约翰·冯·诺依曼的早年生活、洛斯阿拉莫斯国家实验室时期及电子计算机之路

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约翰·冯·诺依曼的早年生活、洛斯阿拉莫斯国家实验室时期及电子计算机之路



作者 |  Peter Lax（美国纽约大学科朗数学研究所(CIMS) 教授）
来源 |  《数学传播》，2016年40卷3期，原载台湾工业与应用数学会电子报第三期

我之所以撰写这篇文章, 有以下两个目的: 第一是要描绘冯·诺依曼丰富的思想、 研究的本领以及他的才智, 第二是要叙述他的信念以及行动是如何刻画未来。在他逝世后约六十年的现在来看, 他预知电子计算机时代来临的重要性更是日益显现。

冯·诺依曼不仅仅只是数学家。他的天赋在于将数学抽象概念及数学方法结合成不平凡的常识, 一切他对事物的想法都能观察到。如果冯·诺依曼活得更久一点, 他一定能够获得阿贝尔奖、 以及诺贝尔经济学奖、 诺贝尔计算机科学奖和诺贝尔数学奖等殊荣。这些诺贝尔奖项虽然还不存在, 但是总有一天终究会设立。所以我们现在正在谈论一位诺贝尔奖三冠得主, 如果我们考虑他在量子力学基础的重大贡献, 也许该改成三点五。但我有点离题了。

一如往常, 故事总是伴随着英雄的诞生而展开。冯·诺依曼于1903 年12 月28 日出生在匈牙利的布达佩斯, 一个中上阶级的犹太家庭中。他的父亲Max 是个银行家, 家中共有三子, 他排行老大。当时十九世纪末到二十世纪初的布达佩斯正值一个充满活力与希望的年代, 在John Lukács 撰写的书《布达佩斯1900》中有详细记录这段相关的历史。而这个时期对数学与物理学界而言更是如此。例如Fejér、the Riesz brothers、Pólya and Szego、 Haar、 Polányi、 von Kármán、 Szilard、 George Hevesi、 Wigner、 Teller、 Dennis Gábor、 George Békesy 等人都是在这二十五年间出生的。学校系统在von Kármán 的父亲改革后, 对于发掘资赋优异孩子的敏感度是相当敏锐的, 因此Rácz László (福音高级中学的数学教师, 该校一半以上的学生为犹太人) 能一眼就看出冯·诺依曼的非凡天赋便不令人意外了。老师通知他的家长和József Kürschák (匈牙利数学界的贤明长者), 并安排年少的冯·诺依曼接受专门教育。他第一位私人教师是Gábor Szego。Gábor Szego 本身也是一个天才, 后来先后于柯尼斯堡大学和史丹佛大学任教, 他的妻子总喜欢回忆Szego 第一次与冯·诺依曼见面那天, 回家时眼眶中含着泪水的情景。Szego 前往德国后, Michael Fekete (后来任教于耶路撒冷希伯来大学) 成为冯·诺依曼第二位私人教师。1922 年, 正值19 岁的冯·诺依曼与Fekete 发表了他生平第一篇论文, 论文主题为超限直径。此后, Fekete 一生专注致力于超限直径相关主题的研究。

神童在数学界并不罕见。除了是因为其拥有逻辑能力的大脑外, 最有可能的原因是因为在理解和解决数学问题时并不需要对广泛情境背景有所理解(这样的能力只能藉由世俗经验学习)。但这也产生了令人遗憾的后果: 许多数学家会回避非数学情境中的数学问题。当然并不是所有数学家都这样, 但如同冯·诺依曼一般全心全意研究现实世界中的问题者却是少之又少。根据他同为数学家挚友Stan Ulam 的说法, 他的思维不属于几何化, 也不是具象化的, 而是比较偏向代数性的, 他可以一方面运用代数符号描述问题自如, 另一方面能够阐释各个代数符号在不同应用所代表的意义。这可能可以解释为什么他拥有能在众多不同的环境中思考的能力。

