三维挂谷猜想的证明，是合作与交流的胜利

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三维挂谷猜想的证明，是合作与交流的胜利

撰文｜倪忆

近日，纽约大学副教授王虹与加拿大不列颠哥伦比亚大学副教授扎尔（Joshua Zahl）在预印本网站上贴出一篇证明“三维挂谷猜想”的论文，轰动了整个数学界。这项工作过于重要，两位作者又很年轻，有资格竞争明年的菲尔兹奖，（王虹甚至 2030 年都有机会，）以至于这个话题出圈到数学界之外，引发热议。


王虹在北大数学 110 周年校友论坛期间参加交流（图源：BICMR 网站）


扎尔（图源：Quanta 杂志）

挂谷猜想是数学界合作与交流的范例。一代代的数学家把来自不同领域的思想和方法引入到对挂谷猜想的研究当中，合作攻克了一个又一个难关，终于带来了阶段性的重大突破。这其实才是数学研究的常态，而非大众心目中在书斋内孤军奋战。

挂谷猜想是什么？

挂谷猜想的历史需要从与之相关的“挂谷转针问题”讲起。1917 年，日本数学家挂谷宗一提出了这样一个问题：把一条长度为 1 的线段在平面上移动，使其方向旋转 360° ，那么这条线段扫过的最小面积是多少？

容易发现，如果线段只是绕着一个固定的轴心旋转，那么扫过的面积最小是 π/4 。但是，线段在这一过程中完全可以平移。挂谷宗一找到了一个例子，其中线段扫过的面积是 π/8 。挂谷和其他一些数学家都猜测这就是最小面积。（挂谷最初的问题里可能要求扫过的图形是凸集，但笔者无法找到原始文献加以确认。加上凸集条件后，匈牙利数学家帕尔（Julius Pal）证明面积最小的是高为 1 的正三角形。）


挂谷宗一发现的例子（图源：维基百科）

后来另外一位数学家矢野健太郎在描述这一问题时，采用了如下形式。（图片出自单墫教授所著《十个有趣的数学问题》。）



这个不讲武德的故事给人以深刻印象，从而流传很广。可见，选择一个生动有趣的方式来普及数学是多么重要！

挂谷转针问题很快引起了国际关注。1925 年，当时美国数学界领袖伯克霍夫（George Birkhoff）在书中将这一问题跟著名的四色猜想相提并论。

比挂谷宗一稍晚，1919 年，俄国数学家贝西科维奇（Abram Besicovitch）在研究二重积分的时候，提出了一个类似的问题：如果平面上的一个点集在每个方向上都包含一条长为 1 的线段，那么这个点集最小的“面积”是多少？这里的“面积”在数学中其实有一个更严格的术语，称为“测度”（measure）。贝西科维奇所考虑的点集，跟挂谷宗一所考虑的非常相似，仅有的区别是，贝西科维奇并不需要线段能够在点集中连续地转动。贝西科维奇用了一个非常巧妙的方法，构造出了满足条件的测度为 0 的点集。

当时俄国处于战乱之中，跟国外交流不便，所以贝西科维奇并不知道挂谷转针问题。他的工作发表在彼尔姆国立大学物理数学学会的学报上，外界也很难获得。1924 年贝西科维奇移民至西方，在那之后才听说了挂谷转针问题。他把自己原来的构造略加修改，加上帕尔的想法，构造出了面积可以任意小的能让长度为 1 的线段在其中旋转 360° 的图形，从而解决了挂谷转针问题。

是的，挂谷原先提出的转针问题已经被贝西科维奇完全解决了。在高维空间中也可以提类似的问题，但答案并没有本质的区别。现在数学家所研究的“挂谷猜想”，其实是一个全新的问题。在这一点上，近期许多报道都犯了错误。

如果一个点集在每一个方向上都包含一条长度为 1 的线段，那么这个点集就被称为挂谷集合（Kakeya set）。注意这里不要求线段能够连续转动，跟挂谷最早研究的点集不太一样。所以很多人也把它称为贝西科维奇集合（Besicovitch set）。同样的定义也可以延伸到高维空间。

