觉“所有的量都是可公度的”尽管在当时是错的，但它却促进了许多优秀的数学创造，这是数学进化中的自然现象。同时，怀尔德认为在每个案例中都有强有力的证据表明，发现基本直觉错误的过程都和几个数学领导者有莫大关系，且他们都是独立工作的。我们现在从数学史上也知道，高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基几乎同时发现非欧几何。波尔查诺关于有界数列必有收敛子列有一个类似于魏尔斯特拉斯的例子。布劳威尔发现病态闭合曲线例子的同时，日本数学家和田宁也提出一个。没有人知道有多少个体数学家，或者正在研究，或者已经给出了例子，来证明这些“集体直觉”的错误性质。

4．直觉在数学概念进化中的作用。

怀尔德从文化层面分析“直觉”在概念进化过程中的作用，上述历史案例中的数学概念进化在文化层面暗示了什么？前面怀尔德举出的都是错误案例，接着他举出一些直觉正确的案例，从而解释直觉促进新数学概念进化的过程。直觉主义哲学认为计数行为源于人的直觉，怀尔德认为是一种源于物质和文化环境的直觉，一种文化层面的直觉，几乎所有人都认为有必要进行原始形式的计数。这是最早的例子用以说明集体层面的“正确直觉”如何有助于建立数学大厦。正是这种直觉最终产生了导致“古希腊危机”的概念（无理数），对于欧多克斯和他的同时代人来说，有必要创造一种新的概念框架，随后出现了基于对数字概念的一种新直觉———即所谓的“几何度量”。这种直觉虽然用几何语言表述，但实际上构成了一个完整的实数系统理论。不幸的是，西方文化所走的公理化道路阻碍了古希腊直觉的进一步发展。

直到 19 世纪后半叶数学分析基础性问题讨论中，才揭示出欧多克斯所创造的直觉之不足。魏尔斯特拉斯等人提出的所谓“分析的算术化”，为实数的连续性提供了新的概念，但这个关于实数连续性的新概念产生了一种新的直觉———集合理论，康托的工作是这种新直觉的经典表述，其中一些错误是在早期集合论矛盾伪装下被发现的。数学界已发展出新的严谨性标准，认识到必须在更精确的集合论形式中寻求补救办法。对大多数情况而言，集合论的公理系统提供了一个相当令人满意的基础，但就一般集合理论的独特形式而言，我们今天的处境并不比毕达哥拉斯几何理论或早期分析学者追求的实连续性状况好多少。

怀尔德根据上述正反面案例分析最终得出一个结论:数学最终是基于直觉而言的，直觉主义者是正确的。但数学直觉，并不完全是直觉主义。大多数数学家使用的方法不是直觉主义的方法。我们对基本概念的集体直觉是通过对当前概念中一系列错误的发现而增长的，这些概念最终被新概念取代。随着大量新概念的产生，这些新概念不仅消除旧错误，而且促进更多新概念随之诞生。而这些新概念又会继续暴露出错误，特别是新概念带来新的直觉，这些直觉必须在概念上更加精确，数学概念的进化就是如此循环往复。

5．直觉在研究中的作用。

怀尔德指出庞加莱和阿达玛的著作中很好地说明直觉相对于数学家个体层面在创造性工作中是如何起作用的。这种直觉是一种高度专业化的品质，它只跟个体或少数人正在处理的特定问题有关。当然，他们的背景是集体直觉，他们当然也受到集体直觉的影响。特别是，他们对所研究问题的选择是由集体直觉认为最富有成果的研究方向所决定的。但是一旦选择特定的问题，个体就开始建立由此产生的直觉和新概念。怀尔德相信在一个特定问题领域的集体直觉持续增长，并由年长的工作者传递给年轻人。最终导致一种更成熟的集体直觉（这种直觉一直未被注意到）、新的方法、个体天才以及其他某人（通常是年轻的数学家，在该领域相对是新手，并拥有新的个体直觉）的结合，才能够解决这个问题。几乎可以肯定的是，没有直觉，数学就没有创造力。

