独步百丈台：陈省身如何接过嘉当的智慧之火

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独步百丈台：陈省身如何接过嘉当的智慧之火

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 11 月 10 日 11:41  广东

在数学的璀璨星河中，总有一些思想如同沉睡的火种，等待着能够辨识其光芒的传人，将其点燃，终成燎原之势。

二十世纪微分几何的发展，正是这样一段关于智慧之火传递的动人传奇。这团火焰，由法国数学大师埃利·嘉当在静默中点燃，最终被一位来自东方的年轻学者陈省身接过，照亮了整个现代数学的版图。



物理学家杨振宁提出的“欧高黎嘉陈”诗句，不仅是对几何学五位伟人——欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身——的排序，更是对这段跨越国界与时代的师生传承最精炼的诠释。正如数学史家张奠宙所言：“就 20 世纪而言，E. 嘉当和陈省身无疑是两位最杰出的几何学家。”



第一幕：孤光自照——嘉当与他超越时代的智慧

法国数学家埃利·嘉当（1869-1951）的传奇始于法国阿尔卑斯山脚下多洛姆厄村的一间铁匠铺。作为铁匠之子，锤砧交鸣的韵律或许早已在他心中埋下了对结构与对称的最初理解。这位来自山村的少年，因幼年时的天才表现被政治家 D. 安东尼赏识而获奖学金，1888 年进入巴黎高等师范学校，一步步走进数学殿堂，最终登上了巴黎大学的讲台。然而，他的学术道路始终伴随着不为人知的孤独。



在函数论盛行的年代，嘉当的研究以其高度的抽象性和原创性而独树一帜。他提出的外微分形式与活动标架法，虽然为后世的数学革命奠定了坚实基础，却因思想的超前和表达的艰深而长期未被理解。他一生写了 9 本书、186 篇论文，正如陈省身后来评价：“作品的难读是出名的，当然这也从一个侧面反映出了他的工作具有高度的原创性与深刻性。”他的论文在长达三十年的时间里，引用寥寥，知音难觅。

直到 1931 年，62 岁的这位数学巨匠才当选法国科学院院士——这团智慧之火，因其过于耀眼而只能在时代的边缘静静燃烧。陈省身分析道：“这固然和嘉当本人的谦逊有关，也和 20 世纪初法国数学界的主流局限于函数论不无关联。”

嘉当的学术工作室宛如一位炼金术士的实验室，他在其中锻造着理解空间本质的全新工具。活动标架法让几何学家得以摆脱固定坐标系的束缚，获得如同几何之眼般的自由视角；外微分形式则以其优雅的代数语言，精确描述着空间中的微妙变化。这些开创性工具在李群与微分方程研究中展现出惊人力量，但在当时，能够真正理解并运用者屈指可数。

更令人动容的是，这位数学大师的日常生活始终保持着山民般的质朴。他的学生回忆说，嘉当经常骑着一辆破旧的自行车穿梭于巴黎街头，衣着朴素得让人难以将他与那些改变数学进程的深邃思想相联系。即使在当选院士后，他依然保持着谦逊的本色。

二战期间，他的家庭遭受了巨大不幸。他的幼子路易·嘉当——普瓦捷大学的数学物理教授，因参加法国抵抗运动于 1943 年 2 月被纳粹逮捕，同年 12 月 3 日与其他 9 名抵抗成员一同被处决。这一沉重打击让晚年的嘉当更加沉默。1945 年，他在给陈省身的信中写道：“他遗下了三个 9 岁、6 岁和 4 岁的孩子，尽管孩子的妈妈非常坚强，但她毕竟要面对一副沉重的担子。”然而，即使在最黑暗的时刻，他依然用理性的光芒对抗现实的残酷，让智慧之火在时代边缘持续燃烧，静静等待着能够理解其价值的传人。



第二幕：薪火相传：巴黎楼梯间的相遇与双周之约

1936 年 10 月，巴黎秋意正浓。25 岁的中国数学家陈省身怀揣着对几何学的炽热理想，从德国汉堡来到这座数学之都。此时的他已在汉堡几何学派的领袖布拉施克指导下获得博士学位，并完成了一项关于网几何的工作，但他清醒意识到“最好的几何学家是嘉当”，尽管在 30 年代，“嘉当的工作很少人能理解，被认为超越时代”。



