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[watermark]真心实意愿赠06年元月出版的拙著《解圆与数论》 易经哥德的BLOG连载有博文
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古老神秘的三等分任意角问题
依据太极八卦图的化生理论及其数学思想（“3”环<还>圆，对偶性等数学思想），我们完全可以研究并解决古老神秘的三等分任意角问题。
一 关于三分角定理
1. 莫莱定理
关于“三分角”问题有如下定理：
莫莱定理 三角形内角三等分线相邻两线的交点是正三角形的顶点．
上述定理是英国数学家富兰克·莫莱于1899年提出的一条著明定理，该定理的条件和结论都是十分对称的，真可謂美妙至极。数学家奥克莱评论说：“这是数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鲜有能与之匹敌者”；另一位数学家可克特则称它“是初等几何中最惊人的定理之一”。为叙述方便起见，莫莱定理可称之为“内三分角定理”，对此本文不再赘述，下面专门介绍其姊妹定理“外三分角定理”（或许是现在才发现的），及与之孪生的“四点共线定理”。
2. 三角形外三分角定理
外三分角定理 三角形外角三等分线相邻两线的交点是正三角形的顶点。
内、外三分角两姊妹定理合并可称之为“三分角定理”具体叙述如下：
三角形内、外角三等分线相邻两线的交点是两正三角形顶点；且内角与不相邻外角相应两三等分线的交点同外角三等分线正三角形顶点对应四点共三线。（图我不会粘贴，学会后补贴）
图中，⊙O 内接 △ABC，AE和AG、BF和BE、CG和CF分别是∠A、∠B、∠C的内角三等分线，AB1 和AC1 BC1 和BA1、CA 1 和CB1 分别是∠A、∠B、∠C的外角三等分线，它们相应的交点分别为E、F、G、A1、B1 、C1、A’、B’、C’、A” 、B” 、C” ；则必有△EFG、△ABC是两正三形．并且点 A”、A1、B1 和B’，点B”、 B1、
C1和C’，点C”、C1、A1 和A’分别四点共线．
3. 三分角定理的作图与证明 （略）
三分角定理的作图与証明更是令人吃惊而感到神奇的。我们依据数学科学的对偶原理，倍角与分角对偶相生相克，同时考虑到三角形内外角互补与三分内角和之值等于60°等关系，纯粹只利用尺规三分任意弧及其所对的圆周角，可以随意而精确地作出圆内接任意三角形三分角共生图．
（图贴不上，数学式子变形,下文略,在《解圆学》书中有详细的作图过程与证明）
关于三分角定理中还蕴涵有如下的一条新的线共点性质：
△ABC与△A1B1C1对应顶点连线AA1、 BB1、 CC1 三线共点。
二 古老神秘的三等分任意角问题
三等分任意角问题,是个古老神秘问题．它吸引了古今中外无数的数学家、学者为之绞尽脑汁。这个问题说是早就已经得到了解决，结论是“尺规作图不可能”问题。
1. 正三角形及其外接圆中的点共线性质
对三分任意角问题的分岐意见无意评述．这里只想根据三角形垂心线定理及其逆定理所具有的普遍几何意义,研究其广泛的应用问题．
前面已经研究过三角形外接圆上任一点与三角形垂心线之间的一一对应规律．由此，还可得到如下正三角形及其外接圆中三三点共三线定理：
定理：正三角形外接圆上任一点以相应垂心线为轴的对称点,与三对称圆圆心及三对称点对应三点共线．(图与证明略).
正三角形及其外接圆中三三点共三线定理的逆定理为真。
三 三等分任意角问题
三等分任意角的作图与証明法
1．三等分任意角作图法
1 以已知任意角顶点为圆心任意长为半径作角所对的弧；
2 任取一点为圆心，以等长(同为1)为半径作圆、圆内接正三角形及其外心三对称圆；
3 作这个正三角形外接圆的异形线及三分角线(只须作该线的六分之一)；
4 以已知角所对弦为直径作异形线，同心圆弧交异形线于一点；
5 过正三角形垂心与这个交点作直线,内交相应的一(个)对称圆于一点,该点到垂心的弧长即为已知角所对弧长的三分之一．
２．三等分任意角証明法
1 由三分角定理逆定理証明以已知角对弦为直径作异形线同心圆弧交异形线于一点,该点即为唯一对应正射线在对应垂心线上的正射点；
2 証明唯一对应的垂心线与一对称圆的内交点到垂心的弧长为已知角所对弧长的三分之一．从而完成对已知角的三分问题．
上述三分规的制造方法和使用方法是十分科学的,只要我们制作的三分规越精确,则三分任意角就越精确,从理论上讲其精确度是相当高的，误差要多么小就可以多么小．我们估计三分任意角本身可能还会有某种特殊意义．
3. 圆内桃形三分角线 (略)
* 不是吹牛,不是作秀,已有书作证, 期盼专家、大师们予以帮助。
坚信: 今天专家鉴定,明日后人评说!
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狗仔卡
发表于 2008-9-23 17:24
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