根据贝西科维奇的结果，挂谷集合的测度最小可以是 0 ，这个结论在高维空间中同样正确。

但是数学家们并不满足，他们进一步问：挂谷集合的维数是多少？在数学上，对于挂谷集合这类“怪异”的图形，有好几种方法定义其“维数”，取值可以不是整数，即分形维数。常用的分形维数有豪斯多夫（Hausdorff）维数和闵可夫斯基（Minkowski）维数。数学家猜测，n 维空间中挂谷集合的（豪斯多夫或者闵可夫斯基）维数一定是 n 。这就是挂谷猜想（Kakeya Conjecture），又称为挂谷集合猜想（Kakeya Set Conjecture）。不过，就像很多数学名词一样，这个猜想虽然冠以挂谷的名字，但跟挂谷的研究已经没有直接关系了。

挂谷猜想表明，尽管挂谷集合的测度可以是 0 ，但挂谷集合仍然“很大”。这在一定程度上符合挂谷最初的直觉，只是挂谷采用“面积”来衡量挂谷集合该有多大这一点是不正确的。

挂谷猜想为什么重要？

挂谷猜想是几何测度论这门数学分支里的核心问题之一。希尔伯特曾经说费马大定理是一只会下金蛋的鹅，这是因为对费马大定理的研究极大地推动了代数数论的发展。同样的评价也可以用在挂谷猜想上。

挂谷猜想不是一个孤立的问题，而是一系列类似问题中的一个，这些问题统称为“挂谷类型问题”。对其中一个问题的突破往往会带来其它问题上的进展。

挂谷猜想跟调和分析里最核心的几个问题密切相关，在偏微分方程和解析数论里也有应用。调和分析是由对傅立叶级数和傅立叶变换的研究发展起来的一门数学分支。它跟偏微分方程、数论、表示论、组合数学等多个数学分支都有深刻联系，并且在信号处理、图像压缩等方面里有着广泛应用。我们日常上网看到的大量图像、视频，其背后都有调和分析的功劳。（更多关于应用调和分析的介绍可参见《象牙塔中的另类数学家：沃尔夫数学奖第一位女性得主英格丽·多贝西》一文。）

早在 1919 年，贝西科维奇研究挂谷集合的初衷就是为了解决一个跟二重积分有关的问题，这预示着挂谷集合必然会跟调和分析联系起来。调和分析里最基本的问题是傅立叶级数和傅立叶变换什么时候收敛，以及在什么意义下收敛。在六十年代有一个著名的“圆盘猜想”，对于傅立叶级数和傅立叶变换的博赫纳-里斯平均（Bochner-Riesz mean）的收敛性作出了预测。然而，1971 年，费弗曼（Charles Fefferman ，1978 年菲尔兹奖得主）利用挂谷集合构造出了圆盘猜想的反例。这在当时是一个出乎意料的结果，连费弗曼自己都表示惊讶。

费弗曼的论文发表在《数学年刊》上，其中关键一步使用了坎宁安（Frederic Cunningham, Jr.）刚刚发表在《美国数学月刊》上的一篇关于挂谷转针问题的论文。《数学年刊》是数学界最好的专业杂志，《美国数学月刊》则是一份面向高中生、大学生、数学教师和数学爱好者的普及性刊物，主要刊登初等数学和数学教育方面的文章。很多专业数学家或许会对《美国数学月刊》不屑一顾，但在这个例子里，《美国数学月刊》上发表的论文也为最顶级的数学成果提供了坚实的基础。

作为对圆盘猜想的修正，数学家们提出了博赫纳-里斯猜想。如果挂谷猜想不正确的话，那么用费弗曼同样的方法就能构造出博赫纳-里斯猜想的反例。也就是说，博赫纳-里斯猜想蕴含挂谷猜想！

同样采用费弗曼的方法，人们发现傅立叶变换的限制猜想蕴含挂谷猜想。限制猜想是调和分析里最重要的问题，它研究的是一个函数的傅立叶变换什么时候可以定义在 n 维空间的一个低维子集上。理论上说，可以通过证明限制猜想来证明挂谷猜想。不过，包括陶哲轩（2006 年菲尔兹奖得主）在内的很多专家都认为，要想证明限制猜想，必须先证明挂谷猜想。

