专访马进教授

luyuanhong

专访马进教授



策划：刘太平

访问：许顺吉、姜祖恕、黄启瑞、周云雄、李宣北

时间：民国 99 年（2010 年）6 月 18 日

地点：中央研究院数学所

整理：林思华

来源：《数学传播》

马进教授 1956 年出生于上海，1987 年赴美就读 University of Minnesota，1992 年获得博士学位，1992 年至 2007 年任教于普度大学（Purdue University），自 2007 年起任教于南加州大学（University of Southern California）。马进教授曾因文化大革命的影响而中断求学，1982 年于复旦大学完成大学教育。他现在南加州大学负责一个 Mathematical Finance Master Program 。他的专业研究包含随机控制理论，Forward-Backward 随机微分方程（FBSDE）的理论及应用。FBSDE 在财务（金融）数学的相关研究有很多的应用，因此该题材在机率论及财务数学的相关研究都受到相当的注意，马进教授在该研究方向做了很多重要贡献，是该领域研究的先驱及重要的推手，他与 P. Protter，J. Yong 于 1994 年提出 Four Step Scheme 来解 FBSDE ，是该领域的经典作品。

姜祖恕（以下简称姜）：今天我们很高兴有机会能跟你聊一聊，你 2008 年到南加大，是否可以先谈谈那里的情形？

马进（以下简称马）：非常荣幸，我看了很多以前的专访，都是非常有名的数学家，非常不敢当。不过，既然是「有朋自远方来」，我们是朋友，我想也可以聊一些。我现在在南加大（USC，University of Southern California）负责一个叫 Mathematical Finance 的 Masters Program 。学生主要是硕士生，也有博士生。时间是一年半，也就是十八个月，学生分别在数学系、经济系、商学院（Business School）选一些课。我在南加大有三年了。

姜：谈到这个 Program ，你觉得 Mathematical Finance 在美国的就业市场好不好？在这个领域发展前途如何？

马：Mathematical Finance 或是叫做 Quantitative Finance，在美国 90 年代以后，是比较热门的学科，可能是因为衍生性金融市场（derivative market）的关系，有些产品对数学的要求比较高。90年代初，比方像 Ito“s formula[1] , 人们还是当作秘密武器 (secret weapon) 来用。如果你知道这方面的知识，比较有利。所以大家都想要学。于是像工学院开始有 Quantitative Finance Program，硕士生程度，通常叫做 Financial Engineering。在数学系或者统计系这种比较接近数学的学门，相关的硕士学程，就叫做 Mathematical Finance 或是叫 Computational Finance。最近这几年，由于金融危机，学生毕业出来找工作有点困难，但早些时候，学生很抢手，出路很多，在社会上有些影响，因此大家都想办这样的 Program 。在普度（Purdue）的时候，我负责一个 Computational Finance Program ，它与南加大有点不一样，普度是好几个系一起办，甚至是跨学院合作。因为它是公立学校，信息工程、商学院、数学系、统计系可以一块办，学生可以在这些系自由选课而不会牵涉到学费的问题。在南加大就有区别，Mathematical Finance Program 是放在包括经济系跟数学系的学院里面。我们很想送学生去 Industrial Engineering 选课，但它在另外一个学院，有技术上的困难，不过我们一定会送他们去商学院选课，没有商学院的课，你就不能称之为 Mathematical Finance Program 。

姜：毕业出来，大部分的就业市场是走那个方向？

马：投资银行或者对冲基金公司，还有一些小的投资公司会来找人。

姜：所以美国市场现在还是有相当的需求量？

马：现在找工作比较慢，但还是可以找到工作。现在的问题是，在华尔街几个像雷曼兄弟 (Lehman brothers)[2] 贝尔斯登 (Bear Stearns)[3] 这样的大公司倒闭或被合并，一大批人失业。这批人还要在这个行业找工作，甚至愿意拿比较低一点的薪水，这就对刚毕业的硕、博士生造成不小的压力，同样的薪资，公司倾向于请有经验的人，新的毕业生只好到其他比较小的公司。现在情况似乎开始好转，有些 internship position 的职缺，我现在有 2 个 Ph.D. 学生就在做这个。

黄启瑞（以下简称“黄”）：这个 Program 是 2 年还是 1 年半？

马：在南加大是一年半，在普度是 2 年，普度需要 2 年是有原因的。因为这个 Program 的学生在普度是拿数学硕士学位或统计硕士学位，specializing in Computational Finance 。但如果是拿数学硕士学位，就一定要学实变函数什么的。所以学生在第一学期必须选 measure theoretical level 的 probability 或者选 calculus based probability 加上实变函数。在南加大，就是一个职业或专门的硕士学位，所以没有这种要求。

黄：这个 Program ，有没有实验室，用电脑去跑实际的数据，例如用 Bloomberg 。

马：普度有，因为这需要时间。一年半的时间，只够选一些基本的课，但我们有一门课是做模拟（simulation），介绍一些应用软件 (software)。

黄：这个 Program 有没有跟一些外面的公司合作，还是完全由学校规划办理？

马：没有，完全是学校。因为一年半的时间要训练一个从什么也不太知道到能够进入市场的人时间比较紧。有的 Program 会有，但也不是很容易。

姜：这个 Computational Finance Mathematics 最重要的核心，是不是机率论？

马：概率论当然是一个很重要的部分。比方说，现在招收学生，不管在普度或南加大，我们主要看四门课：一个是要有好的微积分基础，最好是成绩单上面有实变或者是学过 Introduction to Real Analysis ，比如 Baby Rudin ，我们还希望学生知道一些拓朴的东西，比如至少知道一致收敛（uniform convergence）。

许顺吉（以下简称许）：要懂得取极限。

马：取极限并不是写进去就好了，你要有一些 ε − δ 的基础训练。还有一个是线性代数，一个是概率论; 不带统计的概率论。还有就是微分方程。因为我们是跨领域所以不同 background 的学生都会来申请。这些课都没念过的人要修 Mathematical Finance 会比较困难。所以概率论是一个重点，特别是鞅论（Martingale Theory）一定要念懂。还有条件机率（Conditional Probability）也要稍微训练得好一点。

