太阳素数公式即已找到，为何又抛弃？

yangchuanju

太阳素数公式即已找到，为何又抛弃？
太阳先生于20250527发贴（4楼命题2）——
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
2a>c>a，c≠a+2，
整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，p>0，
求证：c=p

经笔者验证，这确实是一个不错的“素数公式”，
该不定方程的整数解都是素数解——c=5。

yangchuanju

对于太阳20250527贴的4楼命题2——
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
2a>c>a，c≠a+2，
整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，p>0，
求证：c=p

由于a≠0，c≠0，消去ac得
ac-a^2-c+2ab-bc-b=1，
ac-c-bc=a^2-2ab+b+1，
c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)

c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)
令a=3，c=(9-6b+b+1)/(3-b-1)=(10-5b)/(2-b)=5；
令a=4,5,6,7,9,10,11,12,14，c=11,19,29,41,71,89,109,131,181都是素数；
当b是大于2的任意正整数，a=3时总有c=5，是一个类似于“人类到目前为止发现的唯一一个素数公式”的太阳素数公式；
然太阳先生错过了他梦寐以求的素数公式，改在6月6日重发一套素数公式；
自我欣赏一阵子后随即宣布公式不成立；至今又过去一个星期未再见到太阳先生的新帖！

yangchuanju

对于太阳20250527贴的4楼命题2——
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
2a>c>a，c≠a+2，
整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，p>0，
求证：c=p

由于a≠0，c≠0，消去ac得
ac-a^2-c+2ab-bc-b=1，
ac-c-bc=a^2-2ab+b+1，
c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)

令a=b，c=(-b^2+b+1)/(-1)=b^2-b-1，
或令c=b^2-b+p，其中p=-1，-3，-5，-7，……，1,3,5,11,17,41，……；
各个数列中都是大量的素数，其中的太阳方程完全可与欧拉多项式媲美——

b        -1        -3        -5        -7        1        3        5        11        17        41
1        -1        -3        -5        -7        1        3        5        11        17        41
2        1        -1        -3        -5        3        5        7        13        19        43
3        5        3        1        -1        7        9        11        17        23        47
4        11        9        7        5        13        15        17        23        29        53
5        19        17        15        13        21        23        25        31        37        61
6        29        27        25        23        31        33        35        41        47        71
7        41        39        37        35        43        45        47        53        59        83
8        55        53        51        49        57        59        61        67        73        97
9        71        69        67        65        73        75        77        83        89        113
10        89        87        85        83        91        93        95        101        107        131
11        109        107        105        103        111        113        115        121        127        151
12        131        129        127        125        133        135        137        143        149        173
13        155        153        151        149        157        159        161        167        173        197
14        181        179        177        175        183        185        187        193        199        223
15        209        207        205        203        211        213        215        221        227        251
16        239        237        235        233        241        243        245        251        257        281
17        271        269        267        265        273        275        277        283        289        313
18        305        303        301        299        307        309        311        317        323        347
19        341        339        337        335        343        345        347        353        359        383
20        379        377        375        373        381        383        385        391        397        421
21        419        417        415        413        421        423        425        431        437        461
22        461        459        457        455        463        465        467        473        479        503
23        505        503        501        499        507        509        511        517        523        547
24        551        549        547        545        553        555        557        563        569        593
25        599        597        595        593        601        603        605        611        617        641
26        649        647        645        643        651        653        655        661        667        691
27        701        699        697        695        703        705        707        713        719        743
28        755        753        751        749        757        759        761        767        773        797
29        811        809        807        805        813        815        817        823        829        853
30        869        867        865        863        871        873        875        881        887        911
31        929        927        925        923        931        933        935        941        947        971
32        991        989        987        985        993        995        997        1003        1009        1033
33        1055        1053        1051        1049        1057        1059        1061        1067        1073        1097
34        1121        1119        1117        1115        1123        1125        1127        1133        1139        1163
35        1189        1187        1185        1183        1191        1193        1195        1201        1207        1231
36        1259        1257        1255        1253        1261        1263        1265        1271        1277        1301
37        1331        1329        1327        1325        1333        1335        1337        1343        1349        1373
38        1405        1403        1401        1399        1407        1409        1411        1417        1423        1447
39        1481        1479        1477        1475        1483        1485        1487        1493        1499        1523
40        1559        1557        1555        1553        1561        1563        1565        1571        1577        1601
41        1639        1637        1635        1633        1641        1643        1645        1651        1657        1681
42        1721        1719        1717        1715        1723        1725        1727        1733        1739        1763
43        1805        1803        1801        1799        1807        1809        1811        1817        1823        1847
44        1891        1889        1887        1885        1893        1895        1897        1903        1909        1933
45        1979        1977        1975        1973        1981        1983        1985        1991        1997        2021
46        2069        2067        2065        2063        2071        2073        2075        2081        2087        2111
47        2161        2159        2157        2155        2163        2165        2167        2173        2179        2203
48        2255        2253        2251        2249        2257        2259        2261        2267        2273        2297
49        2351        2349        2347        2345        2353        2355        2357        2363        2369        2393
50        2449        2447        2445        2443        2451        2453        2455        2461        2467        2491