1999 年，陶哲轩证明博赫纳-里斯猜想蕴含限制猜想。还有一个相关联的猜想是波动方程的局部光滑化猜想，它蕴含博赫纳-里斯猜想。所以挂谷猜想、限制猜想、博赫纳-里斯猜想、局部光滑化猜想，这四个猜想是一个层层递进的关系：挂谷猜想居于最基础的地位，越往后的猜想越强。

挂谷猜想的基本的重要性还体现在布尔甘（Jean Bourgain ，1994 年菲尔兹奖得主）的开创性工作中。布尔甘在 1991 年发现，从某些挂谷类型猜想也能在一定程度上推出限制猜想。这方面后来又有一系列成果，最新进展是在 2024 年末，王虹和吴澍坤提出了一个新的挂谷类型猜想，并证明这个猜想蕴含限制猜想。


布尔甘与陶哲轩一同领取 2012 年克拉福德奖（图源：Crafoord Foundation）

布尔甘对挂谷猜想做了大量奠基工作。他率先把加性组合学（additive combinatorics）引入到对挂谷猜想的研究之中。后来他与合作者们所得到的和-积估计（sum-product estimate）更成为研究包括挂谷猜想在内的一大批问题的重要工具。（布尔甘证明了实数域上的和-积估计，有限域上的和-积估计是几乎同时由布尔甘、卡茨（Nets Katz）与陶哲轩证明的。）

关于布尔甘与挂谷猜想，还有一个小故事。1989 年，萨纳克（Peter Sarnak）和布尔甘正好同时访问加州理工学院，这是两人第一次见面。萨纳克是解析数论专家，布尔甘便要萨纳克给他一个有挑战性的数论问题，好让自己“在数论上得分”。萨纳克告诉布尔甘一个蒙哥马利（Hugh Montgomery）1971 年提出的猜想，这个猜想能够推出关于黎曼 ζ-函数零点分布的“密度假设”。布尔甘很快就发现蒙哥马利原来的猜想是错的，需要加以修正。他还指出，修正后的猜想能推出挂谷猜想。

这真是让人意想不到的联系！众所周知，数学中最著名的难题或许是黎曼假设，说的是黎曼 ζ-函数的非平凡零点的实部都是 1/2 。黎曼假设有许多推论，其中之一就是密度假设，预测的是零点的虚部的分布规律。而 ζ-函数零点的分布规律跟素数分布息息相关，例如从密度假设能推出相邻素数之间距离的一个估计。

挂谷猜想，这个最初由平面上转针启发出的数学问题，竟然跟信号处理、图像压缩、甚至素数分布都能拉上关系，这正是数学的一大奇妙之处。

挂谷猜想的历史进展

挂谷猜想的二维情形在 1971 年由戴维斯（Roy Davies）证明。这个证明非常初等，也非常短，只有 13 行。

其后挂谷猜想的第一个重大进展出现在 1995 年，沃尔夫（Thomas Wolff）证明 n 维空间中挂谷集合的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数至少是 (n+2)/2 。当 n=3 时，这说明挂谷集合的维数至少是 2.5 。沃尔夫的下界 (n+2)/2 后来又在高维被布尔甘等人改进，不过在 n=3 时的改进都不大。

【人物简介】沃尔夫是二十世纪八九十年代最有影响的分析学家之一，曾两度在国际数学家大会上作报告。他不幸于 2000 年因车祸去世，年仅 46 岁，正处于创造高峰期。沃尔夫跟比尔·盖茨是大学同学兼牌友。所以沃尔夫去世后，盖茨给沃尔夫工作的加州理工学院数学系捐赠了一笔钱以纪念他。


沃尔夫（图源：加州理工学院网站）

2000 年，卡茨、拉巴（Izabella Laba）和陶哲轩证明了三维空间中挂谷集合的闵可夫斯基维数至少是 2.5000000001 。这看起来只是对沃尔夫的结果的一点微小的改进，但却是一个理论上的巨大进展，因为它突破了沃尔夫公理的限制。受到这一成果的启发，卡茨跟陶哲轩产生了新的思路，合作研究了许多年，却没能取得实质性进展。陶哲轩说：“Nets（卡茨）和我多年来一直在非正式地讨论这个问题，但始终未能得出令人满意的定理，甚至连部分结果都未能得到。”