黄：不仅要稍微训练过，要有点直觉。

姜：要有一定的程度。

马：我们通常教的话，一般先从概率论开始，讲 Martingale Theory ，会用 Borel field 去讲。这对很多学工程的人来说，一开始是个挑战，要不然学到后面，他用条件机率的时候，要把条件密度（conditional density）写出来才会算的话，这个鞅（Martingale）就很难讲了。但是如果没有鞅的话，鞅测度（Martingale Measure）、风险度量（Risk Measure）什么的就没办法讲啦。所以其实概率论是非常非常非常重要的。

姜：这个领域最要紧是在应用方面。

马：在 Finance 上，现在所有做 Mathematical Finance 的都要求会概率论，我记得 90 年代初，我刚去普度的时候，那时候有个刚毕业的念数值分析的博士去华尔街工作。因为那时候工作不好找，所以数学系毕业后，他又去念了个 Computer Science 的硕士学位，然后进了华尔街工作。他回来跟我说：“我们组里面，每一个人的桌子上都放了一本 Karatzas[4] 的书，像圣经一样。”（众人笑）

姜：他哪一本书？

马：《Brownian Motion and Stochastic Calculus》[5] ，黄皮书，每个人桌子上都放一本，但没人念得懂。

许：那本书写的很好，但不容易念，念懂要花很大的功夫。

马：他是学数值偏微分方程（Numerical PDE）的，他因为是 Computer Science 的硕士被华尔街录用。之后人家知道他有数学博士学位，就叫他教随机分析（笑）。他回来问我：“有没有什么概率论的书可以念？” 结果他就自己念，同时在公司每星期 2 次教别人。所以，在 Finance 上面，概率论很重要。还有一个要紧的其实是控制论，现在世界上在 Mathematical Finance 上领先的人，你去看他们的背景，原来全都是做随机控制（Stochastic Control）的，像 Karatzas、Shreve[6] 、Mark Davis[7] 、El Karoui[8] 还有 Fleming[9] 等等一大堆人。

黄：除了你以外？

姜：他也是。

黄：你不是 Jain[10]（Naresh Jain）教授的学生吗？

马：是的。但我是做控制论的。

姜：他是 Jain 那边做控制论的。所以你觉得这些做控制论出身的人是他们帮了 Mathematical Finance 的忙，还是 Mathematical Finance 帮了他们的忙？

马：这个很难讲，因为，做控制论的人本来是做什么的呢？比如 tracking problem 就是、打导弹什么的。别人一个东西飞过来，你这边如何应战。90 年冷战结束以后就不太热门了。不过做数学的人比较自由，一个 SDE（Stochastic Differential Equation），你可以说它是 incoming missile 的 dynamics ，也可以说它是 stock market 的 dynamics 。Black-Sholes model[11] 出来以后，就更容易理解了。其实控制论就是要让事物最优化。

姜：谈谈你怎么进入控制论。

马：这要讲到很早以前。我中学毕业时，不能直接进大学。在文革当中没有大学可以念，要去工厂或农村做工。我当时在上海金山石油化工总厂做维修仪器的仪表工。那时就接触过一些 PID 调节器，工程控制之类的东西。后来考上复旦大学，念大学时，就好像脑子潜意识中一直有控制论的概念。念硕士时，跟着做控制论的李训经[12]老师学了控制论。李训经老师最早是做常微分方程的。Pontryagin[13] 教授写的常微分方程的书就是他和金福临[14]老师一块儿翻译成中文的，金福临老师比较资深，李训经老师在文革前就已经做有限维控制论的研究，文革 10 年，停掉了。等到文革结束回来做研究时，集中参数控制，也就是有限维的控制中大多数原来想的问题，都过时了。他就开始做分布参数控制也就是 PDE 的控制。80 年代初，大约是 80、81 年，他去布朗大学（Brown University）访问 W. Fleming 教授，注意到随机控制的领域。回来后，他觉得复旦也应该有个随机控制的研究群。我当时正在念硕士，他就让我和一个师弟学随机控制，一个做离散，一个做连续。我被指定做连续时间的控制。那时也不晓得那是什么，拿了 Fleming 的《Deterministic and Stochastic Optimal Control》[15] 来念。那么随机微分方程怎么办呢？当时复旦还有一位从日本回来的老师，他曾在 Watanabe[16] 教授的 seminar 里面，是被派出去做长期学习的。当时 Ikeda & Watanabe 那本书（《Stochastic Differential Equations and Diffusion Process》[17]), 还没出来，但是他有笔记，他就把笔记全部用中文写出来，字写得非常漂亮，厚厚的一本，我到现在还收藏着。他写出来后，给我和师弟二个人上课，这是我们第一次接触随机微分方程，他讲得非常好。

