1^4+2^4+3^4+.......+999^4 之和的个位数是几？

xfhaoym

1^4+2^4+3^4+.......+999^4之和的个位数是几？有几种方法？

Nicolas2050

1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
证明：
(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1
……
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
全加起来
(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4)+10*(1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3)+10*(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n
因为1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2
所以1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
={[(n+1)^5-1^5]-10*[n(n+1)/2]^2-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n}/5
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
N=999时。
S=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30=999(999+1)(2*999+1)(3*999^2+3*999-1)/30=999*(1000)(2*999+1)(3*998001+3*999-1)/30=999*1000*(1998+1)(2994003+2997-1)/30=999000*1999*2996999/30=199,500,333,333,300
so:个位数是0.

luyuanhong

题  1^4+2^4+3^4+.......+999^4 之和的个位数是几？

解          1^4=1, 2^4=16, 3^4=81, 4^4=256, 5^4=625,

     6^4=1296, 7^4=2401, 8^4=4096, 9^4=6561, 10^4=10000 。

    把 1^4~10^4 的末位数加起来，得  1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33 。

    以后每 10  个数的末位数加起来，也都是 33  。在 1~1000 中有 100 个 10 。

    所以把 1^4~1000^4 的末位数加起来，就是 33×100=3300 。

    1^4~999^4 的末位数之和，只不过比上面少了一个 1000^4 的末位数 0 ，

   可见 1^4~999^4 的末位数之和，也是 3300 。

   所以， 1^4+2^4+3^4+.......+999^4 之和的个位数是 0 。

haifeng2017

>> sum(k^4,k,1,9)
in> sum(k^4,k,1,9)
15333
------------------------

>> sum(k^4,k,1,99)
in> sum(k^4,k,1,99)
1950333330
------------------------

>> sum(k^4,k,1,999)
in> sum(k^4,k,1,999)
199500333333300
------------------------

>> sum(k^4,k,1,9999)
in> sum(k^4,k,1,9999)
19995000333333333000
------------------------

>> sum(k^4,k,1,99999)
in> sum(k^4,k,1,99999)
1999950000333333333330000
------------------------

>> sum(k^4,k,1,999999)
in> sum(k^4,k,1,999999)
199999500000333333333333300000
------------------------

>> sum(k^4,k,1,9999999)
in> sum(k^4,k,1,9999999)
19999995000000333333333333333000000
------------------------

haifeng2017

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 9)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,9)
317337
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 99)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,99)
31997333379
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 999)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,999)
3199997333333799
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 9999)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,9999)
319999997333333337999
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 99999)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,99999)
31999999997333333333379999
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 999999)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,999999)
3199999999997333333333333799999
------------------------

>> sum((2*k+1)^4, k, 1, 9999999)
in> sum((2*k+1)^4,k,1,9999999)
319999999999997333333333333337999999
------------------------

xfhaoym

哈，我与陆老师想法一样。向大家学习了。

lihp2020

我认为 小fisher   假设0^4~9^4之和个位数为n，0~999之间有100组0~9，其4次方和的后两位应为00 这个 是 最简单的