整系数不定方程的整数解

yangchuanju

整系数不定方程的整数解
对于整系数不定方程ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=m，
令ac=m，有b=0；
令ac=1，有1+b+b^2=m，b^2+b-(m-1)=0
b=-1/2±(1+4*(m-1))^0.5/2=-1/2±(4m-3)^0.5/2
令ac=-1，有-1-b+b^2=m，b^2-b-(m+1)=0
b=1/2±(1+4*(m+1))^0.5/2=-1/2±(4m+5)^0.5/2
对于某些正奇数m，当ac=±1时可能有整数解。
太阳规定不考虑b=0和ac=±1的解，当ac=m时原不定方程变成
m+m^3*b+m^2*b^2=m
m^2*b^2+m^3*b=0
b+m=0
b=-m=-ac
例ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=15，a=3,c=5
15+15^3*b+15^2*b^2=15
15+b=0
b=-15=-3*5
原方程有a>2,c>2,b≠0的整数解(3,-15,5)和(5,-15,3)。

当m是素数时，不能分解出大于2的a或c；
只有当m是合数时，方可分解出大于2的a和c，原不定方程有符合太阳条件的整数解。

yangchuanju

右端等于m的不定方程解的构成
b=[-a^3*c^3±(a^6*c^6-4a^3*c^3+4a^2*c^2*m)^0.5]/(2a^2*c^2)
当ac-m时，如m=20，a、c的搭配为1,20；2,10；4,5；5,4；10,2；20,1时
b=[-m^3±(m^6-4*m^3+4*m^2*m)^0.5]/(2m^2)=[-m±m]=0或-m；

有时可能有a=1,c=1或a=-1,c=-1，b=[-1±(1-4+4m)^0.5]/(2)=[-1±(4m-3)^0.5]/2；
或可能有a=1,c=-1或a=-1,c=1，b=[1±(1+4+4m)^0.5]/2=[1±(4m+5)^0.5]/2；
经验证当右端是双数时4m-3和4m+5都不是平方数，b不会是整数；
但右端是奇数时却有可能是平方数，b是整数。

m        4m-3        4m+5
1        1        9
3        9        17
5        17        25
7        25        33
9        33        41
11        41        49
13        49        57
15        57        65
17        65        73
19        73        81
21        81        89
23        89        97
25        97        105
27        105        113
29        113        121
31        121        129
33        129        137
35        137        145
37        145        153
39        153        161
41        161        169
43        169        177
45        177        185
47        185        193
49        193        201
51        201        209
53        209        217
55        217        225
57        225        233
59        233        241
61        241        249
63        249        257
65        257        265
67        265        273
69        273        281
71        281        289
73        289        297
75        297        305
77        305        313
79        313        321
81        321        329
83        329        337
85        337        345
87        345        353
89        353        361
91        361        369
……

yangchuanju

整系数不定方程的整数解
给定一个整系数不定方程
ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=m，
式中a、b、c、m都是整数（负整数、零、正整数）。
可以认为它是一个关于b的整系数二次方程
(a^2*c^2)*b^2+(a^3*c^3)*b+(ac-m)=0
B^2-4AC=(a^3*c^3)^2-4*a^2*c^2*(ac-m)=a^6*c^6-4a^3*c^3+4a^2*c^2*m=a^6*c^6-4a^3*c^3+4a^2*c^2*m
b=[-a^3*c^3±(a^6*c^6-4a^3*c^3+4a^2*c^2*m)^0.5]/(2a^2*c^2)
或b=[-a^2*c^2±(a^4*c^4-4a*c+4*m)^0.5]/(2a*c)

