\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

平方剩余奇质数问题

设 \(4d+1\) 是奇质数，且 \(4d+1\) 不为 \(1+4^r*(2t+1)^2\) ，

设 \(n^2\)  \(mod\)  \((4d+1)=\)  \(p\) 是奇质数，

若 \(2*(4d+1)*k -p\) 是质数 或 \(2*(4d+1)*k+p\) 是质数，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±p\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k -p)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k+p)\) 必有正整数解，，



模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .



设 奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

蔡家雄

素数等差数列 与 蔡家雄猜想

设 2 <= 2k <= 2n，

素数等差数列AP(2n+2) 的前2k项 及 存在一个更大的素数 P，构造成

同邻距的(2k+1)生素数（4k+2元素数组），

且前一组(2k+1)生素数之和是后一组(2k+1)生素数的首项，

AP13=4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663.

前一组（ 4943, 65003, 200323 ）都是素数，

后一组（ 270269, 330329, 465649 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 214031 ）都是素数，

后一组（ 594163, 654223, 714283, 774343, 803251 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 442973 ）都是素数，

后一组（ 1373531, 1433591, 1493651, 1553711, 1613771, 1673831, 1811561 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 1300843 ）都是素数，

后一组（ 3022067, 3082127, 3142187, 3202247, 3262307, 3322367, 3382427, 3442487, 4317967 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 2103953 ）都是素数，

后一组（ 4856083, 4916143, 4976203, 5036263, 5096323, 5156383, 5216443, 5276503, 5336563, 5396623, 6955093 ）都是素数。


以上，前一组的最后两个素数的间距跳跃 = 后一组的最后两个素数的间距跳跃，有时是小跳跃，有时是大跳跃 #

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 10 是模素数 120k+29 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wf102b768c9ce2079

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

https://www.doubao.com/thread/w78c5d9dc72f6657c

蔡家雄

同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

任意 固定 同邻距的三生素数（六元素数组），只要有一个解，就必有：无穷多个解 ！！！


同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，


(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48179, 48589)



同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

蔡家雄猜想：对任一大于5的素数 p，

同邻距的三连三生素数，有 无穷多组（九元素数组）的解。

设 0 < a < b 是偶数，

当 p 是定数 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


同邻距的五生素数（十元素数组），

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

（ 13，17，19，23，4441，4513，4517，4519，4523，8941 ）

（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

（ 19，23，29，31，127，229，233，239，241，337 ）


同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组），

且前一组2k+1生素数之和是后一组2k+1生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组）有 无穷多组解。


同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 11，13，17，19，23，29，1068589 ）

后一组（ 1068701，1068703，1068707，1068709，1068713，1068719，2137279 ）


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 910935731 ）

后一组（ 910935911, 910935913, 910935917, 910935919, 910935923, 910935929, 910935931, 910935937, 1821871631 ）


同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 97，101，103，107，109，113，10m+7 ）

后一组（ 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）

求解如下，

在 m < 10^8 以内，求：八生素数的解，

（ 10m+7, 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）都是素数，

|  组号 | m 值        | 10m+7       | 10m+637     | 10m+641     | 10m+643     | 10m+647     | 10m+649     | 10m+653     | 20m+547       |
| :-: | :--------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :------------ |
|  1  | 1,542      | 15,427      | 16,057      | 16,061      | 16,063      | 16,067      | 16,069      | 16,073      | 31,387        |
|  2  | 195,372    | 1,953,727   | 1,954,357   | 1,954,361   | 1,954,363   | 1,954,367   | 1,954,369   | 1,954,373   | 3,907,987     |
|  3  | 339,957    | 3,399,577   | 3,400,207   | 3,400,211   | 3,400,213   | 3,400,217   | 3,400,219   | 3,400,223   | 6,799,687     |
|  4  | 1,451,991  | 14,519,917  | 14,520,547  | 14,520,551  | 14,520,553  | 14,520,557  | 14,520,559  | 14,520,563  | 29,040,367    |
|  5  | 2,500,878  | 25,008,787  | 25,009,417  | 25,009,421  | 25,009,423  | 25,009,427  | 25,009,429  | 25,009,433  | 50,018,107    |
|  6  | 25,769,844 | 257,698,447 | 257,699,077 | 257,699,081 | 257,699,083 | 257,699,087 | 257,699,089 | 257,699,093 | 515,397,427   |
|  7  | 36,005,349 | 360,053,497 | 360,054,127 | 360,054,131 | 360,054,133 | 360,054,137 | 360,054,139 | 360,054,143 | 720,107,527   |
|  8  | 51,651,777 | 516,517,777 | 516,518,407 | 516,518,411 | 516,518,413 | 516,518,417 | 516,518,419 | 516,518,423 | 1,033,036,087 |
|  9  | 59,112,972 | 591,129,727 | 591,130,357 | 591,130,361 | 591,130,363 | 591,130,367 | 591,130,369 | 591,130,373 | 1,182,259,987 |
|  10 | 61,530,576 | 615,305,767 | 615,306,397 | 615,306,401 | 615,306,403 | 615,306,407 | 615,306,409 | 615,306,413 | 1,230,612,067 |
|  11 | 71,443,479 | 714,434,797 | 714,435,427 | 714,435,431 | 714,435,433 | 714,435,437 | 714,435,439 | 714,435,443 | 1,428,870,127 |
|  12 | 75,929,730 | 759,297,307 | 759,297,937 | 759,297,941 | 759,297,943 | 759,297,947 | 759,297,949 | 759,297,953 | 1,518,595,147 |
|  13 | 76,350,192 | 763,501,927 | 763,502,557 | 763,502,561 | 763,502,563 | 763,502,567 | 763,502,569 | 763,502,573 | 1,527,004,387 |


