[原创]与平方根数关联的数论公式

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[watermark]       与平方根数关联的数论公式
   数内素数个数约为0.5(√N)π(√N)或(√N)∏[h/(h-1)]
一个公式可直观探察素数多少，另一公式可明确递增特性，有特色。
数N内素数个数的符号:π(N),(各参数)连乘的符号:∏,平方根符号:√,
几种求数内素数个数公式的转换:
由素数定理推出的公式:π(√N)≈(√N)/Ln(√N)≈(√N)∏[(p-1)/p],
π(N)≈N/LnN=(√N)(√N)/[2Ln(√N)]≈0.5(√N)π(√N),
π(N)≈N∏[(P-1)/P]≈(√N)(√N)/∏[P/(P-1)]≈(√N)∏[h/(h-1)],
递减方式公式与递增方式公式的关系。
(√N)(√N)``2``3``4``5``6```````√N-2```√N-1``1  
----------·-·-·-·-·-·....·-----·-----≡--
(√N)·2....3..4..5..6..7.......√N-1....√N...1
``N````2```/`/`/``/````√N  
-----·-·....·----≡-----
..2...././././..√N.....1
N```2``4``5``10`````P-1``√N`4``6``8``9````````h  
--·-·-·-·--·..·---≡--·-·-·-·-·..·---
2...3..5..7..11......P....1..3..5..7..8.......h-1
例如:
100``2``4``6``800````````10``4``6``8``9``10  
---·-·-·-==---=22.86==--·-·-·-·-·---
.2...3..5..7..35..........1..3..5..7..8...9
   可直观探察素数的公式: 0.5(√N)π(√N)
  以平方根为单位表示数中素数的多少,约等于平方根内素数
个数的一半。举例说明：
100内素数的个数约等于10内素数个数4的一半。20+5个。
400内素数的个数约等于20内素数个数8的一半。80-2个。
1000内素数的个数约等于31.6内素数个数11的一半。173-5个。
10000内素数的个数约等于100内素数个数25的一半。1250-20个。
用100来深入一下平方根内素数个数的一半的细节。
把100分在10·10的行列中，|100/2|个偶数占{2,4,6,8,10}的5列，
|50/3|个数占{3,9}的1.6列,|34/5|与|28/7|个数占{5}的列,
没被占用的列有{1,7}两列,作为筛除掉合数用到的4个素数还需补解上。
素数个数的一半是指：平方根的后半区域的素数个数再加上1个。
最后，作为筛除掉合数用到的一些素数还需补在解上。
用平方根的后半区域的素数个数求解数内素数个数的下限解最合适。
  明确递增特性的素数个数公式：(√N)∏[h/(h-1)]
h表示小于(√N)的所有合数。“4,6,8,9,10,12,14,15,..,"  
素数个数约等于的平方根数与(诸合数与合数减一的比)的连乘积。
``````````````4``6``8``9``10``12``14``15`````````h  
π(N)≈(√N)·-·-·-·-·---·--·-·--......·---
..............3..5..7..8...9..11..13..14.......(h-1)
递增特性：以平方根数为基底数，每多一项，都要增加分母数份的一份。
举例说明：
100内素数的个数约等于把10个，加10/3个素数，得13.4。加13/5个素数，
得16个。加16/7，得18.3。 加18.3/8，得20.6。
加22.6/9，得24.3。
````````````10`13.3`16``18.3``20.6  
π(100)≈10+--+----+---·---·----
.............3...5...7....8....9
π(100)≈10+3.3333+2.6666+2.2857+2.2857+2.2857=22.857
实际分布:个数大于两个平方根数,素数个数与合数个数同步增大。
.....10+2+3+2+2+3+2+1=25
2,11,23|31|41|53|61|71|83|97|
3,13,29|37|43|59|67|73|89|
5,17,..|..|47|.....|79|     
7,19,..|
青岛 王新宇
     2009.9.26
   分析数论单筛公式，双筛公式
  老文章：“20041221分析数论单筛公式，双筛公式 ”
现在，用一个具体数来分析单筛，双筛公式，看看如何精确它。
本文用到我的“首创筛法确定实际解下限的方法”一文的内容。
求素数的个数的方法，
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1，先求出给定数以内的不包括“1”的奇数的总个数，符号“Q”。
(962/2)-1==480,表示962中,不包括“1”的奇数的总个数有480个。
2，按照奇素数分类求出,没有重合的,实际真实奇合数的数值。
480含有奇素因子“3，5”的类型，
含素因子3的奇合数的个数有(480-3)/3==159,其他有(480-159-1)=321个,
含素因子5的奇合数的个数有(320-5)/5==63,其他有(321-63-1)=357个。
480没含有奇素因子的奇素数类型，素数符号“P”
利用各级素数的互素表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有36个互素数。
其他小素数的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表求:
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的个数==19,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的个数==16,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的个数==10,
23至41.8之间有5个,23·{23,29,31,37,41},含23的奇合数的个数=5。
29至33.2之间有2个,29·{29,31},含素因子29的奇合数的个数==2。
31仅自己1个。31·,含素因子31的奇合数的个数==1。
下面是按照素因子分类的实际真实奇合数的数值。
奇素因子=3````5````7```11``13``17``19``23``29``31..类型
奇合数==159...63...36..19..16..10...8..5...2...1...个数
3,分级求解：求出与3,与5,与7,...,与31,都互素的数的个数,
素数个数==不含1的奇数的个数连减各类型素因子的奇合数的个数。
S==480..-159.-63.-36.-19.-16.-10..-8..-5..-2..-1
各级解..,321,258,222,203,187,177,169,164,162,161
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
````````960`321`258`222`203`187`177`169`164`162`161
S(962)==-—·—·--·--·--·--·--·--·--·--·-—
.........2..480.321.258.222.203.187.177.169.164.162
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10.05`11.98`16`18.1`22.3`28.6`30.8
S(962)=-—·-·-·-·---·----·--·---·---·----·---—
........2...3..5..7..11...13....17..19...23...29...31
各项“1数”为
|0.994.|0.984|0.972|0.95|1.02|0.9|0.86|0.7|0.36|0.19|
....3....5.....7....11....13...17..19...23..29....31