给定不定方程不论m取奇数还是取偶数，都有一大堆整数解；
如果只允许取a>2,b≠0,c>2,m>0，则不定方程的整数解数减少许多。

ac均大于2的整数解组数
m        b>0        b=0        b<0
1        0        0        0
2        0        0        0
3        0        0        0
4        0        0        0
5        0        0        0
6        0        0        0
7        0        0        0
8        0        0        0
9        0        1        1
10        0        0        0
11        0        0        0
12        0        2        2
13        0        0        0
14        0        0        0
15        0        2        2
16        0        1        1
17        0        0        0
18        0        2        2
19        0        0        0
20        0        2        2
21        0        2        2
22        0        0        0
23        0        0        0
24        0        4        4
25        0        1        1
26        0        0        0
27        0        2        2
28        0        2        2
29        0        0        0
30        0        4        4
31        0        0        0
32        0        2        2
33        0        2        2
34        0        0        0
35        0        2        2
36        0        5        5
37        0        0        0
38        0        0        0
39        0        2        2
40        0        4        4
41        0        0        0
42        0        4        4
43        0        0        0
44        0        2        2
45        0        4        4
46        0        0        0
47        0        0        0
48        0        6        6
49        0        1        1
50        0        2        2
51        0        2        2
……                       
不难发现，当m是偶数、m/2是素数时，不定方程没有符合限定条件的整数解；
当m是偶数、m/2是合数时，不定方程都有符合条件的整数解；
当m是奇数时，不定方程可能有、也可能没有符合条件的整数解——
奇m是素数时没有符合条件的整数解；
奇m是合数时都有符合条件的整数解。
太阳先生认为这类（右端是偶数的）不定方程没有整数解则m/2是素数，
有整数解则m/2是合数，虽有可能是对的，但不全面！