初到巴黎的日子并不轻松。陈省身后来回忆：“我的法文不好，而嘉当的工作很深奥，一开始我很困难。”语言障碍和文化差异如同无形壁垒，横亘在这位东方学子与西方数学传统之间。更让他忐忑的是，嘉当布置的首个关于网络几何的问题，涉及复杂的积分理论，竟让他一时无从下手。

命运的转折发生在庞加莱研究所那古朴的楼梯间。因解不出问题而刻意回避导师两周的陈省身，在这里与嘉当不期而遇。“为什么好久不见？”嘉当温和的问话中透着真诚关切。这句简单问候，瞬间融化了师徒之间的隔阂。陈省身坦诚诉说了自己的困境，而嘉当的回应是邀请这位年轻学者开始定期的家中访问。

从此，每两周一次的数学茶会成为陈省身在巴黎最重要的日程。他总是提前将问题与思考用工整法文悉心准备，列出清晰的问题清单。而嘉当则会泡上一壶茶，在书房的煤油灯下耐心解答。这些深入谈话常常持续两三个小时，从具体数学问题延伸到更宏大的几何哲学。



更令人感动的是，每次谈话后的第二天，陈省身总会收到嘉当的亲笔信，补充前一日讨论的新思考——这种超越常规的指导方式，在陈省身十个月的巴黎访学期间从未间断。

陈省身回忆道：“嘉当是个慈祥的人，待人真诚有礼。我的法文不好，每次见他，我总把结果和问题写好，他的答复我听得懂。我们的双周谈话后，第二天往往接他的信，告我讨论后他的一些新想法。可以想见，这段时间我的工作是很紧张的。”这种将复杂问题抽象为基本结构的思维方式，成为陈省身日后开创性工作的方法论基石。

他解决的第一个问题于 1938 年发表在《云南大学学报》上。这段持续十个月的巴黎时光，不仅完成了一次数学思想的深刻传递，更谱写了一曲跨越文化与年龄的学术知音传奇。



第三幕：星火燎原：普林斯顿的突破与独步百丈台的意境

1943 年 8 月，第二次世界大战正酣，普林斯顿高等研究院在战火中成为了世界数学的诺亚方舟。32 岁的陈省身应美国数学界领袖维布伦之邀来到普林斯顿，带着从嘉当那里继承的智慧火种，准备在数学星空中点燃属于自己的璀璨火焰。陈省身后来回忆：“那时普林斯顿的经费很少，战争又正在进行，请人是很困难的。他们不但对我的研究感兴趣，也因为我是一个中国人。”

他的突破始于对高斯-博内公式的深刻反思。这个公式在二维情形下已由高斯和博内证明，精妙地描述了曲面曲率与拓扑性质之间的内在联系。但在高维情形下，问题变得异常复杂。大拓扑学家霍普夫早在 1925 年就预言：“高斯-博内公式在高维的推广是最重要的也是最困难的问题。”当时的数学家如韦伊和艾伦多弗虽然取得了一定进展，但他们的证明都依赖于将流形嵌入更高维欧氏空间的外部方法。陈省身敏锐地意识到，真正优美的证明应该是内蕴的——只依赖于流形自身的本质特性。

借助从嘉当那里学到的向量丛理论与外微分技巧，他构建了一个全新的证明框架。他引入的单位切向量丛如同为流形配备了一副内在眼镜，而外尔、艾伦多弗和韦伊所处理的都是一种非内蕴的球丛。这一截然不同的路径，导致了高斯-博内公式的彻底解决。这个证明的优美之处在于，它将局部几何性质与整体拓扑不变量通过一个简洁的积分公式完美联系，揭示了几何与拓扑之间深刻的内在统一性。

当这一证明问世时，整个数学界都为之震撼。数学大师外尔在读到这篇论文后由衷赞叹：“这才是几何学应该有的样子。”