数据说明：单筛公式，“1数”取“1”，会有误差。
把素因子素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
S==480--{159+63+36+19+16+10+8+5+2+1}
===480--{159+62+34+16+12.+7+4..+2
..........+1.+2.+3++4.+3.+4+5..+1}
===480--160--64-37-20-15-11-9-3
各级解为320,256,160,64，37，20，15，11，9，3
将连减公式“S==480-160-64-37-20-15-11-9-3”化为连乘公式。
````````960`320`256`219`199`184`173`164`161
s(961)==-—·—·--·—·—·--·--·--·—==161
.........2..480.320.256.219.199.184.173.164
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10``12``16``18``22.58
S(962)=-—·-·-·-·-·--·--·--·---—
........2...3..5..7.11..13..17..19..23.
其中最后的素因子分数项停止在“22/23”这一级:即
误差项等效于后面几项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用,
单筛公式就是素数个数的上限公式(3)的主项，最后再加上附加项。
````````961````2``4```6```10```12```16```18```22```28``30
π(961)=——·—·—·—·—·—·—·—·—-·—·—
.........2.....3..5...7...11...13...17...19...23...29..31
各级解为480)320)256)219)199.7)184.3)173)164.3)157)152)147+11
各素因子减数为160，64，37，20，15，11，9，7，5，5
实际解........159..63..36..19..16..10..8..5..2..1.
...............-1..-1..-1..-1..+1..-1.-1.-2.-3.-4
(3)的附加项，是用“+√N”改善了误差，理论上应加√N内素数个数。
由奇数的个数起逐级减小，逐级接近到素数个数的真值。
进一步的研究
逐级减少是素数个数的上限公式，可变换成素数个数的下限公式，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子可左移一项；
``````````````高P-1``√ N``4``6`10`12`16`18`22`28`
π(N)>√ N∏(———)=——·-·-·-·-·-·-·-·-·..(10)
................P......2...3..5..7.11.13.17.19.23
````````√961````4````6```10```12```16```18```22```28```30
π(961)=———·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—
...........1.....3....5....7...11...13...17...19...23...29
各级解为.31)41.33.)49.6)70.85)77.2)95.1)100.7)116.6)142)147+11
素数个数的下限公式，由数的开方数起,逐级增加到素数个数的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,都有附加项,
素数的个数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
待续
青岛 王新宇
2004.12.21

　　 20041222qdxinyu分析数论双筛公式
下面，用一个具体数来分析双筛公式，看看如何精确它。
本文用到我的“首创筛法确定实际解下限的方法”一文的内容。
求对称素数的个数的方法，
求对称素数的个数的公式与求孪生素数的成对的对数的公式
是一样的。故先求孪生素数的成对的对数。
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1,先得知道给定数以内的不包括“2”的素数的总个数，符号“S”。
S(962)=161,表示962中,不包括“2”的奇素数的总个数有161个。
2，按照奇素数分类求出,实际真实的伴生奇合数的数值。
伴生奇合数是我新定义的一种奇合数，简称“伴数”
它是与的奇合数。
求解31的平方数以内的各级伴数的方法另介绍,先用结果,
按照奇素数分类求出伴数,奇素数按渐大的顺序，求到顺序数。
``在“(6n+1),(6n-1)”数系中,
(1)“3”素数级的伴数个数是零，没有伴数。
(2)其他素数级的伴数个数:
“5”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有44个,
“7”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有18个,
11·{19;23,29,37;41,59,61;67;83,}“11”素数级伴数有9个,
13·{13,17;29;31,37,43,47;53;59;73,}“13”素数级伴数有10个,
17·{23,29,37;47,}“17”伴数有4个,伴素数389,491,631,797
19·{19,23;31;37,}“19”伴数有4个,伴素数361,439,589,701
23·{37;41,}“23”级伴数有2个,伴素数853,941
29·{29,}“29”级伴数有1个,伴素数29·29-2==839
31·{空级}“31”级伴数是零,没有伴数,
有了伴数,很容易得到连减公式,连乘公式.
孪生素数个数==奇素数个数连减各级伴数。孪生素数符号"L"
S==480-159--63--36--19--16--10--8--5--2--1==161
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69
各级解:161,117,.99,.90,.80,.76,.72,70,69,..=69
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
各级解={161,117,99,90,80,76,72,70.69,69,}
分式连乘公式
```````````117``99`90`80`76`72`70`69`69
L(962)=161·--·--·-·-·-·-·-·-·-
...........161.117.99.90.80.76.72.70.69
对应的级.3...5...7..11.13.17.19.23.29.31
公式表示:“961以内的孪生素数有69个,”等于实际数。
把各项的分母变换成各(级素数-1)，分子也恒等变换，
即改成（(级素数减“2数”)/(级素数-1)）形式,
````````````3.`5.`9``10.7`15.2`17.05`21.4`27.2``30
L(962)=161·-·-·-·----·---·----·---·---·--
............4..6.10...12...16....18...22...28...30
各项“2数与1的差数”为
`````````|1.093|0.923|1..|1.3|0.8|0.95|0.6|0.8|0.|
数据说明：双筛公式，“2数与1的差数”取“1”，会有误差。
把级素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对孪生素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
L==161--0---44--18---9--10---4---4----2----1---0==69
===161--0---40--21--10-7.5---5.1-4.3--3--1.1---0==69
各级解===={161,121,100,90,..82.5,77.4,73,70.,69}
