年轻的伽罗瓦究竟开创了什么神奇理论

luyuanhong

年轻的伽罗瓦究竟开创了什么神奇理论

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 04 月 12 日 12:27  浙江

伽罗瓦（Evariste Galois）仅仅学了 5 年数学，就完成了欧拉、高斯和拉格朗日等大神穷其一生都没能解决的问题，年仅二十岁开创了现代代数学的先河，这是数学史上的奇迹。


数学史上绝无仅有的奇才——埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）

今天就用通俗的语言，来谈谈他开创的究竟是什么神奇理论。

伽罗瓦在探索五次方程求解问题时，提出的“群论”（Group Theory），当时没人能理解，直到他死后 14 年，这一理论才被数学界接受。

简而言之，群论就是对数学的再一次抽象，是抽象代数的基础。

抽象的目的是为了发现更本质的数学结构，但也让难度陡然增加。

不过别担心，今天我们用小学数学知识来解释它。

首先，“群”是一个跳出普通计算的概念，在这里，加法、乘法、图形的旋转、开关的开闭，都可以当成是计算，被称为二元运算，群论就是要发现这些运算背后的共性——对称。



越抽象，越本质，但“群”为什么与对称有关？

这源于对“群”的定义，群的运算必须具备封闭性。

所谓的封闭性，就是构成群的元素，来自一个集合，经过运算，结果还得在原集合内。



举个例子：一个班的学生排队来到操场，让他们自由活动，然后突然让他们就近再排成一排。这样虽然顺序变了，但人没多也没少，这就是运算的封闭性。

只是在队伍里，可能小帅与小美的位置互换了；也可能小红占了小蓝的位置，小蓝占了小明的位置，而小明又占了小红的位置，形成了轮换，这些通过一定的变换，还能看上去和之前一样，就是对称。



只要群运算是封闭的，就会具有对称性。

不同的对称，意味着不同的结构。

而且如果构成群的元素是有限的，那么这种对称结构也很有限，掌握它们就意味着掌握了万物的运算法则。



大部分群论入门书，会一下子冒出很多专业术语，非常不友好，比如：子群、商群、陪集、正规子群、直积、半直积、正规化子、同态、同构……一叠加，彻底晕了。

有时候数学并不是逻辑有多难，而是新冒出来的概念和已有的知识没有链接，所以思维没法跟上。

其实只要用一个不太严谨的类比，你就能瞬间明白数学家整出这些名词到底为了啥。

一句话，“群”就像小学算术中的分解质因数。

每一个数字都能分解成质数相乘的形式。群也一样，它也能被分解成更小的更基本的群，这就是子群。这些小群“相乘”，能构成复杂的大群。这里的“相乘”就是直积或者半直积。小群各有各的对称性，“相乘”后会蕴含在大群中，群论就是通过分解小群来研究这种结构。



群论在二十世纪大放异彩，现代物理学家认为宇宙中的物质和相互作用，整体上就是一个大群。在强力、弱力、电磁力和引力 4 个层面，微观粒子因其对称性的差异形成了不同的群，然后这些群“相乘”又能构建出更大的群，大群将包含全部的微观粒子，这就是规范场论的思想。目前只差引力还没能纳入进去，物理学家们希望能找到引力所蕴含的群结构，并与之前的群“相乘”，以完成物理学上的大统一。



目前规范场论已经用群论的形式统一了强力、弱力与电磁力，就差找到引力的群结构

明白了这个道理，再看专业术语，是不是友好了很多。

如果你对群论有点兴趣，想进一步系统了解，那么这本《群论彩图版》是很好的入门书。彩图能清晰地表达群的内部结构，让你一目了然。比如，这里的大群就被拆解成三个小群“相乘”（直积）的形式，每一类小群用一种颜色表达，这在单色印刷的书上几乎没法实现。而且书中有大量形象化图示，让术语不再抽象。


《群论彩图版》以不同色彩来表示群结构的插图


《群论彩图版》内页实拍


《群论彩图版》| 机械工业出版社

如果你对群论还有更专业的需求，那么可以看小阿廷编写的经典教材《代数》，这是麻省理工和普林斯顿的专业教材。大师之作，举重若轻。行文简洁不罗嗦，逻辑连贯不跳跃。


《代数》| 机械工业出版社

这两本书都以伽罗瓦理论收尾。原来年轻的伽罗瓦发现，多项式方程的根构成了一个“群”；而所有求根公式的表达式，都存在于有理数的某个扩张域内。正是这个“群”和“域”存在一定关联，让他得到了这个大问题的答案：五次方程没有根式解。



群对理解最基本的代数运算关系至关重要。伽罗瓦在 200 年前就有如此深刻而非凡的洞见，难怪连费曼都不禁感叹道：他是怎么想到的。

“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类，我相信，这是未来数学的任务。”伽罗瓦留下的这句话，直到多年后才被其他数学家理解，它照亮了之后两个世纪的数学与科学发展之路。



蔡爸谈数学