黄：Watanabe 那本书写得非常 general 。

马：那本书上其实还有很多 Manifold 上的东西，但我们只学了些基本的鞅论，和基本的随机微分方程。到了明尼苏达（University of Minnesota）后 我当时其实很想跟 Steven Orey[18] 教授，我们谈得很好，他也给了我很多指导，但没有收我，因为他当时身体很不好，已经有前列腺癌，不想收学生了。Naresh Jain 教授当时是研究生主任（Director of Graduate Study），我问他怎么办？他说：“我们可以一块做。你可以教我控制论，我可以教你别的。”我就跟他一块做，再把 Fleming 的书跟他报告，把一些问题归成完全是数学的问题跟他讨论。问题有很多是 Steven Orey 教授那儿来的，因为 Fleming 做过很多跟Singular Control 很靠近的东西。当时觉得 Singular Control 很有意思，因为它超出经典随机控制论框架，看上去对我是完全新的，所以比较感兴趣，我就做进去了。后来有个故事挺有趣的，我研究 Singular Control 的时候，念了很多文章，当时在美国比较领先的就是 Karatzas 跟 Shreve，在英国是 Mark Davis ，法国有 El Karoui，他们都做过 Singular Control 的研究。因为 Naresh 不是做控制论的，他就建议我：“你为什么不写信给 Karatzas?” 因为我在复旦大学的时候做过些研究，知道当文章发表时，实际上可能已经有了更新的发展、更新的结果。于是我写信给 Karatzas ，那时没有 email ，我就打字，问他：“我念了一些您的文章，如果有这方面新的研究，不晓得可不可以寄抽印本给我？”他回信：“我这方面的论文你好像已经收集得很齐全了。” 后来，我的文章作出来后，就投给他，因为那时他是 SICON（《SIAM Journal on Control and Optimization》）和《Stochastics》的编辑委员。我那时候才刚开始练习用英文写论文，第一篇文章投稿前 Jain 改得比较多，第二篇文章做出来后，我寄了个草稿（draft）给 Karatzas 请他看看。文章寄回来后，哇，一片红！每页都用红笔改过了！我非常非常感动！因为我跟他是没有关系的人，完全不认识，连我的老板都不认识他，他们是两个领域的人。但他觉得年轻人要培养，所以愿意花时间拿着红笔跟着我的文章走一遍，这种事好像不是每个人都会做的，也是种运气吧。后来，跟他交流一直很多。92 年我从明尼苏达毕业后，去了普度，做 Protter[19] 的博士后。当时 Protter 对我说：“我有几个 project 在手里，那一个你有兴趣？” 很有意思，其中就有 BSDE（倒向随机微分方程）。我一下子就很感兴趣。什么道理呢？因为我出国之前，在复旦有一个李训经老师带的讨论班。他是做 Pontryagin 极大值原理（Pontryagin Maximal Principle）的，当中碰到一个伴随方程（Adjoint Equation），是一个倒向随机微分方程。Bismut[20] 先做出来，我 87 年出国后，复旦的讨论班仍在继续。92 年的时候，Pardoux[21] 和 Peng[22] 的 BSDE 已经出来了。后来El Karoui 在巴黎第六大学开始 promote 这个问题。Stanford 的 Darrell Duffie[23] 用它做 Stochastic Recursive Probability ，自然地牵涉到前向（Forward）跟倒向（Backward）连接起来的 BSDE ，就是所谓的 FBSDE 。一开始 Protter 叫他的一个学生做，我也参加进去。因为我做过控制论，想用随机控制（Stochastic Control）的方法去做。后来雍炯敏[24] 访问普度，我们就一起做。当时的想法是把倒向方程写成前向方程，然后考虑一个最优控制问题，值函数的结点集（Nodal set），也就是相应的偏微分方程（HJB equation）的结点集。这样做出存在性。后来发现这其实就是 Feynman-Kac formula 。其实做研究就是这样，没做出来之前很难受，一做出来觉得很容易，就是这种感觉。

姜：所以你现在主要集中在 Backward equation 方面？

马：后来也做了一些其他的东西。

姜：你还做控制论吗？

马：做控制论是免不了的，有一些问题不纯粹是控制论的问题，但也会有一些关系，像极大化（maximization），97 年以后，我花了一段时间做 Stochastic Viscosity Solution 就是 SVS 。其实它跟 BSDE 也有很大的关系，但是比较难做（目前这个领域的规模还不是很大），现在又有一个新的办法出来，用 rough-path 的办法做。

姜：英国的 Terry Lyons[25] ?

马：对，就是他！2000 年后，我带着一批学生做与精算（Actuarial Science）和保险模式（Insurance Model）有关的问题。那些问题也会走到控制论或走到倒向方程。

许：你刚刚提到的结点集的概念，那个是 PDE 的概念？

马：是的，我们把它拿过来，其实有点像 Charles Fefferman[26] 做的结点集。我们当时不知道怎么称呼，开始这么叫，后来就这么一直叫下去。

许：所以其实这问题有好几个面，一个是 BSDE 的面，一个是 PDE 的面。

马：对！和 PDE 的联系其实很强。当时，是有一些想法，是不是能在 PDE 方面提出一些问题。比方讲，我上次讲的前向方程的 Diffusion 含 Z ，这个放到 PDE上面，就是抛物型方程里两阶导数的系数带一阶导数。那时，做 PDE 的 Garofalo[27] 来听我的演讲。讲到后来，我把它去掉。他说：“如果把那个做出来就好了。” 上课时我也讲过，那个 Z 放在那边很讨厌，能够算出的案例都把它拿掉，那是一个很不容易做的问题，有些东西其实是本质的。我们用得比较多的是 PDE 的工具，倒过去的方向在 Viscosity Solution 的方面比较有用，就是用 BSDE 去做 Viscosity Solution，因为它可以用一般随机微分方程的方法估计，这样就比较好做一点。比方讲，做数值分析（Numerical Analysis）的时候，或者是找数值法（Numerical Scheme）的时候，用 BSDE 没有维数（dimension）的限制。它可以做到 quasi-linear 的，甚至 fully nonlinear 的情形。这个方面现在还在发展。quasi-linear的情形可以把维数（dimension）做到 12 吧。而用 PDE 去做的话，大概只做到 3 。做 PDE 的人一般大概就不做下去了。

许：在 Finance 里有很多奇怪的 PDE ，与一般传统的 PDE 不同。所以你的 BSDE 最初的动机是不是也跟 Finance 有关系？

马：一开始的动机还没有 Finance，完全就是最大值原理的 adjoint equation 。

许：所以你不是去普度那边才开始做的。

马：我去普度的时候，BSDE 已经出来了。Pardoux 跟 Peng 开始提出的问题是怎么从线性走到非线性？因为 Bismut 提出来的是线性的 BSDE，线性方程能把解写出来，就是常数变异（Variation of Constants常微方程常用的技巧）公式。那么非线性又怎么去做？一开始 Pardoux 想用随机演算（Malliavin Calculus）去做，结果 Peng 提出一个迭代的方法。做好后，好像也不太难，因此也没投很好的杂志，就是 《Statistics &Probability Letters》，这个影响深远（seminal）的文章，因此是投在一个不很起眼的杂志上。但是，Peng 后来继续做下去，把 nonlinear Feynman-Kac 给做出来。就把 PDE 连系上了，他后来在巴黎第六大学和 El Karoui讨论这东西，发现它本质上可以 dynamically evaluate future position ，也就是说给定一个终端，但 dynamics 是随机的，是随机微分方程，而对于一个给定的终端，这个解还要是 adapted 的解，这样的问题在 Finance 之中比比皆是。