yangchuanju

ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=m的整数解               
m        解组数        整数解
0        1        {{a=0,c=0}}
1        8        {{-1,-1,-1},{-1,-1,1},{-1,0,-1},{-1,2,1},{1,-1,-1},{1,-1,1},{1,0,1},{1,2,-1}}
2        8        {{-2,-2,-1},{-2,0,-1},{-1,-2,-2},{-1,0,-2},{1,-2,2},{1,0,2},{2,-2,1},{2,0,1}}
3        12        {{-3,-3,-1},{-3,0,-1},{-1,-3,-3},{-1,-2,-1},{-1,0,-3},{-1,1,-1},{1,-3,3},{1,-2,1},{1,0,3},{1,1,1},{3,-3,1},{3,0,1}}
4        12        {{-4,-4,-1},{-4,0,-1},{-2,-4,-2},{-2,0,-2},{-1,-4,-4},{-1,0,-4},{1,-4,4},{1,0,4},{2,-4,2},{2,0,2},{4,-4,1},{4,0,1}}
5        12        {{-5,-5,-1},{-5,0,-1},{-1,-5,-5},{-1,-2,1},{-1,0,-5},{-1,3,1},{1,-5,5},{1,-2,-1},{1,0,5},{1,3,-1},{5,-5,1},{5,0,1}}
6        16        {{-6,-6,-1},{-6,0,-1},{-3,-6,-2},{-3,0,-2},{-2,-6,-3},{-2,0,-3},{-1,-6,-6},{-1,0,-6},{1,-6,6},{1,0,6},{2,-6,3},{2,0,3},{3,-6,2},{3,0,2},{6,-6,1},{6,0,1}}
7        12        {{-7,-7,-1},{-7,0,-1},{-1,-7,-7},{-1,-3,-1},{-1,0,-7},{-1,2,-1},{1,-7,7},{1,-3,1},{1,0,7},{1,2,1},{7,-7,1},{7,0,1}}
8        16        {{-8,-8,-1},{-8,0,-1},{-4,-8,-2},{-4,0,-2},{-2,-8,-4},{-2,0,-4},{-1,-8,-8},{-1,0,-8},{1,-8,8},{1,0,8},{2,-8,4},{2,0,4},{4,-8,2},{4,0,2},{8,-8,1},{8,0,1}}
9        12        {{-9,-9,-1},{-9,0,-1},{-3,-9,-3},{-3,0,-3},{-1,-9,-9},{-1,0,-9},{1,-9,9},{1,0,9},{3,-9,3},{3,0,3},{9,-9,1},{9,0,1}}
10        24        {{-10,-10,-1},{-10,0,-1},{-5,-10,-2},{-5,0,-2},{-2,-10,-5},{-2,-1,1},{-2,0,-5},{-2,3,1},{-1,-10,-10},{-1,-1,2},{-1,0,-10},{-1,3,2},{1,-10,10},{1,-1,-2},{1,0,10},{1,3,-2},{2,-10,5},{2,-1,-1},{2,0,5},{2,3,-1},{5,-10,2},{5,0,2},{10,-10,1},{10,0,1}}
11        12        {{-11,-11,-1},{-11,0,-1},{-1,-11,-11},{-1,-3,1},{-1,0,-11},{-1,4,1},{1,-11,11},{1,-3,-1},{1,0,11},{1,4,-1},{11,-11,1},{11,0,1}}
12        24        {{-12,-12,-1},{-12,0,-1},{-6,-12,-2},{-6,0,-2},{-4,-12,-3},{-4,0,-3},{-3,-12,-4},{-3,0,-4},{-2,-12,-6},{-2,0,-6},{-1,-12,-12},{-1,0,-12},{1,-12,12},{1,0,12},{2,-12,6},{2,0,6},{3,-12,4},{3,0,4},{4,-12,3},{4,0,3},{6,-12,2},{6,0,2},{12,-12,1},{12,0,1}}
13        12        {{-13,-13,-1},{-13,0,-1},{-1,-13,-13},{-1,-4,-1},{-1,0,-13},{-1,3,-1},{1,-13,13},{1,-4,1},{1,0,13},{1,3,1},{13,-13,1},{13,0,1}}
14        24        {{-14,-14,-1},{-14,0,-1},{-7,-14,-2},{-7,0,-2},{-2,-14,-7},{-2,-3,-1},{-2,0,-7},{-2,1,-1},{-1,-14,-14},{-1,-3,-2},{-1,0,-14},{-1,1,-2},{1,-14,14},{1,-3,2},{1,0,14},{1,1,2},{2,-14,7},{2,-3,1},{2,0,7},{2,1,1},{7,-14,2},{7,0,2},{14,-14,1},{14,0,1}}
15        16        {{-15,-15,-1},{-15,0,-1},{-5,-15,-3},{-5,0,-3},{-3,-15,-5},{-3,0,-5},{-1,-15,-15},{-1,0,-15},{1,-15,15},{1,0,15},{3,-15,5},{3,0,5},{5,-15,3},{5,0,3},{15,-15,1},{15,0,1}}