yangchuanju

c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)
令a=3，c=(9-6b+b+1)/(3-b-1)=(10-5b)/(2-b)=5
ac-bc-c=a^2-2ab+b+1
a^2-(2b+c)*a+(b+bc+c+1)=0
B^2-4AC=4b^2+4bc+c^2-4b-4bc-4c-4=4b^2+c^2-4b-4c-4
a1=(2b+c)/2+(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2
a2=(2b+c)/2-(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2

令a=4,b=4,c=15;a=5,b=5,c=19;a=6,b=6,c=29;a=7,b=7,c=41;(a=8,b=8,c=55;)a=9,b=9,c=71;a=10,b=10,c=89;……内素数c的数量相当多；
令a=8,b=12,c=23;a=8,b=17,c=19;a=11,b=54,c=23;a=24,b=65,c=59;a=25,b=79,c=59;a=27,b=62,c=71;……也有许多素数c；
第一种情况中的素数比较多，但不都是素数，实质是a^2-a-1，类似于欧拉多项式中的素数链；
第二种情况中的a与b无直接关系，给定特定的整数a和b，c既可以是素数，也可以是合数；
不再出现a等于3，b等于任何大于2的整数时c总等于5的情况。
在b c二维表中整数a2=(2b+c)/2-(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2成一支双曲线形式，整数a=4,5,6,7,8,9……分别有2,2,3,4,6,4,……个（有限多个）。

yangchuanju

有没有不论b是何数，c总等于素数7，素数11的素数公式哪？
应该有！

令a=3，c=7=(14-7b)/(2-b)=(9-6b-b+5)/(3-b-1)；
c=(a^2-2ab-b+5)/(a-b-1)
ac-c-bc=a^2-2ab-b+5，
ac-a^2-c+2ab-bc+b=5，
a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2+abc=5ac，
至此又一个总有素数解7的不定方程被找到！

令a=5，c=7=(28-7b)/(4-b)=(25-10b+3b+3)/(5-b-1)；
c=(a^2-2ab+3b+3)/(a-b-1)
ac-c-bc=a^2-2ab+3b+3，
ac-a^2-c+2ab-bc-3b=3，
a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-3abc=3ac，
至此第二个总有素数解7的不定方程被找到！

yangchuanju

类似地令a=3，c=11=(22-11b)/(2-b)=(2*9-6b-5b+4)/(3-b-1)；
c=(2*a^2-2ab-5b+4)/(a-b-1)
ac-c-bc=2*a^2-2ab-5b+4，
ac-2*a^2-c+2ab-bc+5b=4，
a^2*c^2-2*a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2+5abc=4ac，
至此一个总有素数解11的不定方程被找到！

或令a=5，c=11=(44-11b)/(4-b)=(2*25-10b-b-5)/(5-b-1)；
c=(2*a^2-2ab-b-5)/(a-b-1)
ac-c-bc=2*a^2-2ab-b-5，
ac-2*a^2-c+2ab-bc+b=-5，
a^2*c^2-2*a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2+abc=-5ac，
至此第二个总有素数解11的不定方程被找到！

或令a=7，c=11=(66-11b)/(6-b)=(49-14b+3b+15)/(7-b-1)；
c=(a^2-2ab+3b+15)/(a-b-1)
ac-c-bc=a^2-2ab+3b+15，
ac-2*a^2-c+2ab-bc-3b=15，
a^2*c^2-2*a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-3abc=15ac，
至此第三个总有素数解11的不定方程被找到！