黄：契约是未来的？

马：契约（contract）都是未来的，它可以是一个 future product ，一个 risk ，一个 financial position 。或者从精算来讲，就是一个 present formula 的问题，一般就是一个 conditional expectation 。所以本质上就会有一个鞅出来，就是 BSDE 。在很多地方，这是一个自然的工具。后来发现，把 European option 拿过来，用 BSDE 一解，price 跟 hedging strategy 两个就同时出来。当时觉得这个很有用。而且因为有了非线性理论，在 drift 的地方，你可以加很多东西，比如 tax 什么的进去，还能把线性方程弄成非线性的。然后还可以去做 American Option ，就有了 reflected BSDE。El Karoui 后来成了推动这个 BSDE 的主要推手之一。

许：原来给 European Option 定价的做法就是解 PDE ，PDE 通常不好解，解出来后又要微分才能得到 hedging strategy 。

马：如果你要求它的 “delta”（财务理论术语）的话。

姜：这些理论不是在美国发展的吧？大概是法国人在做。

马：法国人对 BSDE 非常热衷，因为在法国有两个人一南一北地推动，Pardoux 和 El Karoui 。

姜：现在还是？

马：现在主要是 El Karoui 。

姜：美国呢？

马：美国的话，Karatzas，Protter 和他们的学生做过一些。还有 Florida 的雍炯敏。但是现在的 critical mass 好像主要就在南加州。

姜：就是你那里？

马：我跟张建丰[28] 还有 Cvitanic[29]。Cvitanic 是 Karatzas 的学生。

许：你好像还有好几个学生？从你那边出去的，现在都到哪些地方？

马：从现在算下来，我一共带出过 10 个 Ph.D. 学生，有大半是做与 BSDE 或是 FBSDE 有关问题的，其中有些去了 Industry 。有一个现在还在 University of Michigan 做博士后，叫姚松。做得最好的，就是我现在的同事，张建丰。

姜：现在在南加大？

马：对，在南加大。Cvitanic是Karatzas的学生。Karatzas有点像我半个导师，我92年毕业后，Karatzas说：“你们两个人可以见见面，做些什么东西。” 我们在 94 年碰面，就开始做大投资者问题（Large Investor）。

许：这个问题跟 BSDE 的关系是什么？

马：它就是 FBSDE ，我在 94 年 Cleveland 一次会议上遇到 Cvitanic ，我们坐下来聊，讨论了 FBSDE 。FBSDE 如果把它 decouple ，前向方程就是一个股价（stock price），倒向方程就是 Wealth Process 。但是如果你把它 couple 起来，就出来一个大投资者的问题。

黄：你的意思是可以影响他的机率？

马：对，你把 Wealth equation 里面的项加到前向方程里去，那就是个大投资者的 Wealth 或是它的 strategy 影响到股价（stock price）了。

姜：这些问题在实际的金融市场上操作会不会被接受？

马：实际上，至少在概念上面，他们会接受。其实现在很多东西都是假定大投资者，要不然就是你的 strategy 不会影响到股价（stock price）。大投资者是相对于 Small Investor ，那是要修改 Black-Scholes 理论的。因为 Black-Scholes 的理论有一串假设，其中之一就是 Small Investor 。你谈和 Black-Scholes 不一样的东西，是要经过一些时间大家才会接受。我们那篇文章是 96 年发表的，在审稿过程中，曾受到质疑提出这个问题。但 97 年亚洲金融危机，Long Term Capital，对冲基金（hedge fund）这些事情出来以后，大投资者就变成很容易接受的概念。

许：看起来还是有蛮多后续的研究，那篇文章被引用得不少。

马：那是篇比较早的文章，我们算是比较早做大投资者问题的。

许：你后来还有一些相关工作吗？

马：没有。后来就去做 FBSDE ，这个问题没再做。

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姜：问你一些比较一般的问题，能不能跟我们谈一下，在美国数学领域里，机率论的发展前途，还有目前的状况？

马：这是个比较大的问题。

姜：就谈加州那边的状况。

马：机率或叫概率是每个学校都有，有几个交叉的学科可能做概率。比如做分析的，做调和分析或是做  Heat Kernel 的都有可能做概率。做组合数学（Combinatorics）的，也可以做概率。当然做 Stochastic Analysis 的也可以教概率。概率论的课好像每个学校都有。

许：在普度，机率论及随机分析开课的情况如何？在台湾，开的机率课不多，主要是基础课程。

马：在普度跟南加大，机率都很强，有一群做各式各样机率的人。我去普度的时候，有 Burgess Davis[30], Steve Lalley[31]，Philip Protter ，以及 Rodrigo Baｎuelos[32] 四位资深的教授，我是最资浅的。当时这四个人，Burgess 是《Annals of Probability》的主编，其他三人在不同的阶段担任过 《Annals of Probability》的 Associate Editor ，那你想想，这能不强吗？南加大也很强，有 Boris Rozovski[33], Peter Baxendale[34], Kenneth Alexandar[35], 还有你们都认识的 Richard Arratia[36]，后来还有 Rozovski 的两位 Associates ，现在还在。然后再加上 Cvitanics ，然后还有张建丰。现在 Cvitanics 跟 Rozovski 都离开了，Rozovski 去了布朗大学，Cvitanics 去了加州理工学院。不过那批做随机微分方程的都还在。这个领域有这么多人在一个学校，自然比较强。很多学校都有机率的课，我说的是大学程度的课。美国大学部机率的课大致是以微积分做基础的程度。除了古典概型以外，也会讲分布（Distribution）和特征函数，就是傅立叶转换（Fourier Transform）。但是概率论有个公理体系，就是 Kolmogorov 在 1932 年建立的公理体系，它跟测度论有紧密的联系。所以在研究所要念以测度论为基础的概率。其实如果要做点研究的话，测度论（Measure Theory）和实变函数是一定要念的。我在复旦是在大三时念的实变。