16        20        {{-16,-16,-1},{-16,0,-1},{-8,-16,-2},{-8,0,-2},{-4,-16,-4},{-4,0,-4},{-2,-16,-8},{-2,0,-8},{-1,-16,-16},{-1,0,-16},{1,-16,16},{1,0,16},{2,-16,8},{2,0,8},{4,-16,4},{4,0,4},{8,-16,2},{8,0,2},{16,-16,1},{16,0,1}}
17        8        {{-17,-17,-1},{-17,0,-1},{-1,-17,-17},{-1,0,-17},{1,-17,17},{1,0,17},{17,-17,1},{17,0,1}}
18        24        {{-18,-18,-1},{-18,0,-1},{-9,-18,-2},{-9,0,-2},{-6,-18,-3},{-6,0,-3},{-3,-18,-6},{-3,0,-6},{-2,-18,-9},{-2,0,-9},{-1,-18,-18},{-1,0,-18},{1,-18,18},{1,0,18},{2,-18,9},{2,0,9},{3,-18,6},{3,0,6},{6,-18,3},{6,0,3},{9,-18,2},{9,0,2},{18,-18,1},{18,0,1}}
19        12        {{-19,-19,-1},{-19,0,-1},{-1,-19,-19},{-1,-4,1},{-1,0,-19},{-1,5,1},{1,-19,19},{1,-4,-1},{1,0,19},{1,5,-1},{19,-19,1},{19,0,1}}
20        24        {{-20,-20,-1},{-20,0,-1},{-10,-20,-2},{-10,0,-2},{-5,-20,-4},{-5,0,-4},{-4,-20,-5},{-4,0,-5},{-2,-20,-10},{-2,0,-10},{-1,-20,-20},{-1,0,-20},{1,-20,20},{1,0,20},{2,-20,10},{2,0,10},{4,-20,5},{4,0,5},{5,-20,4},{5,0,4},{10,-20,2},{10,0,2},{20,-20,1},{20,0,1}}
21        20        {{-21,-21,-1},{-21,0,-1},{-7,-21,-3},{-7,0,-3},{-3,-21,-7},{-3,0,-7},{-1,-21,-21},{-1,-5,-1},{-1,0,-21},{-1,4,-1},{1,-21,21},{1,-5,1},{1,0,21},{1,4,1},{3,-21,7},{3,0,7},{7,-21,3},{7,0,3},{21,-21,1},{21,0,1}}
22        16        {{-22,-22,-1},{-22,0,-1},{-11,-22,-2},{-11,0,-2},{-2,-22,-11},{-2,0,-11},{-1,-22,-22},{-1,0,-22},{1,-22,22},{1,0,22},{2,-22,11},{2,0,11},{11,-22,2},{11,0,2},{22,-22,1},{22,0,1}}
23        8        {{-23,-23,-1},{-23,0,-1},{-1,-23,-23},{-1,0,-23},{1,-23,23},{1,0,23},{23,-23,1},{23,0,1}}
24        32        {{-24,-24,-1},{-24,0,-1},{-12,-24,-2},{-12,0,-2},{-8,-24,-3},{-8,0,-3},{-6,-24,-4},{-6,0,-4},{-4,-24,-6},{-4,0,-6},{-3,-24,-8},{-3,0,-8},{-2,-24,-12},{-2,0,-12},{-1,-24,-24},{-1,0,-24},{1,-24,24},{1,0,24},{2,-24,12},{2,0,12},{3,-24,8},{3,0,8},{4,-24,6},{4,0,6},{6,-24,4},{6,0,4},{8,-24,3},{8,0,3},{12,-24,2},{12,0,2},{24,-24,1},{24,0,1}}
25        12        {{-25,-25,-1},{-25,0,-1},{-5,-25,-5},{-5,0,-5},{-1,-25,-25},{-1,0,-25},{1,-25,25},{1,0,25},{5,-25,5},{5,0,5},{25,-25,1},{25,0,1}}
26        16        {{-26,-26,-1},{-26,0,-1},{-13,-26,-2},{-13,0,-2},{-2,-26,-13},{-2,0,-13},{-1,-26,-26},{-1,0,-26},{1,-26,26},{1,0,26},{2,-26,13},{2,0,13},{13,-26,2},{13,0,2},{26,-26,1},{26,0,1}}
27        16        {{-27,-27,-1},{-27,0,-1},{-9,-27,-3},{-9,0,-3},{-3,-27,-9},{-3,0,-9},{-1,-27,-27},{-1,0,-27},{1,-27,27},{1,0,27},{3,-27,9},{3,0,9},{9,-27,3},{9,0,3},{27,-27,1},{27,0,1}}
28        24        {{-28,-28,-1},{-28,0,-1},{-14,-28,-2},{-14,0,-2},{-7,-28,-4},{-7,0,-4},{-4,-28,-7},{-4,0,-7},{-2,-28,-14},{-2,0,-14},{-1,-28,-28},{-1,0,-28},{1,-28,28},{1,0,28},{2,-28,14},{2,0,14},{4,-28,7},{4,0,7},{7,-28,4},{7,0,4},{14,-28,2},{14,0,2},{28,-28,1},{28,0,1}}