各级缩比为..4,..6,..10,12,..16.1,18..,24,64,..1
分式连乘公式:代入各级缩比,23/24=21/22,63/64=27.56/28
```````161``3``5``9``11``15`17``21.1`27.56``1
L(962)=-—·-·-·-·-·--·--·----·—--·—
........1...4..6.10..12..16.18..22....28....1
其中最后的级素数项停止在“27/28”;少“29/30”项。表示
误差项等效于后面的项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用。孪生素数个数转换为
孪生素数对数,要乘“1/2”，等效于级素数含“3”
孪生素数对数公式如下：
S个素数包含的孪生素数的个数:其中,P为起始部分的素数;
`````````(P-2)`````1``3``5``9`11`15`17`21
L(S)～S∏(---)==S·-·-·-·-·-·-·-·-...孪生素数对数
.........(P-1).....2..4..6.10.12.16.18.22
由奇素数的个数起逐级减小，逐级接近到孪生素数对数的真值。
进一步的研究，将素数个数公式代入：
`````````(P-2)``N```(P-1)``(P-2)``N```(P-2)
L(S)～S∏(---)==--∏(---)∏(---)==--∏(---)
.........(P-1)..2...(.P.)..(P-1)..2...(.P.)
上面是奇数逐级减少到孪生素数对数的上限公式，可变换成下限公式，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子又可左移一项；
``````√ N```高P-2``√ N``3``5``9`11`15`17```√ N``(奇合数)
L(S)～----∏(——-)=——·-·-·-·-·-·-..=----∏——-----)
........2......P......2...3..5..7.11.13.17....2...(奇合数-2)
这就是半开方数逐级增加到孪生素数对数的下限公式。
孪生素数对数的下限公式，由数的半开方数起,逐级增加到解的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,
孪生素数成对的对数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
下面，用一个具体数来介绍求对称素数的个数的方法，
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置是素数,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置是素数,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
`````````1``3-r3``5-r5``7-r7``11-r11```````P-rP``````p-rp
G(x)～x·-·----·----·----·------·....·----·..·-----
.........2...3.....5.....7......11...........P.........p
表示x大约有G(x)个主体对称的素数。与首尾对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸有效素数,p为P中的最大的有效素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例，
是x素因子的，rP选1; 不是x素因子的，rP选2 ;
大素数时，按实际的删除比例修正。
偶数=962,由962=2*13*37知道,962含开方数以内的素因子13,
``````````````1```1```3```5``9`12`15`17`21`27`29
G(962)===962·--·--·--·-·----·-·-·-·-·-·--
..............2...3...5...7.11.13.17.19.23.29.31
逐级减少的解为480,160,96,68,56,51,45,41,37,34,32,
表示偶数962约有32个对称的素数, 事实正好是32个对称的素数,如下：
43，919，79，883，103，859，109，853，139，823，151，811，
193，769，211，751，229，733，261，701，271，691，331，631，
349，613，421，541，439，523，463，499，
公式中：分母是2和13的分子减一，其他项的分子减二。
其中，分子与分母的差不大于2。分母是小于该偶数开方数的诸素数。
对称素数的个数的公式与孪生素数对数的公式区别是：分数项的
分子增大1个数的项随着素因子的增多而增多。即有：素因子增大系数。
对称素数的个数等于素数个数和孪生素数对数之间，
用素因子增大系数确定的比例上。
各种比例数的数量按2的幂递增;
2种,4种,8种,16,32,64,128,256,....
若只考虑解的有无,则只考虑对称素数的个数的最小解就可以了。
青岛 王新宇
2004.12.22
20041223qdxinyu分析数论双筛公式(续)
检查了一下，更正一下伴数的数据，上面公式的
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69 应该是
L==161--0---41--20---9--10--5---4--2--1--0==69
虽然中间参数都该相应纠正，但原计算公式最后的解值不变。
其孪生素数如下所示；为69个。
...,..3,..5,..7,.11,.13,.17,.19,
.29,.31,.41,.43,.59,.61,.71,.73,
101,103,107,109,137,139,149,151,
179,181,191,193,197,199,227,229,
239,241,269,271,281,283,311,313,
347,349,419,421,431,433,461,463,
521,523,569,571,599,601,617,619,
641,643,659,661,809,811,821,823,
827,829,857,859,881,883,
对称素数的公式与孪生素数对数的公式解的值的区别是：
对称素数有：素因子增大系数。
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型的解。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置的解,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置的解,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
偶数962的双筛公式的解,不含{3,5,7,11,13,17,19,29,31},少九个,
孪生素数个数减九个,为30对,
偶数962含素因子13, 素因子增大系数为“(13-1)/(13-2)” ,
数论的解常默认要取整运算,
偶数962对称素数的对数等于(30+2)对是合理的,正确。
对称素数就是符合哥德巴赫猜想的两素数和等于偶数的表达式的个数。
对称素数大于1就是哥德巴赫猜想的证明。
待续
青岛 王新宇
2004.12.23
以上均为草稿,希望谅解.
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连乘积哥解公式与对数参数哥解公式的转换,表明两种方法是等效的,有前者就有后者,有后者就有前者。深化哥解公式的解，都与（范围有些不同的）素数个数关联，有利用“（1.32）N数内素数个数/N”的公式。有人验证“4（1.32）（前半偶数区素数个数）（后半偶数区素数个数）/N”最准确。缺点是：不便显示解就大于1。只有“（1.32）（N数平方根内素数个数的平方数）/4”，很明显“解大于1的条件就是要N数平方根内素数个数的平方数≥4”。希望哥迷帮助深化和推广。本贴就是“探索（N数平方根内素数个数的平方数/4）与√N/4的关系”，欢迎加入。