姜：大三就念实变？

马：大三的时候，上学期学实变，下学期学泛函分析，这是一个系列的课，到了大四，学 Sobolev 函数空间什么的。

许：现在复旦还是这样吗？

马：我不清楚，但应该还是。我看复旦的学生成绩单，好像还是有实变。

姜：现在台湾这边，实变都是到研一才学。大学部可以选修，但修的人不多，泛函分析学的很少。

马：但是数学专业应该要学的。

姜：在台湾你说的那些 Sobolev Space 都是专题的课了。

马：在大学部的时候，也是第一次念这种 Functional Analysis level 的 PDE 。一开始会学古典偏微分方程解，D“Alembert 公式等。如果是数学系的毕业生，我们会期望他懂泛函分析。

李宣北（以下简称李）：你是什么时候念大学的？

马：1978 春，通常是说 77 级，是文革后第一届。

李：但课程规划仍是跟文革前一样？

马：好像是。

姜：当年你们这些课比一般美国大学教的要强很多，美国一般大学也没教这么多。

马：我们大一上学期学数学分析，一致收敛，点集拓扑这些东西。

许：一年级不是先学微积分？

马：是的。但是是从极限的严格定义开始学。在美国就是三年级以后的事了。

黄：我还有一个一般的问题，你在南加大开 Computational Finance 跟 Mathematical Finance Program ，这跟传统的数学系很不一样，因为毕业生很容易就业。但台湾的数学系比较干净，不会去涉足这块领域，你觉得数学系是不是应该更入世，去办这个 Program ？或是这样做污染了数学？

马：这是让数学系的学生多了些工作的机会。在美国，有很多很多的数学系办这种 Program ，或是精算，或是 Mathematical Finance ，在普度精算与 Finance 两者都有。对于一个学校来讲，这是比较重要的。因为念数学出来要从事什么行业？光念数学，念到大学毕业，一般很难就业，念到硕士可以教中学，念到博士可以教大学，但这条路很长。像在普度，很多主修精算的学生，一毕业就可以到康乃迪克州的哈特佛（Hartford）找到一份工作，那是保险业的核心重地。我记得普度数学系最好的学生好像全都在 Actuarial Program 。这样就会有学生愿意进数学系，对学校来讲也有好处。公立学校按人头拿经费，私立学校自然学费就可以有更多收入。对学生来讲，学数学也变得比较实际。数学系不是光为数学天才开的，因为数学天才很少。对数学有兴趣的小孩上数学系，可是也都会有实际上的考量，出来之后的就业机会等等都在考量当中。当然，做数学也有怀抱阳春白雪的想法的。

黄：我这样问的原因是美国数学系的人通常不那么 aggressive ，怎么会有这么多数学系都开这个 Program ？这是怎么做到的？

马：因为数学系突然发现有这么一个 Program 可以吸引很多学生。

黄：吸引这么多好的学生，这是一个诱因。

马：数学系终于可以拿出一个教书以外的工作吸引学生进来。

黄：再来我想问，美国数学系的老师觉得教书是“利他”而不是为己，但是另一方面，数学系的老师通常在美国的薪水是比较低的，有了这个 Program 之后，美国数学系的老师薪水会不会比较高？

马：没有（笑）。

许：我想再问一些细节，数学系里是不是有些学生额外修一些精算的课程？

马：普度有一个精算的专业课程，要经由精算学会（SOA，Society of Actuaries）认证，SOA 有它自己的教育大纲，有一套自己的考试。要得到认证的话，课程必须要符合大纲，不是学校自己开课就行，须要它承认。我当时接触过一些相关的事，但 2000 年以后，他们一直在改，我也不太熟悉了。最早的时候我们为学生准备四个阶段的考试，先考微积分（Calculus），再是机率（Probability），再来是利率（Interest Rate），最后是 Life Contingency ，包括生命年金（Life Annuities）和寿险（Life Insurance），这里机率又进去了。学习这门课程的关键在于把它的问题看懂了，接下来的数学问题基本上是很简单的。但是要把所给的精算讯息写成数学的问题，这是主要的困难。我从 96 或 97 年开始教 Life Contingency ，因为当时普度只有一位教授教这门课，而他要退休，就叫我教。我那时候也有点兴趣，又可以少教一门课，于是我先旁听他的课，就教了。教了两年之后，觉得不能只教不做，也要做点什么研究，我就开始想些问题出来，也带一批学生做了一些问题。

黄：在瑞典，早期数学跟精算是在同一学会。

马：北欧是 Actuarial Science 的发源地。

黄：现在保险公司也要 Finance 的人才。

马：现在精算也要考 Finance 的，因为保险公司也做 Finance 。

黄：保险公司的现金也高，像新光人寿，一年收的现金有 2000 亿。

马：这和保险业的 regulation 有很大的关系。我记得第一次教精算的时候，上学期教怎么定价（Price）寿险和生命年金（Life Annuities）等等，下学期就教一大堆政府法规 (Government Regulation)。

姜：对，法律规定要很清楚。

马：法规的制定就是不让保险公司去投资，或者只能拿一小部分去投资。

黄：现金准备要很高。

马：没错，如果拿人家付保险的钱去投资，万一保险公司倒了怎么办？其实，CDO（Collateralized Debt Obligation 抵押债务债券）、CDS（Credit Default Swaps 信用违约交换）这些用的就是保险的概念，但是它又没有足够的准备金，所以就出了很大的问题。现在保险跟 Finance 关系越来越密切，风险也会很大。对做数学的人来讲，当然有很多问题可以做，学数学的学生也可以因此多几个出路。

