a,b,c＞0，ac≠1，b=(a+c)／(1-ac)，求 1／(a^2+1)-1／(b^2+1)+1／(c^2+1) 的最大值

波斯猫猫

这题怎么解？(可以这么解)

这题怎么解？来源  张广林数学角  2025 年 05 月 27 日 20:51  江西

（本论坛数学期刊 luyuanhong教授发表于 2025-6-26 00:31 ）

题：设a,b,c是正实数，b=(a+c)/(1-ac)  (ac≠1)，

则1/(a^2+1)-1/(b^2+1)+1/(c^2+1)的最大值为（）.

思路：扣题材，不发挥，原汁原味，简洁明快.

由b=(a+c)/(1-ac)，易得b^2+1=(a^2+1)(c^2+1)/(1-ac)^2.

则1/(a^2+1)-1/(b^2+1)+1/(c^2+1)

=(a^2+c^2+2)/(a^2+1)(c^2+1)-(1-ac)^2/(a^2+1)(c^2+1)

=1+2ac(1-ac)/(a^2+1)(c^2+1)≤1+2ac(1-ac)/(ac+1)^2.

令x=ac，则由x(1-x)/(x+1)^2=t，有(t+1)x^2+(2t-1)x+t=0，

易解得t≤1/8，即ac(1-ac)/(ac+1)^2≤1/8.

故1/(a^2+1)-1/(b^2+1)+1/(c^2+1)≤5/4.

luyuanhong

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波斯猫猫

方法得当，易如反掌。
方法失当，累得够呛。