这样的“实数”如何能连续

zhaolu48 · 发表于 2010-10-27 11:17

[color=#8B008B]
现在的实数理论认为，对任意实数a，即不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数，那么在a的两侧都是间断。那在a处还如何连续？

elimqiu · 发表于 2010-10-27 11:24

下面引用由zhaolu48在 2010/10/27 11:17am 发表的内容：
现在的实数理论认为，对任意实数a，即不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数，那么在a的两侧都是间断。那在a处还如何连续？

语文不好是处处出纰漏啊。连续的定义是什么？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在时添加 -=-=-=-=-
照这样还能叹服微积分？

elimqiu · 发表于 2010-10-27 11:33

zhaolu48, 你说不连续时不能按照你的直观加上你自己对连续的理解。你必须使用标准分析的连续的定义来支持你的反例。不然的话你最多只能说，按照 zhaolu48 连续对连续的特别理解，某情形的连续性不成立。
我这么说没有别的意思。只是一个提醒。

drc2000 · 发表于 2010-10-27 12:13

下面引用由zhaolu48在 2010/10/27 11:17am 发表的内容：
现在的实数理论认为，对任意实数a，即不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数，那么在a的两侧都是间断。那在a处还如何连续？

如果仅仅依照字面的意思去理解数学概念,那么近世代数中的"理想",概率中的"期望"等知识就完全是胡说八道了.

申一言 · 发表于 2010-10-27 13:23

下面引用由drc2000在 2010/10/27 00:13pm 发表的内容：
如果仅仅依照字面的意思去理解数学概念,那么近世代数中的"理想",概率中的"期望"等知识就完全是胡说八道了.

好像，大概，差不多？！

awei · 发表于 2010-10-27 13:35

[这个贴子最后由awei在 2010/10/27 01:37pm 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2010/10/27 00:13pm 发表的内容：
如果仅仅依照字面的意思去理解数学概念,那么近世代数中的"理想",概率中的"期望"等知识就完全是胡说八道了.

[color=#0000FF]有道理，数字，公式，定理，都是数学特殊的语言文字，的确照字面的意思去理解数学概念,那么近世代数中的"理想",概率中的"期望"等知识就完全是胡说八道了.呵呵！
数学从基础领域没有一次大的变革，类似这些在无穷大和无穷小时否存在的争论，也就会不会中断。我们从小接受的就是自然数是无限的，自然数有限等于白痴观点。
“先入为主”，“驴象之争”，“美式民主”，呵呵！

zhaolu48 · 发表于 2010-10-27 18:05

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/10/27 06:10pm 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/27 04:24am 发表的内容： 语文不好是处处出纰漏啊。连续的定义是什么？ -=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在时添加 -=-=-=-=- 照这样还能叹服微积分？

[color=#8B008B] 单就实数来说，这只是一个集合，那么这个集合的的完备性，就相当二这个集合的连续性。而且把任意一个实数都称为一个点。即在考察集合是否完备时，都把它的元素称为点。如果一个集合的任意一点，都存在于收敛这个点的基础点列，那么这个集合就是一个完备集。可是基础点列是离散的，用离散的方法定义其完备，这样的定义本身就不够“完备”。连续的定义，是针对函数的，《数学分析》首先给出的是在一点连续。首先是定义的函数在一点的的极限，如果函数在这一点的极限等于这一点的函数值，就称为在此点连续。如果在闭区间上的每一点都连续，就称为这具函数在这个闭区间上一致连续。一致连续还有一个等价的定义，即对任意给定的ε>0，总存在δ＞0，对x1,x2属于这个闭区间，当|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)<ε，就称f(x)在此闭区间上一致连续。这一定义与完备集的定义类似。我承认实数是完备集，但说不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数这一观点是不合理。可以有比较合理的观点。利用我的连续统无穷大的性质就可以解决这一问题。并且在“不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”的前提下的实数集也不可能完备。

elimqiu · 发表于 2010-10-27 20:59

下面引用由zhaolu48在 2010/10/27 06:05pm 发表的内容：
单在“不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”的前提下的实数集也不可能完备。

为什么不完备？

elimqiu · 发表于 2010-10-27 21:40

下面引用由zhaolu48在 2010/10/27 06:05pm 发表的内容：
如果一个集合的任意一点，都存在于收敛这个点的基础点列，那么这个集合就是一个完备集。

这么说有理数全体也完备了？这只是你对完备的不同理解，应该说明。

下面引用由zhaolu48在 2010/10/27 06:05pm 发表的内容：
可是基础点列是离散的，用离散的方法定义其完备，这样的定义本身就不够“完备”。

用有限定义无限，用离散定义连续都不行？一定要搞循环定义？

zhaolu48 · 发表于 2010-10-28 11:00

下面引用由elimqiu在 2010/10/27 02:40pm 发表的内容：
如果一个集合的任意一点，都存在于收敛这个点的基础点列，那么这个集合就是一个完备集。

这是夏道等著的《实变函数论与泛函分析》(人民教育出版社1978.11)上的定义。

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