X 是连续掷硬币直到首次出现一正再一反所需的抛掷次数，求 X 的分布列、期望和方差

wufaxian

概率论导论 p143 23题

疑问：
1，答案中k-2是怎么统计的？为什么要讨论k-2
2，k-1为什么会出现在概率公式中？概率公式中的k-1与文字讨论部分的k-1有什么关系？是计数么？我看不出这里有排列组合关系。


问题：
现在假定连续抛掷一枚均匀的硬币,直到出现正面向上, 紧接着出现反面向上为止.写出抛掷次数的分布列、期望值和方差.

答案：
If k > 2, there are k -1 sequences that lead to the event { X = k } . One such sequence is H · · · HT, where k -1 heads are followed by a tail. The other k-2 possible sequences are of the form T · · · TH · · · HT, for various lengths of the initial T · · · T segment. For the case where k = 2, there is only one (hence k-1) possible sequence that leads to the event { X = k } , namely the sequence HT. Therefore, for any k ≥ 2,
\(P(X=k)=(k-1)(1/2)^{k }\)

lihp2020

简单分析

2次 一定是正反
3次 一定是*正反
4次 一定是反*正反 或者 正正正反
5次 正正正正反 反正正正反 反反正正反 反反反正反

综合分析   n次 一定是  a(反)b（正）反
其中a+b=n-1 b>=1  
b=1~n-1  一共有n-1中

分布列 我理解不到
我理解的意思 就是求对应次数的概率
P（n）=（1/2）^n * (n-1)  （n>=2）

后面的 就不介绍了

wufaxian

lihp2020 发表于 2023-2-16 13:38
简单分析

2次 一定是正反

谢谢你的详细分析。还有两个问题请教：
1、P（n）=（1/2）^n * (n-1) ----------------------这个(n-1 )不是乘指数n，而是乘（（1/2）^n）这个整体，对么？
2、我明白b确实=1~n-1    ，但是这个n-1出现在p(n)表达式里的理由是什么呢？这一点我还不太明白。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-16 22:26

谢谢lu老师的详细解答。请问lu老师下图红线和蓝线这两步你用的是什么级数求和公式呢？

luyuanhong

请看上面第 4 楼中的注。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-18 03:35
请看上面第 4 楼中的注。

谢谢lu老师的详细讲解，但是我推导了一下觉得下图红线这一步似乎不能使用等比数列求和公式。
累加展开是多个导数求和。可是我验证这些导数的公比是包含k的，那么就是公比不是常数？
\(\frac{\left( p^{k+1}\right)'}{\left( p^k\right)'}=\frac{\left( k+1\right)p^k}{kp^{k-1}}=\frac{\left( k+1\right)p}{k}\)

以上理解和推导有什么错误么？

luyuanhong

看来你对这几个公式的推导过程有误解。

其实，推导用到了“对一个一致收敛的级数，逐项求导再求和，等于对这个级数先求和再求导”这样一个原理。

我已经在第 4 楼的注中，补充了一些中间步骤，你可以去看看。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-2-18 08:51
看来你对这几个公式的推导过程有误解。

其实，推导用到了“对一个一致收敛的级数，逐项求导再求和，等于 ...

谢谢lu老师 的详细解释。我在记笔记的时候发现下图从第一步到第二步累加符号从k=2变成了k=1。这一点不太理解因为第一步到第二步累加符号后面两个表达式完全等价。为什么第二步累加要从k=0开始呢？我代入计算发现第二步累加即便从k=0开始，也没有什么影响。因为k=0，k=1对应的前两个累加项都是0。但是不知道你改成k=0开始累加是否有什么深意？

luyuanhong

就是因为 k=0, k=1 的项都等于 0 ，所以求和下限改写成从 k=2 开始，其实不改写也可以。