于是，2014 年，陶哲轩在博客上发表长文，公布了他们的想法，希望能给更多人以启示，参与到挂谷猜想的研究之中。卡茨和陶认为，如果三维挂谷猜想有反例，那么这个反例应该有黏连性（sticky）、平面性（plany）、鳞片状（grainy）这三种性质，然后或许可以用布尔甘的和-积估计来证明这三种性质不能共存。卡茨和陶的这一纲领为接下来十年的工作指明了方向。

【人物简介】卡茨小时候是一名神童，20 岁便获得博士学位。（作为对比，另外一位众所周知的神童陶哲轩是 21 岁获得博士学位。）他乍一看有些古怪，不过却颇具幽默感。他办公室门上长期贴着一张海报，上面是他的照片以及几幅喵星人的图，配有文字“We love Katz!”笔者见到好几篇介绍挂谷猜想的英文文章都配有猫图，可能都是用同样的谐音梗。


卡茨（图源：Elizabeth Housworth 的个人网站）

这里非常值得一提的是，陶哲轩并未藏私，而是把他们未成熟的想法公布出来，让全世界的同行都可以使用他们的想法来做研究。他甚至不是以论文形式发表在期刊上，而是仅仅发了一篇博客。类似的做法在数学界其实并不少见。对于陶哲轩这样纯粹的学者而言，发表一篇两篇所谓顶刊论文没有那么重要，重要的是拓展人类知识的边界。在他们看来，同行之间不应当是你死我活的竞争关系，而应该一起合作交流，共同促进数学的发展。

事实上，挂谷猜想的研究很大程度上得益于不同数学领域思想之间的碰撞，而在这碰撞中诞生的新方法，又反哺到了其他领域。这方面的一个例子就是多项式方法。

1999 年，沃尔夫提出了有限域上的挂谷猜想。这是一个纯代数里的组合问题，沃尔夫希望能够通过解决这个问题带来新的启发。2008 年，一名计算机专业的博士生德维尔（Zeev Dvir）解决了有限域上的挂谷猜想。他的证明非常简洁，只有两页，使用的是理论计算机科学里常用的多项式方法。但是，原本的挂谷猜想涉及的是实数，怎样把有限域上的论证搬到实数域上仍然是一个挑战。

有限域上的挂谷猜想的解决是当时数学界一大轰动事件，引起许多人关注，这其中有一位几何学家拉里·古思（Larry Guth）。仅仅几个月后，古思使用代数拓扑里一个很基本的定理，成功地将多项式方法运用到了实数域上，并以之证明了陶哲轩等人提出的“多线性挂谷猜想”的端点情形。在这一类问题中，端点情形的估计是非常困难、非常少见的。古思后来又使用多项式方法在原本的挂谷猜想上也获得了重要进展。

多项式方法还被古思和卡茨等人大量地运用在组合几何中，解决了许多难题，包括埃尔德什（Paul Erdos）1946 年提出的“不同距离问题”。如今多项式方法已然成为调和分析和组合几何里的一个主流工具，蔚为大观。

【人物简介】拉里·古思的父亲阿兰·古思（Alan Guth）是宇宙暴涨理论的创始人，父子俩都是麻省理工学院的校友兼教授。拉里·古思的博士导师是拓扑学家姆罗夫卡（Tomasz Mrowka），但他的博士论文主题却是关于度量几何，跟导师的研究领域不尽相同。（姆罗夫卡是笔者在麻省理工学院期间的博士后导师，从这点来说，古思跟笔者在学术谱系上还有少许亲缘关系。）他早期在度量几何、辛几何、低维拓扑等领域都做出过一流的工作。借助着多项式方法上的突破，他把自己擅长的几何与拓扑方法运用到新的领域，在调和分析、组合几何、解析数论等数学分支均做出了革命性的贡献。