29        12        {{-29,-29,-1},{-29,0,-1},{-1,-29,-29},{-1,-5,1},{-1,0,-29},{-1,6,1},{1,-29,29},{1,-5,-1},{1,0,29},{1,6,-1},{29,-29,1},{29,0,1}}
30        40        {{-30,-30,-1},{-30,0,-1},{-15,-30,-2},{-15,0,-2},{-10,-30,-3},{-10,0,-3},{-6,-30,-5},{-6,0,-5},{-5,-30,-6},{-5,0,-6},{-3,-30,-10},{-3,0,-10},{-2,-30,-15},{-2,-2,1},{-2,0,-15},{-2,4,1},{-1,-30,-30},{-1,-2,2},{-1,0,-30},{-1,4,2},{1,-30,30},{1,-2,-2},{1,0,30},{1,4,-2},{2,-30,15},{2,-2,-1},{2,0,15},{2,4,-1},{3,-30,10},{3,0,10},{5,-30,6},{5,0,6},{6,-30,5},{6,0,5},{10,-30,3},{10,0,3},{15,-30,2},{15,0,2},{30,-30,1},{30,0,1}}
31        12        {{-31,-31,-1},{-31,0,-1},{-1,-31,-31},{-1,-6,-1},{-1,0,-31},{-1,5,-1},{1,-31,31},{1,-6,1},{1,0,31},{1,5,1},{31,-31,1},{31,0,1}}
32        24        {{-32,-32,-1},{-32,0,-1},{-16,-32,-2},{-16,0,-2},{-8,-32,-4},{-8,0,-4},{-4,-32,-8},{-4,0,-8},{-2,-32,-16},{-2,0,-16},{-1,-32,-32},{-1,0,-32},{1,-32,32},{1,0,32},{2,-32,16},{2,0,16},{4,-32,8},{4,0,8},{8,-32,4},{8,0,4},{16,-32,2},{16,0,2},{32,-32,1},{32,0,1}}
33        24        {{-33,-33,-1},{-33,0,-1},{-11,-33,-3},{-11,0,-3},{-3,-33,-11},{-3,-1,1},{-3,0,-11},{-3,4,1},{-1,-33,-33},{-1,-1,3},{-1,0,-33},{-1,4,3},{1,-33,33},{1,-1,-3},{1,0,33},{1,4,-3},{3,-33,11},{3,-1,-1},{3,0,11},{3,4,-1},{11,-33,3},{11,0,3},{33,-33,1},{33,0,1}}
34        24        {{-34,-34,-1},{-34,0,-1},{-17,-34,-2},{-17,0,-2},{-2,-34,-17},{-2,-4,-1},{-2,0,-17},{-2,2,-1},{-1,-34,-34},{-1,-4,-2},{-1,0,-34},{-1,2,-2},{1,-34,34},{1,-4,2},{1,0,34},{1,2,2},{2,-34,17},{2,-4,1},{2,0,17},{2,2,1},{17,-34,2},{17,0,2},{34,-34,1},{34,0,1}}
35        16        {{-35,-35,-1},{-35,0,-1},{-7,-35,-5},{-7,0,-5},{-5,-35,-7},{-5,0,-7},{-1,-35,-35},{-1,0,-35},{1,-35,35},{1,0,35},{5,-35,7},{5,0,7},{7,-35,5},{7,0,5},{35,-35,1},{35,0,1}}
36        36        {{-36,-36,-1},{-36,0,-1},{-18,-36,-2},{-18,0,-2},{-12,-36,-3},{-12,0,-3},{-9,-36,-4},{-9,0,-4},{-6,-36,-6},{-6,0,-6},{-4,-36,-9},{-4,0,-9},{-3,-36,-12},{-3,0,-12},{-2,-36,-18},{-2,0,-18},{-1,-36,-36},{-1,0,-36},{1,-36,36},{1,0,36},{2,-36,18},{2,0,18},{3,-36,12},{3,0,12},{4,-36,9},{4,0,9},{6,-36,6},{6,0,6},{9,-36,4},{9,0,4},{12,-36,3},{12,0,3},{18,-36,2},{18,0,2},{36,-36,1},{36,0,1}}
37        8        {{-37,-37,-1},{-37,0,-1},{-1,-37,-37},{-1,0,-37},{1,-37,37},{1,0,37},{37,-37,1},{37,0,1}}
38        16        {{-38,-38,-1},{-38,0,-1},{-19,-38,-2},{-19,0,-2},{-2,-38,-19},{-2,0,-19},{-1,-38,-38},{-1,0,-38},{1,-38,38},{1,0,38},{2,-38,19},{2,0,19},{19,-38,2},{19,0,2},{38,-38,1},{38,0,1}}
39        24        {{-39,-39,-1},{-39,0,-1},{-13,-39,-3},{-13,0,-3},{-3,-39,-13},{-3,-4,-1},{-3,0,-13},{-3,1,-1},{-1,-39,-39},{-1,-4,-3},{-1,0,-39},{-1,1,-3},{1,-39,39},{1,-4,3},{1,0,39},{1,1,3},{3,-39,13},{3,-4,1},{3,0,13},{3,1,1},{13,-39,3},{13,0,3},{39,-39,1},{39,0,1}}
