辐边总和公式

朱明君

辐边总和公式，
适用于由外向内两层及两层以上环+中心区域结构的标准二维平面图，计算辐边总和时，每一个轮构型的辐边独立计算后相加，
二维平面图中，除外围节点外，围内每一个节点都是轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加，
公式目的是将二维平面图转换成单中心轮图简化着色，二维平面图着色难，单中心轮图着色易，仅需4种颜色，且原图与新图结构功能等价。
①标准二维平面图，
设n为节点个数，n≥4，
m为外围节点个数，m≥2，
d为由外向内第二层环上节点个数，d≥2，
w为辐边个数，w≥6，
则基础公式w=6（n-m-1）+（m-d）
若m=d，则w=6（n-m-1）
若m=d=3，则w=6（n-4）

朱明君

辐边总和公式简化证明

1.公式与核心解析
公式： w = 6(n - m - 1) + (m - d)
约束： n ≥ 4 （总节点）， m ≥2 （外围）， d ≥2 （第二层）， w ≥6 。

系数6：源自最小结构（ n=4, m=d=2 ），内部2节点各3条辐边，总和6。
减1：内部节点共 n-m 个，减1个中心基准节点，仅算剩余节点贡献。

2.验证

最小结构： n=4, m=2, d=2 ， 6×(4-2-1)+(2-2)=6 ，与实际一致 。
多层开放： n=20, m=2, d=12 ， 6×17+(2-12)=92 ，合理。
闭合环： n=6, m=3, d=3 ， 6×2+0=12 （理论最大值）。

3.结论
公式在 m,d ≥ 2 下成立，系数6与减1对应结构基准，可将平面图转为单中心轮图（4色可染）。 n=20, m=2, d=12 时， w=92 正确。

朱明君

②，一，非标准二维平面图（含孔洞），
由外向内两层及以上环+中心区域结构，孔洞为边数≥4的多边形。
修正项：
外围孔洞z=N-3v（N为外围孔洞边数和，v为个数），
围内孔洞z=2(N-3v)（N为围内孔洞边数和，v为个数）。
则w=6(n-m-1)+(m-d)-[(N-3v)+2(N-3v)]/

朱明君

二，单层外围环+中心区域结构（含孔洞）
以三边形为模，理论值 e=2d-3 （ d 为围内节点数， a 为围内节点实际连接边数）。
修正项 z ： e<a 则 +z ， e>a 则 -z ， e=a 则 z=0 。

公式： 6(n-m-1)+(m-d)±z-[(N-3v)+2(-3v)]



三，多面体：经展开、剪面、透视、三角剖分转为二维平面图。

- 双环+中心区域：用基础公式；
- 单层环+中心区域：用基础公式±修正项z；
- 无外围环：添加双层虚拟环（总节点6，每层3），公式 w=6(n-4) 。

朱明君

四，标准和非标准二维平面图，均可添加双层虚拟环（总节点6，每层3个），以简化计算。

朱明君

五，对于只有一层外环+中心区结构的二维平图（含孔洞）
公式可简化为w=n+3d-4±z-[（N-3v）+2（N-3v）]，其中d为围内节点个数
以树型为模，理论值e=b-1，（ d 为围内节点数， a 为围内节点实际连接边数）。
修正项 z ： e<a 则 +z ， e>a 则 -z ， e=a 则 z=0 。

朱明君

五，单层或多层外环+中心区结构的二维平面图（含孔洞）
公式简化为： w = n + 3d - 4 ± z - [(N - 3v) + 2(N - 3v)] （ d 为围内节点数）。

以树型为模，理论值 e = d - 1 （ d 为围内节点数， a 为实际连接边数）。
修正项 z ： e < a 则 +z ， e > a 则 -z ， e = a 则 z = 0 。