巧识“庐山真面目”—— 一道网红几何题的妙解

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巧识“庐山真面目”—— 一道网红几何题的妙解

原创 高航  航家数学  2025 年 03 月 23 日  重庆

题目：

如图，在 ΔABC 中，D,E 分别在边 AB,AC 上，BD=BC ，AE=AD ，F 为 CE 中点，DE,BF 的延长线交于 G ，求证：CG^2=DG·EG 。



分析：

本题是微信题友 Mojito 和我交流的题目，虽然题目看上去都是直线型，但首先我从证明的结论中看到了圆的影子：这不就是证明 CG 是 ΔCDE 外接圆的切线吗？接下来我们分析这个构图过程，设 BC=a ，AC=b ，AB=c 。发现 AE=AD=c-a ，CE=b-(c-a)=b+a-c ，CF=(b+a-c)/2 。如果对三角形内切圆比较熟悉，一眼就可以看出，F 就是 ΔABC 的内切圆与 AC 的切点。看到这一步，就发现了这个题的“庐山真面目”，看似条件全部是直线，没有出现圆，却蕴含着内切圆的构型。按照这个思路，我们作出内心和内切圆。

证明：

作内心 I 和 ΔABC 的内切圆，因为 AE=AD=c-a ，CE=b-(c-a)=b+a-c ，CF=(b+a-c)/2 ，则 F 为内切圆与 AC 的切点。

则 IE=IC ；由 AD=AE ，则 ΔAID≌ΔAIE ，所以 ID＝IE 。

所以 ID=IE=IC ，则 C,E,D 在以 I 为圆心、IC 为半径的圆 Ω 上。

以下只需证明：CG 与 Ω 相切于 C ，即需证明：CI⊥CG ，即 CG 为 ∠ACB 的外角平分线。




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