40        32        {{-40,-40,-1},{-40,0,-1},{-20,-40,-2},{-20,0,-2},{-10,-40,-4},{-10,0,-4},{-8,-40,-5},{-8,0,-5},{-5,-40,-8},{-5,0,-8},{-4,-40,-10},{-4,0,-10},{-2,-40,-20},{-2,0,-20},{-1,-40,-40},{-1,0,-40},{1,-40,40},{1,0,40},{2,-40,20},{2,0,20},{4,-40,10},{4,0,10},{5,-40,8},{5,0,8},{8,-40,5},{8,0,5},{10,-40,4},{10,0,4},{20,-40,2},{20,0,2},{40,-40,1},{40,0,1}}
41        12        {{-41,-41,-1},{-41,0,-1},{-1,-41,-41},{-1,-6,1},{-1,0,-41},{-1,7,1},{1,-41,41},{1,-6,-1},{1,0,41},{1,7,-1},{41,-41,1},{41,0,1}}
42        32        {{-42,-42,-1},{-42,0,-1},{-21,-42,-2},{-21,0,-2},{-14,-42,-3},{-14,0,-3},{-7,-42,-6},{-7,0,-6},{-6,-42,-7},{-6,0,-7},{-3,-42,-14},{-3,0,-14},{-2,-42,-21},{-2,0,-21},{-1,-42,-42},{-1,0,-42},{1,-42,42},{1,0,42},{2,-42,21},{2,0,21},{3,-42,14},{3,0,14},{6,-42,7},{6,0,7},{7,-42,6},{7,0,6},{14,-42,3},{14,0,3},{21,-42,2},{21,0,2},{42,-42,1},{42,0,1}}
43        12        {{-43,-43,-1},{-43,0,-1},{-1,-43,-43},{-1,-7,-1},{-1,0,-43},{-1,6,-1},{1,-43,43},{1,-7,1},{1,0,43},{1,6,1},{43,-43,1},{43,0,1}}
44        24        {{-44,-44,-1},{-44,0,-1},{-22,-44,-2},{-22,0,-2},{-11,-44,-4},{-11,0,-4},{-4,-44,-11},{-4,0,-11},{-2,-44,-22},{-2,0,-22},{-1,-44,-44},{-1,0,-44},{1,-44,44},{1,0,44},{2,-44,22},{2,0,22},{4,-44,11},{4,0,11},{11,-44,4},{11,0,4},{22,-44,2},{22,0,2},{44,-44,1},{44,0,1}}
45        24        {{-45,-45,-1},{-45,0,-1},{-15,-45,-3},{-15,0,-3},{-9,-45,-5},{-9,0,-5},{-5,-45,-9},{-5,0,-9},{-3,-45,-15},{-3,0,-15},{-1,-45,-45},{-1,0,-45},{1,-45,45},{1,0,45},{3,-45,15},{3,0,15},{5,-45,9},{5,0,9},{9,-45,5},{9,0,5},{15,-45,3},{15,0,3},{45,-45,1},{45,0,1}}
46        16        {{-46,-46,-1},{-46,0,-1},{-23,-46,-2},{-23,0,-2},{-2,-46,-23},{-2,0,-23},{-1,-46,-46},{-1,0,-46},{1,-46,46},{1,0,46},{2,-46,23},{2,0,23},{23,-46,2},{23,0,2},{46,-46,1},{46,0,1}}
47        8        {{-47,-47,-1},{-47,0,-1},{-1,-47,-47},{-1,0,-47},{1,-47,47},{1,0,47},{47,-47,1},{47,0,1}}
48        40        {{-48,-48,-1},{-48,0,-1},{-24,-48,-2},{-24,0,-2},{-16,-48,-3},{-16,0,-3},{-12,-48,-4},{-12,0,-4},{-8,-48,-6},{-8,0,-6},{-6,-48,-8},{-6,0,-8},{-4,-48,-12},{-4,0,-12},{-3,-48,-16},{-3,0,-16},{-2,-48,-24},{-2,0,-24},{-1,-48,-48},{-1,0,-48},{1,-48,48},{1,0,48},{2,-48,24},{2,0,24},{3,-48,16},{3,0,16},{4,-48,12},{4,0,12},{6,-48,8},{6,0,8},{8,-48,6},{8,0,6},{12,-48,4},{12,0,4},{16,-48,3},{16,0,3},{24,-48,2},{24,0,2},{48,-48,1},{48,0,1}}
49        12        {{-49,-49,-1},{-49,0,-1},{-7,-49,-7},{-7,0,-7},{-1,-49,-49},{-1,0,-49},{1,-49,49},{1,0,49},{7,-49,7},{7,0,7},{49,-49,1},{49,0,1}}
50        24        {{-50,-50,-1},{-50,0,-1},{-25,-50,-2},{-25,0,-2},{-10,-50,-5},{-10,0,-5},{-5,-50,-10},{-5,0,-10},{-2,-50,-25},{-2,0,-25},{-1,-50,-50},{-1,0,-50},{1,-50,50},{1,0,50},{2,-50,25},{2,0,25},{5,-50,10},{5,0,10},{10,-50,5},{10,0,5},{25,-50,2},{25,0,2},{50,-50,1},{50,0,1}}