qdxy

  “快乐GLAD”推荐的文章:
数论中筛法的改革:开方数做单位.........qdxinyu20050705。
````首创素数定理的新表达式一文中,介绍了
```````````````1```x
π(x·x)≈x·--·------==（(x/Lnx)/2）·x
..............2...Lnx)
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的开方数内素数的个数的一半与该数开方数的积。”
该素数定理的新表达式从理论上证明了素数的个数与开方数的关系,
利用它来证明给定数数以内素数的个数大于给定数的开方数,是
证明哥德巴赫猜想的第一步,必不可少,
该素数定理的新表达式成了我的一个新筛法的理论基础,
为了浅显，用一个具体数为例，来分析数论中筛法的改革:开方数做单位。
看看改良筛法的威力。本文接续2004.12.23我的
“首创筛法确定实际解下限的方法”一文。
  求某素数的平方数以内的素数的个数的方法，例如：31·31,
把961分成31行,31列,各列顺序为{1,2,3,4,5,6,...,30,31}
按次序去掉所有含开方数内素数做素因子的合数，剩下的就是素数。
先去掉含(961-1)中的素因子的合数.
开方数做单位，就是筛除的数，单位是列，“1”列=1开方数=1竖条。
去掉素因子为2的合数，即去掉(第1列+1)的一半,去掉偶顺序数的列。
去掉素因子为3的合数，即第1列去掉1/6的数,再去掉1/6的列。
去掉素因子为5的合数，即第1列去掉1/15的数,再去掉1/15的列。
去掉{2,4,6,8,10,12,...24,26,28,30}{3,9,15,21,27}{5，25}
此时，第一列只留下{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的完整列的顺序为{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的列的顺序数为去掉了素因子素数的其他素数,
再去掉含(961-1)中的非素因子(符号“P”)的合数.
利用各级筛法的互素数表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数为
7·{7.11,13,17,19,23,29,31;37,41,43,47,49,53,..133,137}
奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有(36/31)列个数。
其他素数P的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表求:
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的列数==19/31,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的列数==16/31,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的列数==10/31,
19至50.5之间有8个素数,含素因子19的奇合数的列数==8/31,
23至41.8之间有23·{23,29,31,37,41},,含23的奇合数的列数=5/31。
29至33.2之间有29·{29,31},含素因子29的奇合数的列数=2/31。
31仅自己1个。31·{31},含素因子31的奇合数的列数=1/31。
7,11,13,17,19,23,29,31列中,要去掉的列为:
(36+19+16+10+8+5+2+1)/31==97/31==3+(4/31)==3列多领头4个.
将其放在{7,11,13}列内,留下的列为{17,19,23,29,31},欠领头4个。
留下的5列为“开方数内奇素数个数10的一半”。31·5-4==151个
还留下的列是第一列中的素数，11个。总计素数:151+11=162个.
与实际素数个数一样。(原作：青岛 王新宇)
   
