地图中的所有顶点都是由三条边界线相交而构成的，所以叫“三界点”，其周围的小范围内的地方就是大家所说的“山高皇帝远”的“三不管地区”，地图具有3—正则图的特征，所以地图也是一个3—正则的平面图。沙特朗在他的《图论导引》一书中谈到泰特猜想——每个2—连通的3—正则平面图的可4—面着色，等阶于2—连通的3—正则平面图的可3—边着色——时说：“每个3—正则图G都有偶数阶”（这里的“阶”就是图的顶点数），但没有看到其是如何证明的。现在我对其进行试证如下：
1、2—连通3—正则平面图的顶点数一定是偶数：
由于3—正则平面图的每一个顶点都连着3条边，如果图中的顶点数是v，那么所有顶点所连边的总数应是3v，又因为每一条边都是连结着两顶点，所以所有边所连顶点的总数应是2e，即有2e＝3v的关系。由此得该图的边数应是e＝3v/2＝1.5v（除以2是因为一条边连着两个顶点）。因为图的边数必须是整数，而上式中只有当v为偶数时，e才能是整数，否则e就不是整数了。这就证明了任何2—连通3—正则平面图（地图）的顶点数一定都是偶数的结论是正确的。同时还可以看出，2—连通3—正则平面图的边数e也一定是能被3整除的，因为偶数的1.5倍一定是能被3整除，而2—连通3—正则平面图的顶点数正好都是整数。
2、举例：对几个3—正则平面图的验证：
图1中的几企图产就是我们在《
① 正四面体：顶点数v＝4，是偶数；边数e＝6，正好是顶点数v＝4的1.5倍。
② 正六面体：顶点数v＝8，也是偶数；边数e＝12，也正好是顶点数v＝8的1.5倍。
③ 正十二面体：顶点数v＝20，也是偶数；边数e＝30，也正好是顶点数v＝20的1.5倍。
④ 六棱柱体：顶点数v＝12，也是偶数；边数e＝18，也正好是顶点数v＝12的1.5倍。
通过验证，说明了任何2—连通3—正则平面图（地图）的顶点数一定都是偶数的结论是正确的。
3、这一结论对证明泰特猜想，或者说对证明四色猜测是否有用呢？
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发表于 2016-10-18 08:31
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