求数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式

天山草

数列  1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 5，5，5，5，5， 6，6，6，6，6，6，······有通项公式吗？

天山草

网上能搜到此题的答案，但是貌似不靠谱。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

天山草

陆教授这个公式正确：

王守恩

数列  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ······ 有通项公式吗？

\(a(n)=[\sqrt{2n}\ ]\ \ \ \ \ [\ \ ]表示四舍五入\)

时空伴随者

王守恩 发表于 2022-10-25 18:46
数列  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ······ 有通项公式吗？

...

python 3
for n in range(1, 40): print(f'a_{n} = {round((2*n)**.5)})')

运行结果

\(a_{1} = 1\)
\(a_{2} = 2\)
\(a_{3} = 2\)
\(a_{4} = 3\)
\(a_{5} = 3\)
\(a_{6} = 3\)
\(a_{7} = 4\)
\(a_{8} = 4\)
\(a_{9} = 4\)
\(a_{10} = 4\)
\(a_{11} = 5\)
\(a_{12} = 5\)
\(a_{13} = 5\)
\(a_{14} = 5\)
\(a_{15} = 5\)
\(a_{16} = 6\)
\(a_{17} = 6\)
\(a_{18} = 6\)
\(a_{19} = 6\)
\(a_{20} = 6\)
\(a_{21} = 6\)
\(a_{22} = 7\)
\(a_{23} = 7\)
\(a_{24} = 7\)
\(a_{25} = 7\)
\(a_{26} = 7\)
\(a_{27} = 7\)
\(a_{28} = 7\)
\(a_{29} = 8\)
\(a_{30} = 8\)
\(a_{31} = 8\)
\(a_{32} = 8\)
\(a_{33} = 8\)
\(a_{34} = 8\)
\(a_{35} = 8\)
\(a_{36} = 8\)
\(a_{37} = 9\)
\(a_{38} = 9\)
\(a_{39} = 9\)

yeyucaiji

王守恩 发表于 2022-10-25 18:46
数列  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ······ 有通项公式吗？

...

可是这个通项和楼上的不一样，两个通项的差值一定会在n取无限大时变得十分明显，向这样的通项也许只能存在唯一一种吧

elim

这个序列有趣。

elim

王守恩

yeyucaiji 发表于 2022-10-27 22:36
可是这个通项和楼上的不一样，两个通项的差值一定会在n取无限大时变得十分明显，向这样的通项也许只能存 ...

数列  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ······ 有通项公式吗？

电脑是这样出来的。

\(a(n)=Floor(\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2})=Floor(\sqrt{2n-7/4}+1/2)=Round(\sqrt{2n})\)

\(说明1,Floor(\sqrt{2n-7/4}+1/2)取值范围:Floor(\sqrt{2n-7/4}+1/2)--Floor(\sqrt{2n+1/4}+1/2)\)

\(说明2,Round(\sqrt{2n})取值范围:Round(\sqrt{2n-7/4})--Round(\sqrt{2n+1/4})\)