本文摘自http://zhidao.baidu.com/question/27868787.html      
感谢“快乐GLAD”推荐我的文章。

qdxy

      介绍早年文章的有用内容
   早年的一些文章都是速记思路，只想备忘和与爱好者共享，前提是爱好者“对灵感的只言片语也极其渴望”。早年的一些文章都是匆忙的草稿，错误难免，望读者谅解。
   与平方根数关联的数论公式：介绍由素数定理推出的公式，
π(N)≈N/LnN=(√N)(√N)/[2Ln(√N)]≈0.5(√N)π(√N),
公式的独特用处：得到有用的公式：N/(LnN)^2≈0.25{π(√N)}^2,解大于一的条件：π(√N)≥2。也是偶数哥解公式大于一的条件。
顺便给了个递增素数公式，有100后，N内素数个数大于2√N。  
    分析数论单筛公式，
用实例962，介绍：其平方根内素数个数种，不同类型的合数的个数的数量，合数筛掉的各个列，新单筛公式逐步减少到解。有有用的不同种类素数因子合数的数量分析。
素数个数==不含1的奇数的个数连减各类型素因子的奇合数的个数。
素因子为...3..5..7...11..13..17..19..23..29..31
S==480..-159.-63.-36.-19.-16.-10..-8..-5..-2..-1
各级解..,321,258,222,203,187,177,169,164,162,161 。
原文(缺)19至47是8个素数,含素因子19的奇合数的个数=8,
   分析数论双筛公式 ，
同样的方法，得到有用的求孪生素数个数的公式和求偶数哥解的个数公式。
孪生素数个数==奇素数个数连减各级伴数。孪生素数符号"L" ,有专用的不同种类素数因子合数的数量分析。
S==480-159--63--36--19--16--10--8--5--2--1==161
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69
各级解:161,117,.99,.90,.80,.76,.72,70,69,..=69
连减公式改写成连乘积公式,可用于与常用的连乘积公式比较。
   筛法的改革:开平方数做单位
7,11,13,17,19,23,29,31列中,要去掉的列为: (36+19+16+10+8+5+2+1)/31==97/31==3+(4/31)==3列多领头4个.
将其放在{7,11,13}列内,留下的列为{17,19,23,29,31}。
留下的5列为“开方数内奇素数个数10的一半”。
筛法也得到了筛掉合数留下素数的列的数量等于
(0.5)平方根内素数个数(列),其中:单列的数量等于其平方根数。
筛法实际验证了素数定理推导的“N内素数的多少,约等于
(N平方根内素数个数的一半)乘以(N平方根)”。
100内素数的个数约等于(10内素数个数4的一半)乘以10。
1000内素数的个数约等于(31.6内素数个数11的一半)乘以31.6。
10000内素数的个数约等于(100内素数个数25的一半)乘以100。
     qdxinyu
   2011.4.29
   

yinzhiyuan

请qdxinyu先生回复：
   

qdxy

[这个贴子最后由qdxy在 2011/05/02 03:42pm 第 1 次编辑]