适当调整不定方程有关项的系数，总能凑成一个c总是素数的不定方程，并且数量多多！
太阳先生还愁找不到素数公式吗？

yangchuanju

太阳素数公式a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)，
当a=b有c=b^2-b-1，c中的素数多多——
       
b        c        分解式
3        5        prime
4        11        prime
5        19        prime
6        29        prime
7        41        prime
9        71        prime
10        89        prime
11        109        prime
12        131        prime
14        181        prime
16        239        prime
17        271        prime
20        379        prime
21        419        prime
22        461        prime
25        599        prime
27        701        prime
29        811        prime
31        929        prime
32        991        prime
36        1259        prime
39        1481        prime
40        1559        prime
42        1721        prime
45        1979        prime
46        2069        prime
47        2161        prime
49        2351        prime
51        2549        prime
54        2861        prime
55        2969        prime
56        3079        prime
57        3191        prime
60        3539        prime
61        3659        prime
65        4159        prime
66        4289        prime
67        4421        prime
69        4691        prime
71        4969        prime
77        5851        prime
84        6971        prime
86        7309        prime
87        7481        prime
90        8009        prime
94        8741        prime
95        8929        prime
97        9311        prime
101        10099        prime
102        10301        prime
104        10711        prime
115        13109        prime
116        13339        prime
121        14519        prime
126        15749        prime
127        16001        prime
131        17029        prime
132        17291        prime
135        18089        prime
139        19181        prime
141        19739        prime
142        20021        prime
145        20879        prime
146        21169        prime
149        22051        prime
150        22349        prime
154        23561        prime
155        23869        prime
156        24179        prime
159        25121        prime
160        25439        prime
161        25759        prime
164        26731        prime
165        27059        prime
170        28729        prime
172        29411        prime
175        30449        prime
177        31151        prime
181        32579        prime
182        32941        prime
185        34039        prime
187        34781        prime
189        35531        prime
192        36671        prime
194        37441        prime
196        38219        prime
197        38611        prime
200        39799        prime
204        41411        prime
207        42641        prime
210        43889        prime
216        46439        prime
219        47741        prime
220        48179        prime
221        48619        prime
226        50849        prime
231        53129        prime
232        53591        prime
234        54521        prime
237        55931        prime
241        57839        prime
242        58321        prime
245        59779        prime
247        60761        prime
249        61751        prime
259        66821        prime
260        67339        prime
264        69431        prime
265        69959        prime
266        70489        prime
269        72091        prime
282        79241        prime
286        81509        prime
289        83231        prime
291        84389        prime
295        86729        prime
297        87911        prime
299        89101        prime
302        90901        prime
304        92111        prime
306        93329        prime
307        93941        prime
310        95789        prime
315        98909        prime
320        102079        prime
324        104651        prime
331        109229        prime
332        109891        prime
336        112559        prime
340        115259        prime
344        117991        prime
350        122149        prime
351        122849        prime
352        123551        prime
355        125669        prime
359        128521        prime
361        129959        prime
362        130681        prime
365        132859        prime
374        139501        prime
375        140249        prime
379        143261        prime
381        144779        prime
386        148609        prime
387        149381        prime
392        153271        prime
394        154841        prime
396        156419        prime
397        157211        prime
402        161201        prime
406        164429        prime
409        166871        prime
419        175141        prime
420        175979        prime
421        176819        prime
424        179351        prime
429        183611        prime
432        186191        prime
434        187921        prime
446        198469        prime
449        201151        prime
450        202049        prime
451        202949        prime
454        205661        prime
456        207479        prime
457        208391        prime
462        212981        prime
464        214831        prime
469        219491        prime
472        222311        prime
474        224201        prime
475        225149        prime
476        226099        prime
479        228961        prime
482        231841        prime
487        236681        prime
491        240589        prime
495        244529        prime
496        245519        prime
497        246511        prime
500        249499        prime
501        250499        prime
502        251501        prime
505        254519        prime
507        256541        prime
511        260609        prime
512        261631        prime
516        265739        prime
519        268841        prime
520        269879        prime
529        279311        prime
531        281429        prime
542        293221        prime
545        296479        prime
549        300851        prime
550        301949        prime
551        303049        prime
552        304151        prime
561        314159        prime
562        315281        prime
570        324329        prime
572        326611        prime
574        328901        prime
579        334661        prime
582        338141        prime
589        346331        prime
590        347509        prime
592        349871        prime
595        353429        prime
596        354619        prime
597        355811        prime
599        358201        prime
605        365419        prime
607        367841        prime
611        372709        prime
617        380071        prime
619        382541        prime
625        389999        prime
626        391249        prime
630        396269        prime
634        401321        prime
640        408959        prime
641        410239        prime
645        415379        prime
647        417961        prime
649        420551        prime
652        424451        prime
655        428369        prime
656        429679        prime
660        434939        prime
669        446891        prime
671        449569        prime
674        453601        prime
677        457651        prime
684        467171        prime
687        471281        prime
692        478171        prime
694        480941        prime
696        483719        prime
700        489299        prime
706        497729        prime
707        499141        prime
709        501971        prime
710        503389        prime
716        511939        prime
717        513371        prime
721        519119        prime
725        524899        prime
729        530711        prime
740        546859        prime
744        552791        prime
747        557261        prime
751        563249        prime
754        567761        prime
755        569269        prime
762        579881        prime
764        582931        prime
766        585989        prime
770        592129        prime
777        602951        prime
780        607619        prime
781        609179        prime
782        610741        prime
787        618581        prime
795        631229        prime
799        637601        prime
804        645611        prime
805        647219        prime
810        655289        prime
815        663409        prime
816        665039        prime
817        666671        prime
826        681449        prime
834        694721        prime
839        703081        prime
846        714869        prime
849        719951        prime
857        733591        prime
864        745631        prime
874        763001        prime
882        777041        prime
885        782339        prime
886        784109        prime
890        791209        prime
891        792989        prime
902        812701        prime
907        821741        prime
916        838139        prime
922        849161        prime
924        852851        prime
926        856549        prime
931        865829        prime
940        882659        prime
942        886421        prime
945        892079        prime
947        895861        prime
951        903449        prime
956        912979        prime
957        914891        prime
964        928331        prime
966        932189        prime
967        934121        prime
969        937991        prime
975        949649        prime
977        953551        prime
982        963341        prime
985        969239        prime
990        979109        prime
995        989029        prime
997        993011        prime
999        997001        prime