黄：我还有一个比较个人的问题，你因为文革被耽误了四年，1978 年进大学时，那时候中国应该累积了很多精英，10 年以上的菁英全部在那个时候同时进入大学。

马：我们当时班里有 66 年高中毕业的，是高中全部念完的，因为文革是 66 年开始的，这些人基础非常好。还有的就是 76 年还在念高中的，因为这时文革已经结束，所以他们的老师会训练他们，这两代的人都在我们班里面。我们班年纪最大的是 1946 年出生的，最小的是 15 岁。

姜：相差了 17 岁。

马：已经算是叔侄辈了。我们呢，文革开始时我们还在念小学，当时课停了，后来恢复上课，但也没念什么书。我还记得我刚上中学的时候，要是现在应该功课很多很多了是吧？而我们那时都在外面打玻璃球（笑），念到 15 岁时，才开始知道念一点书。好在我们的班主任是数学老师，他开始讲些东西，我们有几个人跟着学习。当时好像也没有特别喜欢数学，但那时没有什么其他的课。我到高中毕业都没有念过化学，因为没有化学老师，老师不晓得到哪儿去了。我们当时有什么课呢？有政治，语文，英文，数学，还有一科叫做工农业基础知识，这种比较实用的，其实就是物理，除了数学之外，其他都是工农业基础知识。（众人笑）那时的语文课本，学一些古文。像 《黔无驴》[37] 我还可以背很长一段：黔无驴，有好事者，船载以入; 至则无可用，放之山下 …… 。

黄：跟你同期的有许多优秀的人才，但专以数学来说，你觉得跟你同期或前后几年，有哪些人是比较特出的？

马：比方讲，特别是做统计的，我们复旦出来有好几位很厉害的。范剑青[38]，他比我们低一级，我们是 77 级，他是 78 级。跟他同届的还有孟晓黎[39]、应志良[40]，为什么他们能那么成功？就是因为他们都是数学系毕业的。黄：还有就是你们集中太多人了，集中了最好的一批人才。

马：不过数学的基础训练也是很重要的。当时是有人超前很多，像我们进去时，有一个叫姚大卫[41], 现在在哥伦比亚，他很快就出国了。还有一个叫李乐德[42]，他是我们 78 年全国高考第一名，也在数学系。如果是文革前高中毕业的，其中有的人因为对数学有兴趣，进复旦的时候，已经把那些吉米多维奇的 4500 题[43] 题目都做光啦，那时候我们还不知道什么是吉米多维奇呢。但是有一点，因为我们都是在社会上待过的，所以读书都很用功，大家都拼得很厉害。

黄：你们这一批经过这十几年的文革，韧性很强，是不是有好成就的人很多，而且密度很高。

马：当时就是非常珍惜能够念书的这个机会。

许：这些人都在外面发展？

马：很多都在外面。

许：在本国的发展情况如何？彭实戈当然是回去待在国内了。

马：彭实戈是回去了，这里面当然也是有很多机率，但是在国外的，大概是一半。

李：当时一班大概多少人？

马：大概有 30 多人，然后我们又扩大招生，招的都是年纪比较大的，都成家了，叫做“走读生”。我们是一定要住校的，班主任还有一位指导员也都住校，那时候比较军事化。我们的班主任其实是我们数学分析的习题老师。

周云雄（以下简称“周”）：当时的师资怎么样呢？

马：当时的师资很厉害，我们是第一届进去，那时候，复旦最有名的谷超豪[44] 老师，夏道行[45] 老师都在，还有李大潜[46] 老师、严绍宗[47] 老师以及他们的学生，这是一批很厉害的人了。我的实变是跟严绍宗老师学的，泛函分析是夏道行老师教的，然后 Sobolov Space 是李大潜老师教的。

周：这些都是研究所的课？

马：大学的，Sobolev Space 是大四的选修课。那时候，他们都很愿意教。

姜：所以帮助很大，训练很扎实。

马：因为大家都有一股冲动，老师也是非常兴奋，因为终于可以教了（众人笑），做老师这么多年，终于可以教了。

黄：过去 10 年复旦出去念书的学生跟你们那时候的学习态度比较，你的感觉如何？

马：我觉得现在让人分心的事物太多，一个是客观的分心，就是现在玩的东西太多。我们那时候晚上没有什么活动，顶多到校外买碗馄饨吃吃。那时候开始有舞会，学生组织起来开一些舞会，但没有那么多。不过有一条我从现在招生看到的分心，就是从课程上看到的，你拿学生的成绩单来看，几乎找不到有用的课（众人笑）。比方讲，应用数学系，选课浏览时出现的都是音乐、古典文学欣赏、现代舞，这种课都可以算学分。

黄：那没关系，至少数学的课要好好的学。

马：数学的课很少。至少一路看下来都很少，但 GPA（Grade Point Average）很高。所以如果有实变函数之类的课，我都觉得挺好的。其实修其他系的课不是问题，但数学系的学生至少要学足够的数学课，可是那么多课排下来，都像美国说的课余活动。选课应该要有个大概的规范，而不是什么课都可以选。有些学校的课，学生选得很有条理，对这种学生，我们很容易就决定要收了。我觉得要有些硬的课，像台大的代数就很好，我念书的时候没有代数，那时复旦代数比较弱。

黄：台大是例外，因为台大的电机很好，念电机要用到密码，所以要求数学系开代数课程。

马：我有朋友念电机，92 还是 93 年时去英特尔（Intel），由于他念过抽象代数，英特尔要求他教同事工作上会用到的编码学（Coding），所以数学的基础训练还是很重要。像我如果现在要招收 Mathematical Finance 的学生，我对他 Finance 修习的科目要求不高，可能修一两门课就可以了。但对于数学，就不是一两门课可以训练得出来，要练习，才能有功力在那里，训练过跟没训练过就是不一样。如果有好的数学训练，念起书来就不一样。有些 Mathematical Finance 的书，说是也不需要数学也不需要 Mathematical Finance，我教你，你念我这本书，我这本书是 self-contained ，但你如果光念这本书，结果大多是不成功的。因为就算你把他的定理全部背出来，你也不一定会做他的习题，你不能复制（reproduce），你不晓得他在讲什么，要有数学的背景才能知道他在讲什么，不能单把定理背出来，那没用的。