  图片是别人的贴文,我拷贝下来的,贴文(他的公式符号）是他看我的文章的感想.
当时,我发过很多贴,代表作见下面,
简介哥德巴赫猜想解的公式.....qdxinyu.20050630
`````哥德巴赫猜想就是：每个大于4的偶数都是2个素数之和。
例如：6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7，14=3+11=7+7，……。
```偶数的对称素数就是：“不大于该偶数且对称于该偶数正中间数
的素数。”对称素数就是符合哥德巴赫猜想的素数。
哥德巴赫猜想的证明,就是要证明“偶数内对称素数的个数不小于1”。
先介绍用筛法找出偶数内对称素数的方法。
筛法：是把包含在数中的数有选择条件的去掉一些，留下一些。
双筛法：把包含在偶数中的数从中间对折，分前半截，后半截：
上，下二行。中间数起往大的数筛（正向筛）。中间数起往小的数筛
（反向筛）。上行，下行删除一个素数的所有倍数（称为筛该数）
筛时，上，下同时筛（不论筛上，筛下；有筛数就筛上，下一对数）
用偶数开方内所有素数一一筛过后，剩下的数为对称素数。即G（x)
对给的偶数,只考察其中的奇数,
例1： 对0到44间的数。
删去偶数，留得44·（1/2）=22个奇数，
对21，19，17，15，13，11，9， 7， 5， 3， 1。 每3个删去第1对，
对23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43。 每3个删去第3对，
留得8个对称的数，
对19，13， 7，1 每5个删去第4对，
对25，31，37，43每5个删去第1对，
留得4个对称的数22-15=7,22+15=37,22-9=13,22+9=31
公式:
``````````1```1````3
G(44)=44·--·--·---≈4个,
..........2...3....5
表示44约有4个对称的素数7,37,13,31 。
例2: 对0到124间的数。删去偶数，得62个奇数，
对61,59,57,55,...，3，1 ， 每3个删去第3对，
对63,65,67,69,.. ,121,123, 每3个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3≈20个，
对59，53，47，41,35,....,11, 5 , 每5个删去第5对，
对65，71，77，83,89,...,113,119, 每5个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3·（5-2）/5≈12个，
对53，47，41, 23, 17, 11， 每7个删去第()对，
对71，77，83,101,107,113, 每7个删去第2对，
剩下 10个
``````1```3-2```5-2```7-1
124·--·----·----·----≈10个
......2...3.....5.....7
即;124有10个对称的素数
53,71,41,83,11,113,17,107,23,101.
哥德巴赫猜想的解的表达式；
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
表示x大约有G(x)个对称素数。与开方数内的素数对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸素数,p为P中的最大的素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例，
x 素因子的素数，选1; 非x素因子的素数， 选2 ;
大素数时，应按实际的删除系数代入(有底限)。
```“大偶数时，解的表达式能用吗？”。我的答复是：
“大偶数时，解的表达式不能和小偶数一样简单。但是，有大于一的底限解
是正确无疑地，可以用下述方法证明。”
假若大偶数开方数以内,所有的奇数和偶素数“2”都参入筛除,即:取每一个
奇合数,每一个奇合数减一,每一个素数,每一个素数减一,以及“2”，做为
分数的分母,取对应分数项的分子等于该项的分母减一,
这一极限筛除,仍有大于“1”的解数。
举例如下：偶数取1000000，其开方数内最大奇数为999。
````````````````````998``997``996```````5``4``3``2``1``1
G(1000000)=1000000·---·---·---·...·-·-·-·-·-·-
....................999..998..997.......6..5..4..3..2..2
将分子各项右移两位,每一项分数都大于一,大于一的众数的乘积数,
仍大于一,
>1000000/(999·998)=1.003..=大于“1”的解
其他偶数极限超筛除时,同样有大于“1”的解 。
素数比合数少。只有少部分的数参入筛除，
少筛除了数，剩余数自然变大了。所以解大于一.
公式的解的是增函数, 只多不少。证明了哥德巴赫猜想成立。
```把哥德巴赫猜想的解的表达式改写；∏ 是各项连乘的运算符号
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
把解的表达式中除了(1/2)一项,把分子为(P-1)的数改为
(P-2)·{(P-1)/(P-2)},并把大括号数往前集中到第一个连乘运算式内.
把分子为(P-2)的数集中到后面的连乘运算式内
通过自然对数平方数的倒数与素数筛除系数的关系式
``1```````1``(P-1)^2 {1``2``4``6``10```P-rP``` p-rp}^2
————～—∏———={-·-·-·-·-·..·—...·---}
(lnN)^2...4...P^2....{2..3..5..7..11 ...P.......p..}
变换公式为连乘运算符号方式,变换公式为含平方数的方式,
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
```````p-1`````x```P-2
====(∏——)·(—∏——)
.......P-2.....2....P
....P>2,P|N...P>2
```````p-1````x````(P-2)P````(P-1)^2
====(∏——)·—∏(————·---——)
.......P-2....2....(P-1)^2....P^2
```````p-1````x```P^2-2P+1-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x```(P-1)^2-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x``````````1````````4
====(∏——)·—∏(1- ——---)·---——
.......P-2....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
```````p-1````````````1````````x
====2∏——·∏(1- ——---)·---——
.......P-2.........(P-1)^2...(lnx)^2
....P>2,P|N...P>2
其中，首∏的P是偶数的素因子的素数,后面的P表示素数集合中，
不大于开方数的素数；“·”表示相乘,∏表示各项连续乘,
“x/2”表示偶数中奇数的个数，可称为“内含奇数”。
P|x表示素数集合中，可整除x的素数的集合，可称为“素因子”。
P>2表示素数集合中，不包含“2”，可称为“奇素数”。
.....公式就是数论书上介绍的哥德巴赫猜想求解公式,如下:
r(N)为将偶数N表示为两个素数之和的表示法个数：
``````````p-1`````````1`````````N
r(N)～2∏——∏(1- ————)————..............(1)
..........P-2.......(P-1)^2..(lnN)^2
....P>2,P|N...P>2
利用“素数定理和筛法公式”的关系式
``1```````1``(P-1)^2
————～—∏————............(2)
(lnN)^2...4...P^2
得到哥德巴赫猜想的解的2次筛法公式，如下：
