已知 x+y+z=1 ，x^2+y^2+z^2=2 ，x^3+y^3+z^3=3 ，求 x,y,z

ccmmjj

求解轮换对称方程组的套路



这是微博上看到的，记得在国外数学竞赛题中也是常见的类型。它应该有一种套路的解法，在此请网友讨论一下。

lihp2020

3*((a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3))+(-1)*((a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3))=6abc

luyuanhong

题  已知 x+y+z=1 ，x^2+y^2+z^2=2 ，x^3+y^3+z^3=3 ，求 x,y,z 。

解  一般地，若已知 x+y+z=r ，x^2+y^2+z^2=s ，x^3+y^3+z^3=t ，求 x,y,z  ，则有

    xy+yz+zx = [(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]/2 = (r^2-s)/2 。

   xyz = (x+y+z)^3/6+(x^3+y^3+z^3)/3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)/2 = r^3/6+t/3-rs/2 。

  由方程根与系数的关系可知，x,y,z 是下列三次方程的三个根：

     x^3 - r x^2 + (r^2-s)/2 x - (r^3/6+t/3-rs/2) = 0 。

例如，在本题中，r=1 ，s=2 ，t=3 ，所以

(r^2-s)/2 = (1^2-2)/2 = -1/2 ，r^3/6+t/3-rs/2 = 1^3/6+3/3-1×2/2 = 1/6 。

所以，x,y,z 是下列三次方程的三个根：

x^3 - x^2 - 1/2 x - 1/6 = 0 。

用三次方程求根公式，可求得三个根为

x1 = 1/3 + (44+6√26)^(1/3)/6 + (44-6√26)^(1/3)/6 。

x2  = 1/3 + (-1+√3i)(44+6√26)^(1/3)/12 + (-1-√3i)(44-6√26)^(1/3)/12 。

x3  = 1/3 + (-1-√3i)(44+6√26)^(1/3)/12 + (-1+√3i)(44-6√26)^(1/3)/12 。

本题要求的 x,y,z 可轮流取上面三个根 x1,x2,x3 的值。

注  我把题目看错了，原题不是要分别求 x,y,z 的值，而是要求它们的乘积 xyz 。

那就更简单了：

xyz = (x+y+z)^3/6+(x^3+y^3+z^3)/3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)/2 = 1^3/6+3/3-1×2/2 = 1/6 。

天山草

这道题以前在本论坛有过。

标准套路解法是：

天山草

三元对称多项式的约化指令如下：



二元对称多项式的约化指令如下：

ccmmjj

谢谢大家，其实我想的也是求解三元方程组啦。正是3#陆老师那种套路。