51        16        {{-51,-51,-1},{-51,0,-1},{-17,-51,-3},{-17,0,-3},{-3,-51,-17},{-3,0,-17},{-1,-51,-51},{-1,0,-51},{1,-51,51},{1,0,51},{3,-51,17},{3,0,17},{17,-51,3},{17,0,3},{51,-51,1},{51,0,1}}
52        24        {{-52,-52,-1},{-52,0,-1},{-26,-52,-2},{-26,0,-2},{-13,-52,-4},{-13,0,-4},{-4,-52,-13},{-4,0,-13},{-2,-52,-26},{-2,0,-26},{-1,-52,-52},{-1,0,-52},{1,-52,52},{1,0,52},{2,-52,26},{2,0,26},{4,-52,13},{4,0,13},{13,-52,4},{13,0,4},{26,-52,2},{26,0,2},{52,-52,1},{52,0,1}}
53        8        {{-53,-53,-1},{-53,0,-1},{-1,-53,-53},{-1,0,-53},{1,-53,53},{1,0,53},{53,-53,1},{53,0,1}}
54        32        {{-54,-54,-1},{-54,0,-1},{-27,-54,-2},{-27,0,-2},{-18,-54,-3},{-18,0,-3},{-9,-54,-6},{-9,0,-6},{-6,-54,-9},{-6,0,-9},{-3,-54,-18},{-3,0,-18},{-2,-54,-27},{-2,0,-27},{-1,-54,-54},{-1,0,-54},{1,-54,54},{1,0,54},{2,-54,27},{2,0,27},{3,-54,18},{3,0,18},{6,-54,9},{6,0,9},{9,-54,6},{9,0,6},{18,-54,3},{18,0,3},{27,-54,2},{27,0,2},{54,-54,1},{54,0,1}}
55        20        {{-55,-55,-1},{-55,0,-1},{-11,-55,-5},{-11,0,-5},{-5,-55,-11},{-5,0,-11},{-1,-55,-55},{-1,-7,1},{-1,0,-55},{-1,8,1},{1,-55,55},{1,-7,-1},{1,0,55},{1,8,-1},{5,-55,11},{5,0,11},{11,-55,5},{11,0,5},{55,-55,1},{55,0,1}}
56        32        {{-56,-56,-1},{-56,0,-1},{-28,-56,-2},{-28,0,-2},{-14,-56,-4},{-14,0,-4},{-8,-56,-7},{-8,0,-7},{-7,-56,-8},{-7,0,-8},{-4,-56,-14},{-4,0,-14},{-2,-56,-28},{-2,0,-28},{-1,-56,-56},{-1,0,-56},{1,-56,56},{1,0,56},{2,-56,28},{2,0,28},{4,-56,14},{4,0,14},{7,-56,8},{7,0,8},{8,-56,7},{8,0,7},{14,-56,4},{14,0,4},{28,-56,2},{28,0,2},{56,-56,1},{56,0,1}}
57        20        {{-57,-57,-1},{-57,0,-1},{-19,-57,-3},{-19,0,-3},{-3,-57,-19},{-3,0,-19},{-1,-57,-57},{-1,-8,-1},{-1,0,-57},{-1,7,-1},{1,-57,57},{1,-8,1},{1,0,57},{1,7,1},{3,-57,19},{3,0,19},{19,-57,3},{19,0,3},{57,-57,1},{57,0,1}}
58        24        {{-58,-58,-1},{-58,0,-1},{-29,-58,-2},{-29,0,-2},{-2,-58,-29},{-2,-3,1},{-2,0,-29},{-2,5,1},{-1,-58,-58},{-1,-3,2},{-1,0,-58},{-1,5,2},{1,-58,58},{1,-3,-2},{1,0,58},{1,5,-2},{2,-58,29},{2,-3,-1},{2,0,29},{2,5,-1},{29,-58,2},{29,0,2},{58,-58,1},{58,0,1}}
59        8        {{-59,-59,-1},{-59,0,-1},{-1,-59,-59},{-1,0,-59},{1,-59,59},{1,0,59},{59,-59,1},{59,0,1}}
60        48        {{-60,-60,-1},{-60,0,-1},{-30,-60,-2},{-30,0,-2},{-20,-60,-3},{-20,0,-3},{-15,-60,-4},{-15,0,-4},{-12,-60,-5},{-12,0,-5},{-10,-60,-6},{-10,0,-6},{-6,-60,-10},{-6,0,-10},{-5,-60,-12},{-5,0,-12},{-4,-60,-15},{-4,0,-15},{-3,-60,-20},{-3,0,-20},{-2,-60,-30},{-2,0,-30},{-1,-60,-60},{-1,0,-60},{1,-60,60},{1,0,60},{2,-60,30},{2,0,30},{3,-60,20},{3,0,20},{4,-60,15},{4,0,15},{5,-60,12},{5,0,12},{6,-60,10},{6,0,10},{10,-60,6},{10,0,6},{12,-60,5},{12,0,5},{15,-60,4},{15,0,4},{20,-60,3},{20,0,3},{30,-60,2},{30,0,2},{60,-60,1},{60,0,1}}