`````````p-1```N```P-2```N```p-1```P-2```P-1
r(N)～(∏——)(—∏——)=—∏——∏——∏——
.........P-2...2....P....2...P-2...P-1....P
....P>2,P|N.....P>2.....P>2,P|N...P>2...P>2
其中，第1项的P为偶数的素因子，其他项的P为偶数开方数内的
奇素数，
筛法公式将偶数开方数内的奇素数也筛除掉了，即偶数内，
起头区和结尾区内的哥解被排除在公式外了。r(N)只等于中间
主体区的哥解。
求解公式的优化方法:优化第二项∏。第二项∏展开,,如下：
``P-2````1``3``5``9``11`15`17`19`21`27`29`````最大P-2
∏——== -·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-....·-------
..P-1....2..4..6.10..12.16.18.20.22.28.30......最大P-1.
.P>2......... 第二项∏，称为“2次筛留系数”
将上面公式的分子左移一位。末项分子则为“1”。
``P-2````````3``5``9`11`15`17`19`21`27`29``````````1
∏——====== -·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-..·-------
..P-1........2..4..6.10.12.16.18.20.22.28.30....最大P-1.
“素数的筛留系数”等于公式的第三项∏的（1/2），如下：
``P-1````````1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30````最大P-1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·-------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31....最大P
`````````````````````````````````2次筛留系数
2次筛留系数==素数的筛留系数·————————
..............................素数的筛留系数
``P-2``(`P-1`)`6``15`45`77````23(29-2)``29^2`````31``1 `````1
∏——=(∏—-)·-·-·-·-·.·————·———·—·—.·-----
..P-1..(...P.).2..8..24.60....(23-1)^2..(29-1)^2.30..30 ...最大P
把2次筛留系数各项分数对应的分母素数的素数符号改写为“D”
``P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``1``````````1
∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—...·--------------------
..P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数最大素数的数
“素数的筛留系数”，公式的分子左移一位。如下：
``P-1````````2``4``6``10`12`16`18`22`28`30``1``````````1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·----------------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31.. 开方数内最大素数
由筛法公式知,两个筛留系数对应的偶数略大于分母最大素数的平方。
取最接近偶数值的“K·K==31·31”分别代入两个筛留系数。
“素数的筛留部份数”，如下：
````P-1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30`31``偶数的开方数
K∏——==-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-=---------------->>1
.....P...2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31..小于开方数的素数
“2次筛留部份数”，如下：
```P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``31``偶数的开方数
K∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—==--------------->>1
...P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数的数
已知:偶数的素因子“P”的参数项如下：
``P-1`
∏—— >1
..P-2
将上面三个分项公式相乘，就是哥德巴赫猜想主体解,
优化公式为三个大于1的参数相乘,大于1。
哥德巴赫猜想的解等于主体解加首尾解。
哥德巴赫猜想主体解大于1,等于哥德巴赫猜想的解大于1。
解大于1，证明哥德巴赫猜想成立。
哥德巴赫猜想的解中的主体解，首尾解。举例如下：
实际解```偶数=(P·P+1),实际解个数,公式解G(N),
3,7,5`````````````````````````(10)```(3)..1.5对
3,23,7,13,19``````````````````(26)```(5)..2.5对
3,47,7,43,13,37,19,31,````````(50)```(8)..4..对
...................10的平方线.......
13.19,43.61.79.103.109,......(122)...(7)......7
..3,..7,.13|19,151,31.139.
167,163,157|43.127.61.109.67.103.97.73
首尾解.....|主体解............(170)..(12)....12
..7,.13,|.19,.61,.63,.79,.97,109,127,139,
283.277.|271.229.227.211.193.181.163.151
首尾解..|主体解...............(290)..(16)....16
3,353,11,349,13,347,首尾解|主体解
23.,337,29.,331,37.,313,43.,317,47.,313,
103,257,109,251,139,223,149,211,(360).(18)...18
..3,.13.|.31.79,139.151.163,181.
359.349.|331.283.223.211.199,181.
首尾解..|主体解................(362)..(12)
..7.|.31,.43,.67,.97,109.151.157.163.181.193.199.223.
523.|499.487.463.433.421.379.373.367.349.337.331.307..
首尾|主体解...................(530)..(24).....24.
3,839,13,829,19,823,首尾解|主体解
.31.811,.73,769,103.739.109.733.151.691.661.
181.643,199,631.211.619,223.613,229,601.241,
571,271,503,409,463.379,433,409,
..............................(842)..(30).....28
青岛 王新宇
2005.6.30
前面文中,"开方数"应该是"开平方运算得的数",应该写成"平方根数",,不修改了.请谅解.
以上内容摘自：http://dzh.mop.com/whbm/20050725/0/lSS5SI55b4108a5S.shtm
内有很多好的文章,值得关注.

