无穷大的一个数学游戏

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/11 08:33pm 第 3 次编辑]

一般的p进制纯无限大数表达式的定义： 给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n =
1,2,…， 则称表达式
（An*p^（n-1））……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
                n→∞
为一个p进制纯无限大数。
不同的（An*p^（n-1））数是不同的，不可比的。一般情况，不用写是可以的。
只有同一个数的加减运算的（An*p^（n-1））才是可比的。
假定：
（1）……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A3*p^2+…+An*p^（n-1）)=（1）……11111
此公式乘以2，得到：
（2）……B3 B2 B1.0= lim (B1*p^0+B2*p^1+B3*p^2+…+Bn*p^（n-1）)=（2）……22222
在这里，能确定An*p^（n-1）和Bn*p^（n-1）的大小，就可以直接运算。
如果，不能确定An*p^（n-1）和Bn*p^（n-1）的大小，就比较它们倒数的差值的大小。一般无穷大数都是相等的。（这里的相等是 极限相等，或 精确相等，一般都用这个相等）
因为这里An*p^（n-1）的（1）小于Bn*p^（n-1）的（2），所以：
（1）……11111-（2）……22222=-（1）……11111
假定要An*p^（n-1）大于Bn*p^（n-1），需要乘以10，再加1.An*p^（n-1）就不再是原来的数值了，由（1）变为（11）。
变为（11）……11111.
（11）……11111-（2）……22222=（8）……88889 （这里的相等是绝对相等，没有人使用，因为不可能使用）。
一般不会计算这些东西，就当做个游戏。[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=-
感谢elimqiu网友的意见，这里做了一些修改  

门外汉

不必较真，首先请说明：你的……１１１１是自然数吗？
如果它不是自然数，请另外给它取一个名字，使它不与自然数相混淆。
如果它是自然数，则它必定符合皮亚诺公理（除非你不认同皮亚诺公理，但要说明理由），根据皮亚诺公理，既然这个数非０，则它必然是某一个自然数的后继。
现在请你说明一下：……１１１１这个自然数是哪一个自然数的后继？
....................................
你的……１１１１还真的挺奇怪的，请问这个数与１１１１……是相等的吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
什么叫极限相等？什么叫精确相等？能给出一个精确的定义吗？

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/10 05:57pm 发表的内容：一般的p进制纯无限大数表达式的定义： 给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n =
1,2,…， 则称表达式
……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
               n→∞
为一个p进制纯无限大数。

楼主是否也把极限给重新定义一下，因为按照一般流行的定义，只要有无穷多个 An > 0, 这里的极限在实数系中就不存在（发散），即使在扩大的实数系中，这个极限总是 ∞，与 {An} 的各项的具体取值无关。这导致 大量 ‘p进制纯无限大数’相等，非常捣蛋。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
其实事情很清楚，这类‘p进制纯无限大数’是扶不起的阿斗。无法成为自然数系的扩充的。

APB先生

……１１１１是自然数……１１１0 的后继。

zhujingshen

下面引用由门外汉在 2011/05/10 07:12pm 发表的内容：
不必较真，首先请说明：你的……１１１１是自然数吗？
如果它不是自然数，请另外给它取一个名字，使它不与自然数相混淆。
如果它是自然数，则它必定符合皮亚诺公理（除非你不认同皮亚诺公理，但要说明理由），根 ...

……１１１１是实数里的“无穷大数”，
“无穷大数”，一般是指“无穷小数”的倒数，1除以““无穷小数””,写成……１１１１.１１１１……。
……１１１１.１１１１……=lim (1/(9*0.1^n))
             n→∞
“如果它是自然数，则它必定符合皮亚诺公理（除非你不认同皮亚诺公理，但要说明理由），根据皮亚诺公理，既然这个数非０，则它必然是某一个自然数的后继。”
……１１１１如果它是“无限自然数”，当然符合皮亚诺公理，它必然是“无限自然数”……１１１0的后继。
我还是认同皮亚诺公理的，“无穷大”中可能某些地方要做适当修改，可以适应“无穷大”的情况。
“极限相等和精确相等”是指两个数的位数数字不同，如：1和0.999……不同，用作差法比较法证明相等，这两个数就是“极限相等或精确相等”。
“无穷大数”的两个数的位数数字都不同，如：……1111和……2222不同，用它们倒数进行作差法比较法证明相等，所以，“无穷大数”都是“极限相等或精确相等”，不同于一般相等。
“你的……１１１１还真的挺奇怪的，请问这个数与１１１１……是相等的吗？”
是“极限相等或精确相等”，每一个……１１１１在无限的地方，一般都有差别，不是绝对相等。
谢谢先生的关注。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/05/10 08:37pm 发表的内容：
……１１１１是自然数……１１１0 的后继。

....99999 的后继是什么？

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/10 00:45pm 发表的内容：
楼主是否也把极限给重新定义一下，因为按照一般流行的定义，只要有无穷多个 An > 0, 这里的极限在实数系中就不存在（发散），即使在扩大的实数系中，这个极限总是 ∞，与 {An} 的各项的具体取值无关。这导致  ...

个人观点：
极限：是指无缝隙靠近一个固定的数值，而又不是这个数值。
无限小数的级数是（收敛）的，不存在（发散），连0.999999…都收敛于1，其它小数怎么能（发散）呢。
“无穷大数”是发散的，这个极限是 ∞。
自然数系的扩充尊重事实就可以了。
  

APB先生

是 10……0，1 的后面有无限多个 0 。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/05/10 02:30pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhujingshen在 2011/05/10 08:59pm 发表的内容：我还是认同皮亚诺公理的，“无穷大”中可能某些地方要做适当修改，可以适应“无穷大”的情况。

这叫朴素的创作感情。皮亚诺公理虽然是人提出的公理，却条条反映了一般直觉意义上的自然数的必要属性。既然是必要的，就没有可改动的余地了。改了它也一定会高处非自然的东西来的。如果加公理条款到皮亚诺公理系统，那么只会限制而不是扩充数系，当然谈不上容纳‘无穷大自然数’了。

“极限相等和精确相等”是指两个数的位数数字不同，如：1和0.999……不同，用作差法比较法证明相等，这两个数就是“极限相等或精确相等”。

不管哪种相等，都帮不了建立包括原自然数和‘无穷自然数’的有序整环。这话摆在这里。等大伙的努力都失利了，就只得认账。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/10 02:16pm 发表的内容：
....99999 的后继是什么？

....99999 的后继是（无穷数1)+（有穷数....00000）