紧急求援，哪位老师能够帮助我证明这个极限为0？跪求了！！

cuikun-186

紧急求援，哪位老师能够帮助我证明这个极限为0？跪求了！！

愚工688

莫名其妙的极限，试图证明什么？

即使 N→∞ 时，lim[1/lnN]＝0 你能够证明吗？
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王元说：N→∞ 时，素数出现率π(1-1/p）=0   
【王元先生的著作《谈谈素数》章节12.中有：x→∞时， 素数的出现概率π(1-1/p）为零】

现在我们来判断π(1-1/p）的极限：
在x→∞时，p→∞,
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p[=π(p-1)／π(p)；
  π(p-1)→∞与π(p）→∞ ，
则有  π[1/(p-1)]→0，π[1/(p)]→0，
这是两个无穷小量的比较，
【资料：8、无穷小量的比较   

  设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.      

若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.   
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);】——摘自百度贴吧（https://wenku.baidu.com/view/f4e265d476eeaeaad1f33023.html）

那么这两个无穷小量的阶的高低是什么样呢？
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

现在从 x→∞的过程中看看这两个无穷小量趋于0的速度情况，以实验数据作依据，即可得到阶的情况：
p( 2 )= 3  , π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5  , π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7  , π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11  , π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0

显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。

因此依据同阶无穷小量比较定理，若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
（其逆定理则是：若α(x)与β(x)是同阶无穷小，则lim α(x)／β(x)= c ≠0 ；）
  
由于 π(1-1/p）=π(p-1)／π(p)=π[1/(p)]÷π[1/(p-1)] 是两个同阶无穷小之比，
因此  x→∞时 lim π(1-1/p）= C ≠0 ,

  就是说 x→∞时，素数的出现概率π(1-1/p）=0 错误！
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那么从素数定理出发，看看素数出现率 x→∞时,1/lnX =0 有没有问题呢？
《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
也就是说：x→∞时  1/lnx→0；

由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较：
x→∞时，有 lim 1/x→0；  lim 1/π(x)→0 ；
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢？

引入一个已知的无穷小量 1/√x ，大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的？
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化：


x=10^2, π(10^2)=25;        √x/π(x) = 0.4 ;      (1/√x)=0.1；  π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;       √x/π(x) ≈0.08137 ;  (1/√x)=1e-2； π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455,    √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4； π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5； π(x)/x ≈ .0455053; (0.789822)——1e10与1e8 素数出现率比；
x=10^12,π(10^12)=3760……；√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6； π(x)/x ≈ .0376079; (0.826451)——1e12与1e10素数出现率比；
x=10^14,π(10^14)=3204……；√x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7； π(x)/x ≈ .0320494; (0.852199)——1e14与1e12素数出现率比；
x=10^16,π(10^16)=2792……；√x/π(x) ≈3.58e-7 ;  (1/√x)=1e-8； π(x)/x ≈ .0279238; (0.871274)——1e16与1e14素数出现率比；
x=10^18,π(10^18)=2473……；√x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9； π(x)/x ≈ .02473995;(0.885981)——1e18与1e16素数出现率比；
x=10^20,π(10^20)=2220……；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10；π(x)/x ≈ .0222082; (0.897665 ——1e20与1e18素数出现率比；
x=10^22,π(10^22)=2014……；√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；π(x)/x ≈ .0201467; (0.907174)——1e22与1e20素数出现率比；

从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
     ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
     依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
     x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

3，随数x=10^n  的n值的一步步增大，素数出现率的下降速率呈现越来越慢，10^(n+2)与10^n内的素数出现率之比逐渐趋近于1的趋势是很明显的，若我们能够计算更大的x=10^n  的n值时，素数出现率比值必然会逐渐趋近于0.99、0.999、0.9999、……，其时素数出现率π(x)/x 的极限必将趋于一个不为0的常数。

由此可见：“x→∞时 π(x)/x →0” 的结论与教科书上对于无穷小量比较的法则呈现矛盾。

因此 "x→∞时 π(x)/x →0 "的观点既不符合无穷小量比较的法则又不符合素数趋于无穷多的客观实际。

而你的这个极限显然是大于 x→∞时 π(x)/x =1/lnX 的。

因此即使是“证明”了这个极限=0，也是不符合客观事实的！只能说该证明错误！

看看把{x→∞时 1/x →0}  的极限偷梁换柱的改成【x→∞时 1/lnX→0】,改成了素数出现率趋于0 ,
却改变不了事实，【x→∞时  π(x)→∞】，改变不了实际的x→∞时 π(x)/x 比值的变化趋势。