yinzhiyuan

下面引用由yinzhiyuan在 2011/05/02 08:07am 发表的内容：
请qdxinyu先生回复：

   

qdxy

[这个贴子最后由qdxy在 2011/05/04 03:13pm 第 1 次编辑]

求哥解的连乘积方式的公式,变换为求哥解的含对数参数的公式
设G(x)为偶数哥解的对称素数的个数，双筛法公式,连乘积各项的分子为分母减2(分母整除偶数的那部分项减1).分母为各个≤平方根的素数.
````````1`` 3-2(1)` 5-2(1)` 7-2(1)` 11-2(1)```````P-2(1)``` p-2(1)
G(x)=x·--·------·------·------·-------·...·----·..·-----=(一)
........2....3........5......7........11...........P....... p
````````p-1`````x```P-2
(一)=(∏——)·(—∏——)=(二)
........P-2.....2....P
....P>2,P|N...P>2
````````p-1````x````(P-2)P````(P-1)^2
(二)=(∏——)·—∏(————·---——)=(三)
........P-2....2....(P-1)^2....P^2
````````p-1````x```P^2-2P+1-1```(P-1)^2
(三)=(∏——)·—∏———----∏---——-=(四)
........P-2....2....(P-1)^2......P^2 2}
````````p-1````x```(P-1)^2-1```(P-1)^2
(四)=(∏——)·—∏———----∏---——=(五)
........P-2....2....(P-1)^2......P^2
利用“素数定理和筛法求素数个数公式”的关系式 ,(设P>2)知
``1``````````````1```(P-1)^2
————≈π(N)≈—∏————
(lnN)^2..........4....P^2
````````p-1````x``````````1````````4
(五)=(∏——)·—∏(1- ——---)·---——=(六)
........P-2....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
````````p-1````````````1````````x
(六)=2∏——·∏(1- ——---)·---——=(七)
........P-2.........(P-1)^2...(lnx)^2
....P>2,P|N...P>2
例如,偶数=962,内含961个数,由962=2*13*37知,962含≤平方根的素数因子有13,
````````````1``1``3``5``9``12`15`17`21`27`29
G(962)=962·-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-==(一)
............2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31
``````13-1``962`1``3``5``9``11`15`17`21`27`29
(一)=(——)·-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-==(二)
......13-2...2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31
```````12```962`1*3*2*2```3*5*4*4````````29*31*30*30
(二)=(——)(—){————·-------·.....·——-------}==(三)
.......11...2...3*3*2*2...5*5*6*6........31*31*30*30
```````12```962`2*2-1``2*2``4*4-1``4*4`````30*30-1``30*30
(三)=(——)(—){——-·---·-----·---·..·——--·-----}==(四)
.......11....2..2*2....3*3..4*4....5*5.....30*30....31*31
```````12```962``(P-1)^2-1```(P-1)^2
(四)=(——)(—)∏———----∏---——=(五)
.......11....2....(P-1)^2......P^2
利用“素数定理和筛法求素数个数公式”的关系式 ,有(P>2时)
``1```````1```(P-1)^2
————≈—∏————
(lnN)^2...4....P^2
```````12```962``````````1````````4
(五)=(——)·—∏(1- ——---)·---——=(六)
.......11....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
本贴的要点是∏{1-[1/(P-1)^2]}的根源,素数个数用已知公式。
本贴的内容是连乘积运算方式的公式,含对数参数的公式的转换方法。
本贴的意义是哥迷的求解公式与数学家的求解公式是可以互相转换的，等效的，统一的。

yinzhiyuan

qdxy先生：您好！
    请您写出：把∏(1-1/p)≈2/ln(N)“代入f(N)”的详细过程，并给出得到的g(N)中∏的下标。
    谢谢！   

qdxy

```````12```962``(P-1)^2-1```(P-1)^2
(四)=(——)(—)∏———----∏---——=(五)
.......11....2....(P-1)^2......P^2
利用“素数定理和筛法求素数个数公式”的关系式 ,有(P>2时)D^7
``1```````1```(P-1)^2
————≈—∏————
(lnN)^2...4....P^2
```````12```962``````````1````````4
(五)=(——)·—∏(1- ——---)·---——=(六)
.......11....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
可知：f(N)=f(962)时
f(N)=f(962)=(12/11)(962/2){∏[1-1/(P-1)^2]}*{∏{[(P-1)/P]^2}
把∏{1-1/P]}≈2/lnN,推知的：∏{[(P-1)/P]^2}≈4/（lnN）^2代入上式,
f(962)≈(12/11)(962/2){∏{1-[1/(P-1)^2]}*{4/（lnN）^2}=g（962）,
两个公式的前三项一模一样，第四项直接换换，一步到位。
g（N）中的∏的下标是大于2的素数,
因为P>2,所以有962/2,所以推知{∏{[(P-1)/P]^2}/4≈1/（lnN）^2。
不知您想弄清楚什么事？是不是：
公式是偶数中对称素数的单个素数的个数，解值是很多人的偶数哥解公式的一倍，比
解值是对称素数的一双素数的个数多一倍，即：本文的公式还可以再除以2，得到很多人的偶数哥解公式的值。