同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =7 时，求 十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

|  组别  |    三生素数                       |      间隔        |
| :-----: | :-------------------------- | :------------: |
| 第1组 | $(7, 193, 2447)$              | $186, 2254$ |
| 第2组 | $(2647, 2833, 5087)$      | $186, 2254$ |
| 第3组 | $(10567, 10753, 13007)$ | $186, 2254$ |
| 第4组 | $(34327, 34513, 36767)$ | $186, 2254$ |

同邻距四连三生素数，
第1组：( 7, 241, 1319 ) ，              间距 ( 234, 1078 )
第2组：( 1567, 1801, 2879 ) ，      间距 ( 234, 1078 )
第3组：( 6247, 6481, 7559 ) ，      间距 ( 234, 1078 )
第4组：( 20287, 20521, 21599 ) ，间距 ( 234, 1078 )


同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =23 时，求 十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

十二元素数组: [23, 163, 7247, 7433, 7573, 14657, 29663, 29803, 36887, 96353, 96493, 103577]

十二元素数组: [23, 347, 1543, 1913, 2237, 3433, 7583, 7907, 9103, 24593, 24917, 26113]

十二元素数组: [23, 1097, 1423, 2543, 3617, 3943, 10103, 11177, 11503, 32783, 33857, 34183]

十二元素数组: [23, 6373, 8753, 15149, 21499, 23879, 60527, 66877, 69257, 196661, 203011, 205391]


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 588272021 ）

后一组（ 588273221, 588273223, 588273227, 588273229, 588273311, 588273313, 588273317, 588273319, 1176545141 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 1857511181 ）

后一组（ 1857512381, 1857512383, 1857512387, 1857512389, 1857512471, 1857512473, 1857512477, 1857512479, 3715023461 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 3581921141 ）

后一组（ 3581922341, 3581922343, 3581922347, 3581922349, 3581922431, 3581922433, 3581922437, 3581922439, 7163843381 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 6492181571 ）

后一组（ 6492182771, 6492182773, 6492182777, 6492182779, 6492182861, 6492182863, 6492182867, 6492182869, 12984364241 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 7035374501 ）

后一组（ 7035375701, 7035375703, 7035375707, 7035375709, 7035375791, 7035375793, 7035375797, 7035375799, 14070750101 ）


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669，2088614537 ）都是素数，

后一组（ 2088622009, 2088622219, 2088622429, 2088622639, 2088622849, 2088623059, 2088623269, 2088623479, 4177236347 ）


素数等差数列 与 Cai 问题，

同邻距的十一生素数（二十二元素数组），

且前一组十一生素数之和是后一组十一生素数的首项，

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 2103953 ）都是素数，

后一组（ 4856083, 4916143, 4976203, 5036263, 5096323, 5156383, 5216443, 5276503, 5336563, 5396623, 6955093 ）都是素数。


素数等差数列 与 蔡家雄猜想

素数等差数列AP(2k+2) 的前2k项 及 存在一个更大的素数 P，构造成

同邻距的(2k+1)生素数（4k+2元素数组），

且前一组(2k+1)生素数之和是后一组(2k+1)生素数的首项，


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 50943795±2，50943795±4，50943795±8，50943795±16，是中心对称 8生连续素数，p = 6211603529 ）

后一组（ 6619153905±2，6619153905±4，6619153905±8，6619153905±16，是中心对称 8生连续素数，q=12779813639 ）

前一组（ 50943779, 50943787, 50943791, 50943793, 50943797, 50943799, 50943803, 50943811, 6211603529 ）

后一组（ 6619153889, 6619153897, 6619153901, 6619153903, 6619153907, 6619153909, 6619153913, 6619153921, 12779813639 ）

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wce01dec41eb9bfed

蔡家雄

设 n 为正整数，

若 2*10^n+29 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 8*10^n+17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 4*10^n+19 是素数，则 10 是这个素数的原根。



若 2*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 2*10^n - 153 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 8*10^n - 19 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 57 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 63 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 4*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 11 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 23 是素数，则 10 是这个素数的原根。



若 16^k+3 是素数，则 10 是素数 16^k+3 的原根。

若 16^k+7 是素数，则 10 是素数 16^k+7 的原根。

若 16^k+13 是素数，则 10 是素数 16^k+13 的原根。

若 16^k+31 是素数，则 10 是素数 16^k+31 的原根。

若 16^k+81 是素数，则 10 是素数 16^k+81 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w3279f93c3b340ac0

蔡家雄

蔡氏完全循环节等差九生素数有无穷多组 以及 AI 的分析，

10是如下等差9生素数(公差9240)的原根，即：这些素数倒数具有最大循环节长！！！

1---(95339,104579,113819,123059,132299,141539,150779,160019,169259)

2---(7827167,7836407,7845647,7854887,7864127,7873367,7882607,7891847,7901087)

3---(9195167,9204407,9213647,9222887,9232127,9241367,9250607,9259847,9269087)

4---(32288903,32298143,32307383,32316623,32325863,32335103,32344343,32353583,32362823)

5---(59941697,59950937,59960177,59969417,59978657,59987897,59997137,60006377,60015617)

6---(72980177,72989417,72998657,73007897,73017137,73026377,73035617,73044857,73054097)

7---(77003567,77012807,77022047,77031287,77040527,77049767,77059007,77068247,77077487)

8---(121526753,121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673)

9---(121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673,121609913)

10---(171184589,171193829,171203069,171212309,171221549,171230789,171240029,171249269,171258509)

—— AI 的分析：https://www.doubao.com/thread/wccef73d8fb76ce31