有趣的数学问题 —— 百人百灯问题

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有趣的数学问题 —— 百人百灯问题

原创  小猿科普 小猿科普  2025 年 03 月 09 日 08:30  北京

房间里有一百个灯，编号 1～100 ，默认是关的。房间外有一百个人，编号 1～100 。房间外 100 个人依次进入房间，将编号是自己编号倍数的灯拉一下，比如，如果是编号为 1 的人，进入房间将所有的灯都拉一下，编号是 2 的人进入房间，将 2，4，6，8... 的灯拉一下。问，100 个人过后，房间内还有哪些灯是亮的？ 灯默认是关的，拉一下开关，点亮，再拉一下开关，关闭，依次类推。

这个问题正向思考起来确实比较复杂。有 100 个人，每个人都要走进屋子按一遍开关，然后再来统计哪些灯最终是点亮的，哪些灯最终是熄灭的……，这确实是一个浩大的工程。

有没有一个巧妙的方法来解决这个问题呢？其实正向思考过于复杂，我们就不妨来逆向思考一下这个问题。

首先我们来考虑一下要怎样才能使这盏灯最终被点亮呢？这一点并不难想象：只要这盏灯的开关被人拉了奇数下，比如拉了 3 下，这盏灯最后肯定是亮的。



现在这个问题就转化为：经历了这 100 人的“开开关关”后，有哪些灯的开关被拉了奇数次呢？这似乎也是一个比较复杂的问题，有什么思路来解决这个问题呢？

我们发现，问题中还有一个已知条件没有用到：100 个人依次进入房间，将编号是自己编号倍数的灯拉一下。这似乎可以给我们一些启发。

假如这个人是 5 号，那么他就会去拉动编号为 5 的倍数的灯的开关，即 5，10，15，20，……95，100 。



假如这个人是 10 号，那么他就会去拉动编号为 10 的倍数的灯的开关，即 10，20，30……90，100 。



不难发现，对于 20 号灯来说，编号为 5 的人和编号为 10 的人都会去拉一次它的开关。那么还有谁去拉动 20 号灯的开关呢？



显然只要编号为 20 的因数的人，都会去拉动它的开关，即 1，2，4，5，10，20 。其他人都不会拉动它的开关。这样算来 20 号灯的开关最终 6 个人会拉动，所以 20 号灯最终一定是熄灭的。

能想到这一点，本题就有了基本思路：我们只需找出 1～100 中，有哪些编号有奇数个因数，那么这些编号对应的灯的开关就会被拉动奇数次，最终这些灯就是点亮的。

如果你使用穷举法，逐一计算 1～100 每个数的因数的个数，你会得到这个答案：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 。这 10 个数每个数都有奇数个因数。

但是如果你掌握了其中的规律，得到这个答案并不需要这么麻烦。

对于一个整数，它的因数一定都小于该数本身，并且这些因数一定可以分成若干对，使得每对因数相乘都等于该数本身。举例说明：



所以一般来说一个整数的因数个数都是偶数个。

但是也存在例外，例如 36 ，它的因数包括 1，2，3，6，12，18，36 ，可以看到它的因数中除了可分成对的(1，36)、(2，18)、(3，12) 之外，还有一个孤立的 6 ，而 6×6（自身相乘）也得 36 ，而这些数都有奇数个因数。

所以 1～100 中包含奇数个因数的数都是那些完全平方数，即 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 。

所以最终 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 编号的灯是点亮的。

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