但陈省身的贡献远不止于此。在证明高斯-博内公式的过程中，他发现了一组更基本的数学对象——陈示性类。这些拓扑不变量如同空间的基因密码，决定了纤维丛的整体结构。特别值得注意的是，陈省身将目光聚焦在复向量丛上，这一选择充分体现了他卓越的数学眼光。他解释道：“主要的示性类有三种……问题恰恰在于我所处理的是复向量丛。复数是一个神奇的领域……复丛比实丛来得简单。”

陈示性类的出现很快引发了多米诺骨牌效应。在代数几何中，它们成为研究代数簇分类的基本工具；在拓扑学中，它们帮助解决了若干悬而未决的难题；更令人惊叹的是，在理论物理学中，杨-米尔斯规范场论的研究者们发现，陈示性类恰好描述了某些基本物理场的拓扑性质。这种跨领域的深远影响，完美印证了陈省身经常强调的观点：“好的数学应该是有用的。”


杨武之

在这个创造力的巅峰时期，陈省身体验到了恩师杨武之诗中“独步遥登百丈台”的意境。他解释道：“杨武之先生赠诗予我说‘独步遥登百丈台’，实道出一种心境。”这七个字不仅描绘了数学家孤独探索的心境，更暗含了对嘉当智慧的创造性转化——他站在巨人的肩膀上，却看到了更远处的风景。

第四幕：火种绵延：眼光、传承与未尽的旅程

陈省身的传奇不仅在于他的数学成就，更在于他独特的学术眼光和育人智慧。他深信：“数学家要能分辨好数学和坏数学，或者不大好的数学。譬如读诗看画，有些伟大的作品，令人百读百看不厌，投地拜服。数学工作亦是如此。”

他的战略眼光体现在对数学发展趋势的精准把握上。当多数人还在局部微分几何的精细结果中深耕时，他已经将目光投向了整体微分几何的未来。他回忆道：“从微分几何走向整体是一个自然的步骤。但要能走这一步，必须做好工具的准备。我很早就注意代数拓扑的作用。”这种超凡远见使他在 1940 年代就预见到纤维丛理论的重要性，并在 1950 年代推动复几何的蓬勃发展。

作为学派领袖，陈省身在伯克利期间（1960 年起）展现出独特的育人风格。他指导了超过 40 位博士生，但从不将自己的想法强加给学生。相反，他善于发现每个人的特长，鼓励他们寻找属于自己的研究方向。他的学生丘成桐深情地回忆：“陈先生从不给我们现成的题目，而是教我们如何提出好的问题。”这种开放式的指导方式，培养出了一批各具特色的几何学家，形成了富有活力的伯克利几何学派。

晚年的陈省身将更多精力投入到中国数学的发展中。1984 年，他受聘为南开数学研究所所长（后更名为陈省身数学研究所），开创了著名的陈省身模式：立足中国，面向世界。他亲自设计课程体系，邀请国际一流学者来华讲学，并积极推动中国学者参与国际交流。

更令人感动的是，即便在耄耋之年，他仍然坚持亲自授课，与年轻学子讨论最新进展。他曾动情地说：“中国数学的未来在年轻人身上，我要为他们铺路。”他对中国数学的未来充满信心：“总的来说很乐观，因为年轻人上得很快。海峡两岸都是如此……中国成为‘21 世纪数学大国’的愿望，能实现吗？‘数学大国’并不是要‘雄踞全球’、‘征服一切’，只要能在中国本土上建立起数学队伍，与国外数学家进行平等的、独立的交往就好了。”



2002 年，国际数学家大会在北京召开，这是百年来首次在发展中国家举办的数学盛会。91 岁高龄的陈省身坐在轮椅上出席开幕式，见证了中国数学与世界接轨的这一历史性时刻。四年后，他长眠于南开园，墓碑上刻着他最喜爱的数学公式——高斯-博内定理的最优美形式。这个公式不仅凝聚了他一生的智慧，更象征着几何学中局部与整体的完美统一，见证着从嘉当到陈省身的智慧之火，如何在跨越时空的传承中，照亮了整个数学的世界。



南方 Er