解方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1 ，求 x 的实数解

波斯猫猫

wilsony

   挺难的。

luyuanhong

波斯猫猫

方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1 ，
即(12/a)^(1/2)+(16/a)^(1/3)+(27/a)^(1/4)=1就
是基本不等式与待定系数法一题(本论坛数学期刊)解
答过程中需解的方程，遗憾的是没有过程，只给出了
解a=16×27(a是待定系数).

Ysu2008

奥林匹克运动会比赛题……

波斯猫猫

题：解方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1.

思路：令(27x)^(1/4)=a＞0，则x=a^4/27,

且12x=4a^4/9，16x=16a^4/27,故原方程化为

2a^2/3+2a(2a)^(1/3)/3+a=1，

即2a^2+2a(2a)^(1/3)+3a=3，或

(2a)^2+2(2a)(2a)^(1/3)+3(2a)=6，

令t=(2a)^(1/3)＞0，则有t^6+2t^4+3t^3-6=0，

即(t-1)(t^5+t^4+3t^3+6t^2+6t+6)=0.

∴ t=1，a=1/2，x=a^4/27=1/(16×27)=1/432.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：解方程 (12x)^(1/2)+(16x)^(1/3)+(27x)^(1/4)=1.

思路：令x=a^2/(16×27) (a＞0)，则原方程可化为

a/6+a^(2/3)/3+a^(1/2)/2=1.

令a=t^6，(t＞0)，则有t^6/6+t^4/3+t^3/2=1，

即t^6+2t^4+3t^3-6=0，

即(t-1)(t^5+t^4+3t^3+6t^2+6t+6)=0.

∴ t=a=1，x=a^2/(16×27)=1/(16×27)=1/432.