欧拉四方恒等式

yangchuanju

欧拉四方恒等式
惊人的多项式恒等式
(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)*(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)
=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)^2+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)^2
+(a1b3-a2b4+a3b1+a4b2)^2+(a1b4+a2b3-a3b2+a4b1)^2

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5.1.2型丢返图方程A^5=B^5+C^5无解；
5.1.3型丢返图方程A^5=B^5+C^5+D^5无解；
5.1.4型丢返图方程A^5=B^5+C^5+D^5+E^5有解：
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
85282^5+28969^5+3183^5+55^5=85359^5
5.1.5型丢返图方程的2参数解通式：
(75v^5-u^5)^5+(u^5+25v^5)^5+(u^5-25v^5)^5+(10u^3*v^2)^5+(50uv^4)^5=(u^5+75v^5)^5

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3阶丢返图方程网页
https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

给出的几个通式：
(6)  a^3*(a^3+b^3)^3=b^3*(a^3+b^3)^3+a^3*(a^3-2b^3)^3+b^3*(2a^3-b^3)^3
(7)  a^3*(a^3+2b^3)^3=a^3*(a^3-b^3)+b^3*(a^3-b^3)^3+b^3*(2a^3+b^3)^3
(8)  (3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3=(6x^2-4xy+4y^2)^3

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在 1756-1757 年，Euler  给出
A^3+B^3=C^2
的一个单参数解。
其中A=3n^3+6n^2-n
B=-3n^3+6n^2+n
C=6n^2*(3n^2+1)

A^3=27n^9+162n^8+297n^7+108n^6-99n^5+18n^4-n^3
B^3=-27n^9+162n^8-297n^7+108n^6+99n^5+18n^4+n^3
C^2=36n^4*(9n^4+6n^2+1)=324n^8+216n^6+36n^4

A^3+B^3=324n^8+216n^6+36n^4=C^2

蔡家雄

《数论妙趣》有 欧拉四方 恒等式

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=45368

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