古思（图源：x.com）

围绕着挂谷猜想以及相关问题，调和分析在过去三十年里取得了长足的进步，涌现出来一大批优秀的学者。仅在 2007 年前后进入大学的中国调和分析学家里，就有郭少明（北邮 06 级）、杜秀敏（浙大 07 级）、王虹（北大 07 级）、欧雨濛（北大 07 级）、张瑞祥（北大 08 级）等人。他们彼此之间有大量的合作。以王虹为例，她目前完成的三十多篇科研论文里，除了一篇独作，其余都是跟人合作。她的合作者中，有上一代的古思、拉巴、德梅特尔（Ciprian Demeter）等人，有同辈的一大批中外数学家，也有目前还在读博的任开元（Kevin Ren）这样的学术新人。这其实也是当今数学研究的一个趋势，越来越多的论文是合作完成，尽管怀尔斯（Andrew Wiles）、佩雷尔曼（Grigori Perelman）和张益唐那样的孤胆英雄永远都会存在。

张寿武教授在评价北大数学“黄金一代”时，曾说：“厉害就厉害在他们不是一个人，而是一批人，他们有什么东西不懂，就马上打电话给同学，同学也是另一行的高手，马上就知道是怎么回事了，他们之间不是相互竞争者，而是合作者。”我想同样的评价对于王虹这一代调和分析学家也是成立的。

在包括古思、卡茨、陶哲轩在内的许多数学家的共同努力之下，卡茨-陶纲领里的诸多困难一一被克服，许多原先模模糊糊的设想获得澄清，新的方法和工具被创造出来，旧有的技术被改进。最大的一个突破来自 2022 年，王虹和扎尔证明了黏连性的三维挂谷集合的维数必然是 3 ，而“黏连性”是卡茨-陶纲领里三种性质中最难处理的一种。

最后的助攻来自二维挂谷类型问题的一系列进展，以及新建立的“迭代”方法。据张瑞祥教授介绍，近期最主要的突破包含在四篇论文里，作者包括 Tuomas Orponen 、任开元、Paolo Shmerkin 、王虹，其中王虹是三篇论文的共同作者。最终，王虹和扎尔在 2025 年 2 月 24 日上传论文，证明三维挂谷集合的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都是 3 ，从而宣布解决了三维挂谷猜想。

回顾挂谷猜想的历史，我们可以看到，过去三十多年好几代数学家参与其中，不同背景的数学家引入了来自代数、组合、几何、拓扑、甚至计算机科学的思想，才造就这一领域如今的繁荣。如果王虹和扎尔的论文正确，最大的荣誉当然属于他们，但这一证明的成功也离不开数学界的密切合作与深入交流。

王虹与扎尔对三维挂谷猜想的证明是否正确？

王虹与扎尔的论文长达 127 页，技术性非常强，要通过审核少说也得几个月时间。笔者并非这一领域的专家，没有能力检验证明，不过从种种迹象看，该证明正确的可能性相当大。

王虹与扎尔都是这一领域的顶级专家，有着极其优秀的发表纪录。两人都师出名门，跟领域内最出色的数学家们关系密切。王虹是古思的学生，在加州大学洛杉矶分校跟陶哲轩做过两年同事。扎尔是陶哲轩的学生，古思的博士后，跟古思和卡茨都有许多合作。他们参与了近年来有关挂谷猜想最重要的一些突破。他们对挂谷猜想的研究，甚至超越了古思、卡茨、陶哲轩这些成名的大师。

这篇论文已经获得了同行专家的高度认可。公布预印本之前，两名作者将初稿寄给了许多业内的顶级专家征询意见，包括古思、卡茨、陶哲轩这些对挂谷猜想做出重要贡献的人都给出了评论和建议。从这点来看，论文应该没有明显的问题。预印本上网后，陶哲轩第一时间在社交媒体上发文宣布三维挂谷猜想获证，并且在个人博客上发表长文介绍证明的基本思路。他的措辞非常乐观，直接宣布三维挂谷猜想已经被王虹与扎尔证明，甚至没有加上“证明尚待检验”之类的话。对于陶哲轩这样严谨的数学家来说，这表明他非常深入地审读了该论文，对其正确性有很高的信心。

