a(1)=2t-3，a(n+1)=[(2t^(n+1)-3)a(n)+2(t-1)t^n-1]／[a(n)+2t^n-1]，求数列通项公式

xfhaoym

一道数列“难题”有点绕脑？

Nicolas2050

高中常见的数列题型。这也问？

Nicolas2050

solution:

xfhaoym

Nicolas2050 发表于 2023-2-26 13:41
solution:

哈，我问的问题很多。谢谢你的回答。还有一个问题一直没会，数列：a(n+1)=(an^2+p)/(an+q)， a1=k.求通项。有时间请研究一下。

Nicolas2050

xfhaoym 发表于 2023-2-26 16:23
哈，我问的问题很多。谢谢你的回答。还有一个问题一直没会，数列：a(n+1)=(an^2+p)/(an+q)， a1=k.求通项 ...

基本方法

a(n+1)=p·an+q^n型数列通项公式的求解，常用的有3种方法：

方法一：待定系数法：目的是构造一个等比数列

设a(n+1)+λ·q^(n+1)=p(an+λ·q^n)，------①

展开得：a(n+1)=p·an+（λ-λq）q^n，

解得：λ=1/（1-q），

代入①得：a(n+1)+[1/（1-q）]·q^(n+1)=p(an+[1/（1-q）]·q^n)

即{an+[1/（1-q）]·q^n}是以p为公比的等比数列，先求出an+[1/（1-q）]·q^n的通项公式，再求出an的通项公式。

特别提醒：只有当p≠q时，方可用待定系数法求解，如果p=q，则需要用下面即将讲到的第二种方法。

方法二：两边同时除以q^(n+1)

两边同时除以q^(n+1)，

得a(n+1)/[q^(n+1)]=p·an/[q^(n+1)]+q^n/[q^(n+1)],

整理得：a(n+1)/[q^(n+1)]=(p/q)·an/q^n+1/q，

当p≠q时，按照前文讲的a(n+1)=p·an+c型数列通项公式的方法求解；

当p=q时，a(n+1)/[q^(n+1)]=an/q^n+1/q，

即{an/q^n}为等差数列，那么先求出an/q^n的通项公式，再求出an即可。

方法三：两边同时除以p^(n+1)

两边同时除以p^(n+1)，

得a(n+1)/[p^(n+1)]=p·an/[p^(n+1)]+q^n/[p^(n+1)],

整理得：a(n+1)/[p^(n+1)]=an/p^n+(1/p)·(q/p)^n,

再按照累加法即可求出an的通项公式。

王守恩

\(a(n)=\frac{2t^n-n-2}{n}\)

王守恩

我还是用自己熟悉的方法：从简单算起。
\(t=2,n=1,2,3,4,...,得到这样一串数:\frac{1}{1},\frac{4}{2},\frac{11}{3},\frac{26}{4},\frac{57}{5},\frac{120}{6},\frac{247}{7},\frac{502}{8},\frac{1013}{9},...,a(n)=\frac{2*2^n-n-2}{n}\)
\(t=3,n=1,2,3,4,...,得到这样一串数:\frac{3}{1},\frac{14}{2},\frac{49}{3},\frac{117}{4},\frac{479}{5},\frac{1450}{6},\frac{4365}{7},\frac{13112}{8},...,a(n)=\frac{2*3^n-n-2}{n}\)
\(t=4,n=1,2,3,4,...,得到这样一串数:\frac{5}{1},\frac{28}{2},\frac{123}{3},\frac{506}{4},\frac{2041}{5},\frac{8184}{6},\frac{32759}{7},...,a(n)=\frac{2*4^n-n-2}{n}\)
\(t=5,n=1,2,3,4,...,得到这样一串数:\frac{7}{1},\frac{46}{2},\frac{245}{3},\frac{1244}{4},\frac{6243}{5},\frac{31242}{6},...,a(n)=\frac{2*5^n-n-2}{n}\)
\(t=6,n=1,2,3,4,...,得到这样一串数:\frac{9}{1},\frac{68}{2},\frac{427}{3},\frac{2586}{4},\frac{15545}{5},...,a(n)=\frac{2*6^n-n-2}{n}\)

xfhaoym

以上的老师们与我提的问题好象不一样。我是说：

王守恩

数列：a(n+1)=(an^2+p)/(an+q)，a1=k.  求通项。

我只会最简单的:   a1=1,   q=0,

an的分子:  Numerator[NestList[# + p/# &, 1, 10]]

an的分母:  Denominator[NestList[# + p/# &, 1, 10]]

luyuanhong