6．直觉在教学中的作用。

怀尔德认为个体直觉就像集体直觉一样，不是静态的，而是不断增长的。这种直觉开始于孩提时代，当我们学会分辨形状和大小（几何直觉）和数数（算术直觉）的时候，它就开始发展了。这并非我们生来就有的，因为没有发展的文化基础，显然就不可能有数学直觉。直觉部分特别依赖于知识部分的增长。怀尔德认为旧的课程主要是为知识部分设计的，但却几乎没有意识发展数学直觉。仅仅向学生解释一个概念，可能会增加了他的知识成分，但不会增强他的直觉。最糟糕可能就是老师在黑板上写下一个定义，然后去解释它的意义与用途。应该尝试把知识部分的教学变成一个学生在获取新知时他的直觉得到实际运用和发展的过程。老师应邀请学生参与猜测这个过程应该采取什么证明形式，这种猜测和伴随而来的实验，导致了学生对最终结果的决定，发展和增强他的数学直觉。以数学归纳法的教学为例，如果老师在教学中是通过引导学生去“发现”的数学归纳法，那么学生不仅会掌握该原理的知识，且会掌握数学归纳法的直觉基础，当他以后再遇见类似案例时他就会意识到使用数学归纳法。怀尔德引用 18 世纪德国物理学家利希滕贝格的一句话:“你被迫自己去发现的东西，会在你的头脑中留下一条后路，当需要时你可以再次使用它。”[9]这表示你已增加了数学直觉上的积累，只有采取这样的教学方式，直觉才能在创造性教学中发挥应有的作用。

总之，怀尔德认为“直觉”是从个人和文化经验中获得的态度（包括信念和观点）积累。它与数学知识密切相关，数学知识是直觉的基础，有助于直觉的增长，而直觉所提出的新概念材料又反过来增加这种知识。直觉的主要作用是为新的研究方向提供概念基础。数学家对数学概念存在的看法是由这种直觉提供的，这些“柏拉图式的”观点经常被数学家们坚定地奉行着。直觉在研究中的作用是提供“有根据的猜测”，这些猜测可能是对的，也可能是错的，没有它就不可能取得进展，甚至错误的猜测也可能导致新的进展。直觉在数学概念进化中扮演着重要的角色。数学知识的进步会周期性地暴露出文化直觉的缺陷，这些缺陷会导致一些“危机”，而“危机”的解决会产生更成熟的直觉。现代数学的终极基础是数学直觉，从这个意义来看，布劳威尔及其追随者的直觉主义学说是正确的。现代教学方法认识到直觉的作用，已导致教学态度发生转变，开始用“下一步该做什么？”来取代“做这个、做那个”的教学模式。

怀尔德是坚定的直觉主义者，认为数学应当通过纯粹的人类心智构造活动而获得，而不是依靠发现数学客观存在的基本原则。在直觉主义数学中，数学家的推理并不是依照固定的逻辑模式，而每一次推理都是直接地由它的显然性来验证，但仍然有一般的规则，依照这些规则从一些数学定理以直觉的、明显的方式推出新定理，也就是说经典的逻辑可以定义在直觉主义逻辑之中。直觉主义者也认同逻辑是数学的一部分，但绝不是数学的基础[10]。直觉主义发展到哥德尔手里达到巅峰，在研究连续统假设时他着重强调了数学直觉的第一位作用[11]，正如怀尔德强调“概念是第一位的，是公理的来源”。但怀尔德同样重视公理化方法[12]，因为直觉所提出的概念和定理还要给出逻辑演绎证明，也就是说“直觉”与“公理化方法”都是数学概念进化、数学知识建构不可或缺的手段。显然，怀尔德的观念过于主观主义，虽然数学需要直觉，但不意味着是主观主义的，毕竟数学证明需要一个科学的标准，那就是“必须建立推理的有效性”。从布劳威尔开始的直觉主义者们恰恰是在否定自己主张的道路上前行的，他们自己真正在实践着的数学证明方式跟其他数学家没什么两样[13]。

作者简介

刘鹏飞，长春师范大学教授，曾任吉林师范大学数学学院院长；中国数学会数学史分会常务理事。

参考文献

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