2        1        ——
8        55        5*11
13        155        5*31
15        209        11*19
18        305        5*61
19        341        11*31
23        505        5*101
24        551        19*29
26        649        11*59
28        755        5*151
30        869        11*79
……

yangchuanju

在b等于3--1000以内有311个素数，素数分率31%，
比1000以内有168个素数，素数分率16.8%几乎大一倍！
特别是在开头处，出现5个、4个连续素数！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2025-6-13 21:48
c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)
令a=3，c=(9-6b+b+1)/(3-b-1)=(10-5b)/(2-b)=5
ac-bc-c=a^2-2ab+b+1

视太阳20250527命题为a的一元二次方程方程再解之，
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
由于a≠0，c≠0，消去ac得
ac-a^2-c+2ab-bc-b=1，
a^2-(2b+c)*a+(b+bc+c+1)=0
B^2-4AC=4b^2+4bc+c^2-4b-4bc-4c-4=4b^2+c^2-4b-4c-4
a1=(2b+c)/2+(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2
a2=(2b+c)/2-(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2
在b c二维表中整数a2=(2b+c)/2-(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2成一支双曲线形式，整数a=4,5,6,7,8,9……分别有2,2,3,4,6,4,……个（有限多个）。
a2        个数
4        2
5        2
6        3
7        4
8        6
9        4
10        4
11        6
12        8
13        4
14        4
15        12
16        8
17        4
18        8
19        8
20        8
21        8
22        4
23        8
24        18
25        6
26        4
27        15
28        12
29        4
30        10
31        8
32        10
33        12
34        4
35        20
36        16
37        4
38        8
39        16
40        12
41        4
42        12
43        12
44        8
45        16
……

yangchuanju

在b c二维表中整数a2=(2b+c)/2-(4b^2+c^2-4b-4c-4)^0.5/2成一支双曲线形式，整数a=4,5,6,7,8,9……分别有2,2,3,4,6,4,……个（有限多个）。                       
不同整数解中c的素性——                       
a        b        c        c素性
4        4        11        素
4        5        9        合
5        5        19        素
5        9        11        素
6        6        29        素
6        8        17        素
6        14        13        素
7        7        41        素
7        8        27        合
7        13        17        素
7        20        15        合
8        8        55        合
8        9        35        合
8        11        25        合
8        12        23        素
8        17        19        素
8        27        17        素
9        9        71        素
9        11        35        合
9        17        23        素
9        35        19        素
10        10        89        素
10        14        33        合
10        16        29        素
10        44        21        合
11        11        109        素
11        12        65        合
11        14        43        素
11        21        29        素
11        32        25        合
11        54        23        素
12        12        131        素
12        13        77        合
12        14        59        素
12        17        41        素
12        20        35        合
12        29        29        素
12        38        27        合
12        65        25        合
13        13        155        合
13        17        51        合
13        25        35        合
13        77        27        合
14        14        181        素
14        20        49        合
14        24        41        素
14        90        29        素
……