趣味几何－正多边形的性质

ccmmjj · 发表于 2015-4-1 07:18

如左图，是一个圆内接正三角形ABC，D是外接圆BC弧上一点，则有DB+DC＝DA。
这是经典的初中几何证明题，可如图作虚线BE，使三角形DSE是正三角形，并证明三角形AEB全等于三角形CDB。
如右图，是一个圆内接正五边形ABC，P是外接圆CD弧上一点，求证：PB+PE＝PC+PD+PA。
对这个性质，试作推广证明。

luyuanhong · 发表于 2015-4-1 22:32

ccmmjj · 发表于 2015-4-1 23:40

虽然计算不容易，但思路还是很单纯的。谢谢陆教授。

ccmmjj · 发表于 2015-4-2 00:27

我对正五边形的情形做个证明，类似推广。

常量 · 发表于 2015-4-2 11:57

来个几何证明

ccmmjj · 发表于 2015-4-3 01:29

如果能作纯几何证明，真是令我钦佩。

常量 · 发表于 2015-4-3 11:34

作弦DS//PB，弦CR//PE，连BS、ER，各线段交点如上图所示
利用正五边形性质，易证ER//DS//PB，BS//CR//PE
PD=PN，PC=PM，PA=CR=DS，KR=KD，KS=KC
故PA+PC+PD=DS+PM+PN
                  =KS+KD+PM+PN
                  =KS+KR+PM+PN
                  =BM+EN+PM+PN
                  =PB+PE
证毕。

ccmmjj · 发表于 2015-4-3 12:15

意想似落天际，纵横实在个中。证得漂亮，只是这种方式难以推广至2N+1.

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