黄：1978 大陆第一批出去的到现在也有 30 多年了，以机率的成就来讲如果跟日本比，你觉得大概在那里？

马：我觉得不比日本差，你要看有没有领头的人（leader），有没有什么领域的带头者。比方说马志明，彭实戈，他们现在都是很顶尖的带头者。数学家做得好的，以及像我们这种没成家的，大概有两大类，一类是啃骨头的，一类是吃肉的。什么意思呢？有的人会找问题，发现了，冲进去，把“好做的”都做掉了，然后大家都扑上去做。到后来，剩下来的都是难题，然后就有人锲而不舍，把很难的东西给啃掉。那么，是吃肉的厉害还是后面啃骨头的厉害？从中国的观念来讲，很多人很推崇这些解决了谁谁谁的问题，解决谁谁谁的猜想的人。那么，我们想一下，哪一个猜想是以中国人命名的？或者说，一个领域全世界会追随的人有几个是中国人？如果要讲成就的话，我觉得彭实戈是一个很厉害的人，我非常佩服他，他做的很多东西，很多人都会跟。当然不是说整个机率领域，至少是一群全世界范围内的人会跟，这就不容易，这样的人很少。我们这一代有马志明、彭实戈这样的人出来，但目前在日本，能指导我们这个领域的人，好像不多。其实像 Fleming 做几何测度论，50 几年的时候，开创了几何测度论的新领域，因而拿过 Steele Prize，到后来，他说：“太难了，我不做了。” 转做随机控制，又开出一块新领域来，他就是领头的。他做的东西，有人会跟。领头的人需要有想法有眼界。

黄：高木贞治[48] 先生在 1894 年才进东大，东大毕业后，就去 Gottingen 跟 Hilbert（David Hilbert，1862-1943），20 世纪初才回日本，带了一批人上来，他们大概在 30 或 40 几年后都已经出头了，他们一代就上来了，不只有代数，还有分析，泛函，很多不同方面的人才。中国这三十多年，看不看得出来有这种气势。

马：这问题太大了，不太敢回答（笑）。

李：不过，日本在明治维新时已经打好基础，对于外面的知识，他们能够很快翻成日文引进日本，可以很快吸收。

马：交流得比较快。

黄：可是大陆的书就写得很好。

姜：机率论，是西方先开创出来的，所以中国领域其实起步得比较晚。

黄：我想问的是中国方面有没有这种开创领域的人才？

马：虽然现在还看不太出来，但我觉得彭实戈，至少他做的东西有一批人跟着做，包括法国人。

许：今年 ICM（International Congress of Mathematicians）也邀请他做 60 分钟的演讲。

马：对。BSDE 他从一开始就做，到现在一条线下来大多数有相连系的，都是他领头，小 g-expectation ，大 G-expectation ，他都是领头者，有很多人跟着去做。

许：我觉得在文化上要发展某样东西，需要一段很长的时间，像刚刚提到的彭实戈，还有日本跟中国，发展过程还是需要跟外界有往来。

黄：某种意义来说，像法国，他们的数学就有自己的样子，有自己的传统……这一步总是要走的，国际合作是不一样的。

许：现在跟以前完全不一样，以前可以与世隔绝一个人就可以做问题，现在很难这样做了。

黄：我把问 Ito 先生的问题拿来问你，我 1987 年问他日本的机率怎么样？他觉得没有那么好，因为那时候在日本，不是每个几率的方向都有，像在美国，每个机率的方向都有，你可以拿起电话跟某个人讨教，他会告诉你谁做到什么地步。在日本，不见得可以做到这步。之后他讲了一句话：“毕竟，科学是西方的产物。After all science is a western culture.” 那时候是 1987 ，当然他可能是客气，但他是这样讲，毕竟日本已经发展这么久了，他又是开创性的人物。

姜：Ito 当然是 Ito 积分的开创者，是了不起的，但在这之前，也是蕴育了很久，但是这些是在西方蕴育，不是在日本蕴育，所以 Ito是集大成，但欧洲跟美国有一大段历史我们不能忽略。

黄：因为现在做机率的不少，所以我才想问你，你觉得呢？

马：这个就是吃肉跟啃骨头，因为一个领域做了很久还是可以啃骨头，可以研究很难的问题。

黄：Ito 先生帮我们留字写的是：温故知新。

姜：像机率这种领域，跟其他科学有很多互动，机率本身理论的发展有些会跟外界互动，像 Finance ，如果我们专事机率，不会有 Finance 出来，Finance 出来就引发了机率很多问题。机率本身原来就可以产生很多问题出来，但如果跟外界互动，可以得到很多刺激。所以不是说研究机率的人多就会有个带头者出来，有时还是要靠与外界的环境跟刺激的配合。而且不仅仅跟数学本身配合，还要跟数学以外的领域配合。
马：还有就是知识的视野（knowledge scope），还是要看到一些东西，要不然你很难成为领头者，你提出问题，凭什么人家要跟着你走。

姜：所以 Ito 先生说得没错，科学是西方先开始，我们不能把人家的 credit 抢过来，像物理，化学更是西方比我们早发展，早太多了。

黄：不过，你讲得也不完全对，原因是机率发展得比较晚，跟其他领域比起来没有那么久。

姜：不过机率受其他领域的刺激很大，像工程，这方面，还是西方的国家走在我们前面，我们这方面的刺激比较慢，像统计里面的生物统计，美国的刺激就比我们大多了。

马：Ito先生讲得很有道理，科学发展还是有早晚的问题。

姜：他们有传统，我们要慢慢发展建立，然后再跟他们比。

黄：还有你对 Finance 上的计算 ……

马：这是我的弱项（众人笑），这是很重要的问题。

黄：即使在机率上，Finance 还是要能算，因为要能得个数字出来，要不然没办法去做任何事情。

马：计算是一个非常非常重要的功夫。我现在有个产品给你，你给我算个价钱，客人在等着，你说我大概要 3 ∼ 5 个小时，或者说明天再给你好了，没用的。所以这是一个很挑战的东西。因此有很多 Program ，像普度就强调是 Computational Finance ，也就是强调有 computer science involved ，学生如果知道一些算法，出路就会好很多。