yangchuanju

太杨方程的区别与类同
太阳方程
ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=2m，
杨氏方程
ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=m，

区别：
相差一项；
右端一是2m，一是m。

类同：
整数解结构相似；当右端是偶数时解的类型（素合性）相同。

杨氏方程项数少，次数低，覆盖范围大（右端奇偶数均可）。

讨论——
杨氏方程的项数、次数还可以再少吗？
无解即素数，有解即合数总是成立的吗？
如何快速找到给定m值后的不定方程的a、c都大于2的整数解？
如何确定给定m值后的不定方程到底有没有符合条件的整数解？

太阳

方程压缩
已知:\(ac-a^2c^2m+acm^2\ne m\)，整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m＝p\)
已知:\(ac-a^2c^2m+acm^{ }=m\)，整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(y＞1\)
求证:\(m＝ty\)
无论方程怎么压缩，无法解决素数问题

太阳

yangchuanju 发表于 2025-5-11 14:04
太杨方程的区别与类同
太阳方程
ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=2m，

方程压缩到2次幂，无法解决素数问题

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-11 16:42
方程压缩
已知:\(ac-a^2c^2m+acm^2\ne m\)，整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\ ...

还念念不忘你那表达式呀！
不等式不是不定方程，谈不上有没有整数解的问题！更不能判断m是不是素数！

太阳

多项式生成素数公式不存在理由是什么？可否证明？

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-11 20:24
多项式生成素数公式不存在理由是什么？可否证明？

即便整系数不定方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=2m
或ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=m（条件：b≠0，m>0，a>2，b>2）
在没有a、c都大于2的情况下m可能是素数，
但它绝不表示ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2或ac+a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2
是生成素数的多项式！

不存在总是生成素数的多项式，如x^2+x+41除前40项是素数外，后面各项既有素数，也有合数！