数学悖论:证明直线的面积等于4平方米

门外汉

我们知道，点是一维的，长为0，宽为0，高为0；线是一维的，有长度，宽为0，高为0；面是二维的，有长和宽，高为0；体是三维的，长宽高皆有。
抛开与本文无关的其他维度暂不说，本文的重点是:一维的直线尽管长度是无限长的，但它的宽度为0，所以它是没有面积的，或者说直线的面积为0，这是经典数学中的一条重要结论。
但是，如果能够证明出来一条直线的面积大于0，则数学的基础存疑。
证明开始:
设一个正方形，长为2米，宽为2米，我们可以用一年级小学计算方法算出来这个正方形的面积为2米×2米=4平方米。
这个正方形有一个像孙悟空金箍棒一样的神奇本领，那就是可以随意的变粗变细，变长变短，下面设计一个程序，让正方形在两分钟的时间里做出如下的变化:
计时开始，整个计时时间为两分钟:
当时间从0走到1分钟，还剩余1分钟时，该正方形的宽度缩短为原来的一半，长度增加一倍，此时宽为1米，长为4米，面积:1米×4米=4平方米，面积不变；
当时间剩余1/2分钟时，该正方形，哦现在是长方形了，该长方形的宽度再缩短一半，长度增加一倍，此时宽为1/2米，长为8米，面积为4平方米不变；
当时间剩余1/4分钟时，该长方形的宽度再缩短一半，长度增加一倍，此时宽为1/4米，长为16米，面积为4平方米不变；
当时间剩余1/8分钟时，该长方形的宽度再缩短一半，长度增加一倍，此时宽为1/8米，长为32米，面积为4平方米不变。
……

以下是无穷多个省略号

问:当剩余的时间为0，2分钟的计时时间结束时，该长方形的宽为多少?长为多少?
答:宽度为0，长为无限。
此时的四边形最终变成了一条一维直线。
由于在变化的过程中，只有长度和宽度在不断变化，而无论怎么变化，其面积恒定不变，所以最后得出结论:直线的面积等于4平方米。如果你说直线的面积为0，请问那4平方米的面积跑到哪里去了?
请指出上述证明中的逻辑错在了哪里?

elim

平面面积是二维勒贝格测度，所谓测度，是指某可测集合类到非负实数集上的函数。这个对楼主太深。大意是，一个集合 S 的测度 m(S) 是唯一的，
令 A(n) = [-n,n]×[-1/n,1/n], m(A(n)) = 4,  llim A(n) = R, lim m(A(n))=4.  认为 m(R) = 4 就是认为
m(R) = m(lim A(n)) = lim(m(A)).
令 B(n) = [-2n,2n]×[-1/n,1/n], 则仍有 lim B(n) = R, 但 lim(m(B(n)) = 8. 所以 m 这个函数关于集合的极限不是连续的: S = lim S(n) 推不出 m(S) = lim(m(S(n)). 换句话说，楼主关于实数轴 R的二维勒贝格测度的计算是错误的。错在对测度函数的连续性假定上。

elim

主贴的缪论被楼主称为悖论是不恰当的，逻辑忽悠和悖论不是一回事。

这个主题让人想起jzkyllcjl 有关点的”大小“的扯蛋。他是这么说的，如
果这些点的”大小“都等于0，那么[0,1] 的一维测度(即长度)作为这些点
的”长度“的和也是0。老学渣的这番歇斯底里和他关于无穷项不可和的
观点是矛盾的。严格的测度理论的确有可和性，对可释义的和都成立。
但不可数无穷项的和没有意义。jzkyllcjl 从无穷项不可和一下叛变为不
可数无穷项可和，其错乱令人叹为观止。

门外汉

elim 发表于 2019-2-11 15:07
平面面积是二维勒贝格测度，所谓测度，是指某可测集合类到非负实数集上的函数。这个对楼主太深。大意是，一 ...

面积的计算公式是什么?是长×宽吧?在本帖中，面积的计算公式失效了?

elim

什么东西失效,在2楼说得很清楚了. 那里的那一句话看不懂?

门外汉

elim 发表于 2019-2-11 23:04
什么东西失效,在2楼说得很清楚了. 那里的那一句话看不懂?

勒贝格测度我不懂，所以你用勒贝格测度做出的解释我回答不了。
只问这个问题:当长方形变成一条直线时，长方形固有的4平方米的面积是怎么消失的?

elim

只要还是矩形，面积变不会消失. 直线的“面积”与那些矩形的面积没有关系。只要不偷换概念，就没有什么东西消失，

门外汉

elim 发表于 2019-2-12 04:55
只要还是矩形，面积变不会消失. 直线的“面积”与那些矩形的面积没有关系。只要不偷换概念，就没有什么东西 ...

当时间为2分钟时，该矩形的宽度变为0

elim

门外汉 发表于 2019-2-12 04:32
当时间为2分钟时，该矩形的宽度变为0

不存在宽度为0的矩形。

门外汉

elim 发表于 2019-2-12 14:15
不存在宽度为0的矩形。

如果矩形的宽度为0，则成为一条直线