王虹会不会获得菲尔兹奖？

王虹会不会获得菲尔兹奖?这恐怕是中文互联网上关于挂谷猜想大家最关心的一个问题。

菲尔兹奖四年颁发一次，每次最多发四个人，年龄还不能超过 40 岁。有这么多限制条件，再考虑到数学里起码有二十个活跃的分支，谁能得菲尔兹奖其实有一定的偶然性，受评委会的人员组成影响很大。每个评奖周期里，少说也有二三十名数学家有资格获奖，最后发给谁不发给谁都很正常。菲尔兹奖历史上，学术成就达到菲尔兹奖标准却未能获奖的大有人在，例如王虹的导师古思。所以现在断言王虹必然获奖为时尚早。

不过，笔者相信王虹获奖的可能性是非常大的。笔者完全是调和分析领域的门外汉，但看到王虹和扎尔论文的第一反应就是：这绝对是菲尔兹奖级别的成果。挂谷猜想是数学中知名度最高的问题之一。笔者高中时就读过单墫教授关于挂谷转针问题的科普，博士阶段就听说过挂谷猜想。近年来，挂谷猜想的每一个大进展都会成为数学界的新闻，而陶哲轩这样的明星数学家也经常在自己博客上发表相关文章。

另一方面，挂谷猜想的难度之高也是大家公认的。即便是布尔甘和陶哲轩这样的菲尔兹奖得主，以及沃尔夫、古思和卡茨这些解决过众多难题的大师，对挂谷猜想研究多年，也只是取得部分进展。这都增加了该猜想作为一个困难问题的名声。

笔者近日来与一些同行聊天谈到三维挂谷猜想，这些人里有分析领域的专家，也有研究领域跟调和分析相去甚远的，有和王虹十分亲近的朋友，也有跟她素不相识的人，有中国人，也有欧美人士，但大家一致认为王虹会拿到菲尔兹奖。

早在两年前，王虹就已经被公认为调和分析新一代中最杰出的数学家，没有之一。除了跟扎尔合作的关于挂谷猜想的工作以外，王虹还跟古思、伊奥塞维奇（Alex Iosevich）和欧雨濛等人合作在二维福尔克纳（Falconer）距离问题上取得重大突破，并跟任开元合作完全解决弗斯滕伯格（Furstenberg）集合猜想。去年，久负盛名的法国国际高等科学研究院（IHES）给王虹发了终身教授聘书。自 1958 年成立以来，IHES 总共有 12 名数学领域的终身教授，其中 7 人拿到菲尔兹奖，即便没拿到菲尔兹奖的也都是公认的大师。由此可见国际数学界对王虹的高度评价。可以说，就算没有证明三维挂谷猜想，王虹也会是菲尔兹奖的主要候选人之一，而三维挂谷猜想的证明无疑为她竞争菲尔兹奖加上了最重的一枚砝码。

当然，真正决定谁获得菲尔兹奖的还是菲尔兹奖评委会。但是，评委会一定会非常认真地考虑王虹的情况，而且调和分析界也必然会全力支持她。作为调和分析年轻一代最杰出的代表，如果王虹能获得菲尔兹奖，将标志着整个数学界对该领域所取得成就的认可，为挂谷猜想这个世纪难题增添新的传奇。

【补记】在本文接近完稿之际，数学界又传出一个重大成果：芝加哥大学的邓煜与密歇根大学的哈尼（Zaher Hani）和马骁在预印本网站上贴出论文，宣布解决了狭义的希尔伯特第六问题。其中邓煜跟王虹是北大数学 07 级同学，哈尼则跟扎尔于同一时期在陶哲轩门下读博。（王虹大二转入数学系，邓煜则在大三转学去麻省理工学院，两人有一年交集。哈尼 2007-2011 年在加州大学洛杉矶分校读博，扎尔则是 2008-2013 年。）如果两篇论文均正确，那么就是这两对同窗在一周内各自公布了划时代的成果，堪称一段佳话。

【致谢】作者感谢张瑞祥教授阅读本文初稿并提出大量宝贵意见。

原创 普林小虎队 普林小虎队 2025 年 03 月 08 日 09:17 美国