若 a>b>c>0，a+b+c=6，证明 (a - b) (a - c) (b - c) a b c ≤ 27。

天山草

若 \(a > b > c > 0\)，\(a + b + c = 6\)，证明 \(f(a,b,c) = (a - b) (a - c) (b - c) a b c ≤27\)。

当 \(a、b、c\) 各取何值时 \(f(a,b,c)\) 取得最大值？

波斯猫猫

用a+b+c=6（a>b>c>0）对f(a , b, c) =a b c (a - b) (a - c) (b - c)
消元c ，得二元函数f(a，b) ，然后，最直接的用求导方法硬算也是可以的。

天山草

上面这个来自【知乎】的证明没看懂，这个证明也没有给出取得最大值时的 \(a，b，c\) 值。
答案（抖音上一个讲中学数学的张文龙老师的解答）是 \(f(a,b,c)\) 有最大值 \(27\) 时，\(a,b,c\) 是一元三次方程 \(x^3-6 x^2+9 x - 3=0\) 的三个根。即
\(a=4 cos^2\frac{π}{18}\)，\(b=4 cos^2\frac{5π}{18}\)，\(c=4 cos^2\frac{7π}{18}\)。

Ysu2008

数值解 \(abc=3\ {,}\ \left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right)=9\)
其中
\(\begin{cases}
a\approx3.879385249267712\\
b\approx1.6527036390018495\\
c\approx0.4679111117304385
\end{cases}\)

天山草

此题来源，据抖音上张文龙老师说，是韦神（韦东奕）17 岁时由于在国家集训队表现出色，教练为他量身定制的一道题。据说当年韦东奕轻松的解出了这道题。
张文龙在抖音上的解法是用拉格朗日乘子法。最终是归结为解一个一元三次方程 \(x^3-6 x^2+9 x-3=0\)，这一步我没有看懂。关键是他推出了以下关系式：
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) 和 \(a^2+b^2+c^2=18\)，结合已知条件 \(a+b+c=6\)，由此可推知 \(a b+b c+c a=9\) 以及 \(a b c =3\)，从而
\(a，b，c\) 是一元三次方程 \(x^3-6 x^2+9 x-3=0\)的三个根。

Ysu2008

天山草 发表于 2025-3-7 09:10
此题来源，据抖音上张文龙老师说，是韦神（韦东奕）17 岁时由于在国家集训队表现出色，教练为他量身定制的 ...

张文龙老师解这道题的链接发来看看.

天山草

找张文龙老师在抖音上的视频，进入抖音后，搜索抖音号 882497791，进入张文龙的主页后，再搜索【数学的江湖】，就是这个视频。

Ysu2008

此题技巧性太强，复述一遍过把瘾。

为方便求导，对原式取自然对数，并修正为
\(F=\log\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right)abc+\lambda\left( a+b+c-6\right)\)
\(=\log\left( a-b\right)+\log\left( a-c\right)+\log\left( b-c\right)+\log a+\log b+\log c+\lambda\left( a+b+c-6\right)\)

依次对\(a{,}b{,}c\)求偏导并令导数为0，得(1), (2), (3)三等式
\(\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a}+\lambda=0\)  ……(1)
\(\frac{\partial F}{\partial b}=\frac{-1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b}+\lambda=0\)  ……(2)
\(\frac{\partial F}{\partial c}=\frac{-1}{a-c}+\frac{-1}{b-c}+\frac{1}{c}+\lambda=0\)  ……(3)

\(\left( 1\right)+\left( 2\right)+\left( 3\right)\) :
\(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a}+\lambda+\frac{-1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b}+\lambda+\frac{-1}{a-c}+\frac{-1}{b-c}+\frac{1}{c}+\lambda=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-3\lambda\)

\(\left( 1\right)\times a+\left( 2\right)\times b+\left( 3\right)\times c\) :
\(\frac{a}{a-b}+\frac{a}{a-c}+\frac{a}{a}+a\lambda+\frac{-b}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{b}{b}+b\lambda+\frac{-c}{a-c}+\frac{-c}{b-c}+\frac{c}{c}+c\lambda=0\)
\(\Rightarrow6+a\lambda+b\lambda+c\lambda=0\)
\(\Rightarrow\lambda=-1\)
\(\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=3\)    ……(4)

\(\left( 1\right)\times a^2+\left( 2\right)\times b^2+\left( 3\right)\times c^2\) :
\(\frac{a^2}{a-b}+\frac{a^2}{a-c}+\frac{a^2}{a}+a^2\lambda+\frac{-b^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-c}+\frac{b^2}{b}+b^2\lambda+\frac{-c^2}{a-c}+\frac{-c^2}{b-c}+\frac{c^2}{c}+c^2\lambda=0\)
\(\Rightarrow3\left( a+b+c\right)+a^2\lambda+b^2\lambda+c^2\lambda=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=18\)

\(\because\left( a+b+c\right)^2-\left( a^2+b^2+c^2\right)=2\left( ab+bc+ca\right)=6^2-18=18\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=9\)
代入(4)得 \(abc=3\)

由此可知\(a{,}b{,}c\)应为一元三次方程\(x^3+Bx^2+Cx+D=0\)的三个根，由韦达定理可得
\(\begin{cases}
a+b+c=6=-B\\
ab+bc+ac=9=C\\
abc=3=-D
\end{cases}\Rightarrow x^3-6x^2+9x-3=0\)

解此方程可得
\(\begin{cases}
a=2+2\cos\frac{\pi}{9}=3.879385...\\
b=2-2\sin\frac{\pi}{18}=1.652703...\\
c=2-2\cos\frac{2\pi}{9}=0.467911...
\end{cases}\)

Ysu2008

\(\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right)abc=\begin{vmatrix}
a^3&a^2&a\\
b^3&b^2&b\\
c^3&c^2&c
\end{vmatrix}\)
上式的几何意义是平行六面体的有向体积，不知有无几何解法？



也可以看作外接于抛物线\(y^2=x\)的三角形有向面积的\(abc\)倍:
\(\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right)abc=abc\begin{vmatrix}
a^2&a&1\\
b^2&b&1\\
c^2&c&1
\end{vmatrix}\)

天山草

对于 8# 楼用拉格朗日乘子法求极值，是对目标函数先取对数后，再对改造后的目标函数使用拉格朗日乘子法求极值。
这样做行不行呢？下面证明：先取对数是可以的。