姜：今天麻烦你很久了，非常感谢。

本文访问者许顺吉、姜祖恕、黄启瑞、周云雄、李宣北任职中央研究院数学所，整理者林思华为中央研究院数学所助理。

luyuanhong

注解：

[1]用来计算随机微分方程的方程式。為日本数学家伊藤 清（ItoKiyosi , 1915-2008）所发明, 他最為人知的成就為 Ito 积分。

[2]美国一家国际性金融机构及投资银行, 於 1850 年设立, 2008 年為美国第四大投资银行。同年受到次级房贷风暴连锁效应波及, 申请破产。

[3]曾是美国主要的投资银行与证券交易公司, 成立於 1923 年。历经美国 30 年代的大萧条和多次经济起落, 但最终在 2008 年的美国次级房贷风暴中严重亏损, 濒临破产而被收购。

[4]Ioannis Karatzas , 现任教美国哥伦比亚大学。

[5]此书为 Ioannis Karatzas 与 Steven E. Shreve 合著, 于 1987 年由 Springer-Verlag 出版。

[6]Steven E. Shreve , 现任教美国 Carnegie Mellon University , 著有许多关于金融数学的书籍。

[7]Mark H.A. Davis , 英国数学家, 现任教于英国 Imperial College London 。

[8] Nicole El Karoui（1944-）, 为法国女数学家。现任教法国巴黎第六大学, 被视为金融数学发展的先驱。

[9]Wendell Helms Fleming , 是控制论的专家, 任教美国布朗大学, 于 1987 年获颁 Steel Prize 。

[10] Naresh Chandra Jain , 任教美国明尼苏达大学。

[11] F. Black 及 M. Scholes 1973 年在 "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" 中提出的关于金融市场及衍生性投资工具的数学模型。

[12]中国大陆数学家, 任教中国大陆复旦大学。

[13] Lev Semenovich Pontryagin（1908-1988）, 俄罗斯数学家, 在许多数学领域做出卓越贡献。

[14] 中国大陆数学家, 任教中国大陆复旦大学。

[15] 此书为 Wendell H. Fleming 及 Raymond W. Rishel 合著, 由 Springer 在 1975 年出版。

[16]WATANABE Shinzo , 日本机率学家, 师承 Ito Kiyosi 。

[17]指 IKEDA Nobuyuki 和 WATANABE Shinzo 合著的《Stochastic Differential Equations and Diffusion Process》。

[18]Steven Orey（1929-1991）, 曾任教美国明尼苏达大学。

[19]Philip E. Protter , 现任教美国康乃尔大学。

[20]Jean Michel Bismut（1948-）, 法国数学家, 为法国科学院院士, 现任教巴黎第 11 大学, 在随机分析与随机微分几何的领域有重要影响。

[21] Etienne Pardoux , 任教法国普罗旺斯大学。

[22]彭实戈（1947-）, 中国大陆数学家, 为中国科学院院士, 现任教中国大陆山东大学。他所创立的「倒向随机微分方程」(BSDE) 对金融数学影响甚大, 获邀在 2010 年的 ICM 大会上发表 60 分钟的演讲, 为中国大陆本土数学界获此荣誉的第一人。

[23]Darrell Duffie , 现任教美国史丹佛大学。

[24]（1958-）, 中国大陆数学家, 现任教美国 University of Central Florida。

[25]Terry J. Lyons, 现任教英国牛津大学。

[26]Charles Louis Fefferman（1949-）, 美国数学家, 为美国国家科学院院士, 现任教美国普林斯顿大学, 因数学分析的研究而在 1978 年获颁 Fields Prize 。

[27] Nicola Garofalo , 现任教美国普度大学。

[28] 张建丰（Zhang Jianfeng）, 中国大陆数学家, 现任教美国南加州大学。

[29] Jaksa Cvitanic , 现任教美国加州理工学院。

[30] Burgess Davis , 现任教美国普度大学。

[31] Steven Lalley , 现任教美国芝加哥大学。

[32] Rodrigo Baｎuelos , 现任教美国普度大学, 专长为机率论、调合分析及偏微分方程。

[33] Boris L. Rozovski , 俄罗斯数学家, 现任教美国布朗大学。研究领域为随机偏微分方程。

[34]Peter Baxendale, 现任教美国南加州大学。

[35]Kenneth S. Alexander, 现任教美国南加州大学。

[36] Richard A. Arratia, 现任教美国南加州大学。

[37]《黔无驴》為唐朝柳宗元的作品, 為唐宋八大家之一。

[38] 中国大陆统计学家, 现任教美国普林斯顿大学。於 2000 年获颁 COPSS（Committee of Presidents of Statistical Societies）President's award 。

[39] 中国大陆统计学家, 现任教美国哈佛大学。

[40]（1960-）, 中国大陆数理统计学家, 对生物医学统计界影响甚多。

[41] 中国大陆数学家, 现任教美国哥伦比亚大学及担任香港中文大学电子商务中心主任。

[42] 中国大陆数学家, 现任教长江商学院。

[43] 指 B. P. Demidovich（俄罗斯数学家, 1906-1977）的著作《数学分析 4500 题》。

[44]（1926-）, 中国大陆数学家, 为中国科学院院士, 现任教复旦大学。

[45]（1930-）, 中国大陆数学家, 为中国科学院院士, 现任教复旦大学。

[46]（1937-）, 为中国大陆数学家, 为中国科学院及法国科学院院士, 现任教复旦大学。

[47] 中国大陆数学家, 现任教复旦大学。

[48]高木贞治（TAKAGI Teiji , 1875-1960）, 在代数学论方面贡献卓著。写了许多大学教材、中小学教科书及各种普及读物。关於高木教授之生平事蹟, 详见数学传播第 23 卷第 2、3 期。

刘太平等 好玩的数学 2023-05-23 07:04 发表于江西