结束高中课程后, 他的父亲认为以数学家作为志业很不切实际, 而觉得修读化学工程较有前途, 于是年轻的冯·诺依曼便前往柏林, 两年后又转往苏黎世。在此他认识了两位重要的数学家: George Pólya 和Hermann Weyl (直觉论领导者之一), 更准确地说应该是他们两位认识了冯·诺依曼。1926 年他拿到在苏黎世联邦理工学院的学位, 同时期他也注册于布达佩斯大学攻读数学博士, 即使出席率低仍顺利完成学位。毕业时, 他还不到23岁。

冯·诺依曼在柏林准备苏黎世联邦理工学院的入学考试, 并在1923 年以杰出的表现通过。同样的考试, 20 年前的爱因斯坦却没能通过。同一时间冯·诺依曼开始着手他的数学博士学位论文, 研究一项看似偏向技术层面实际上却有哲学深度意涵的主题, 论文题目是《超限序数序论(The Introduction of Transfinite Ordinal)》, 后来以《集合论的公理化(An Axiomatisation of Set Theory)》为题发表。这篇论文的目的在于解决一个正在逐渐酝酿成形的数学危机, 以下是冯·诺依曼对此问题的描述 :

“在19 世纪末和20 世纪初, Georg Cantor 的集合论(抽象数学的一个新分支)导致了难题: 某些推论会产生矛盾。虽然这些推论并不是集合论中核心的部分, 但在某些正式标准检验下总是很容易被发现, 尽管如此, 却不知道为什么这些推论的正当性比同一理论中成功的部份还小。”

这个危机让数学界分成了两派: 直觉论及形式主义。直觉论者会严格的限制无限集合的操作方式; 形式主义者则认为本着欧几里得的主张, 适当的公理化让我们能够用想要的方式操作无限集合, 同时能免于矛盾。形式主义的领袖是哥廷根大学的David Hilbert, 他是柏林数学界的重要教授, 为Erhard Schmidt 的指导老师。Schmidt 曾经帮助年轻的冯·诺依曼。数年后, 在1954 年, 即使此时的冯·诺依曼早已不需要为撰写数学学术论文费心, 加上行政工作繁忙, 已有一段时间不再动笔, 但为了表示对Schmidt 的感谢, 他特别为一纪念文集《Festschrift》撰稿称颂年迈的Schmidt。

他在集合论基础上的研究吸引了年迈的Hilbert (任职于哥廷根大学)的注意, 冯·诺依曼逐渐成名让他获得洛克菲勒基金会赞助, 前往哥廷根大学研究访问一年。当他抵达哥廷根大学后, 发现当时最急需解决的研究主题不是集合论, 而是新发展的量子力学。海森堡和薛丁格所提出的新理论需要使用数学去厘清, 此后在他有生之年, 冯·诺依曼断断续续地研究相关的数学问题。他提出的希尔伯特空间中的无界自伴算子理论(unbounded self-adjoint operators in Hilbert space)。该理论提供量子力学令人满意合逻辑理论基础, 这个理论同时也是现代数学的奠基石。此外, 他不仅建立理论基础, 同时也展示如何将理论应用于有趣特定的物理问题上, 这也是典型的冯·诺依曼作风。

此时冯·诺依曼声誉卓著, 他先后在柏林大学和汉堡大学担任讲座, 后来又受邀至欧洲各地演讲。不过在1920 年代末期, 他便着眼于美国, 部分原因是欧洲缺乏工作机会, 他比大部分人都还早预见这样的趋势。因此在1929 年普林斯顿大学邀请他讲授数学物理, 特别是量子力学新兴领域时, 他便欣然地接受。此后四年, 他便将他的时间平均分配给普林斯顿以及德国。

这几年间有一件对冯·诺依曼来说相当重要的科学事件: Godel 证明形式主义的希尔伯特计画(the Hilbert program) 注定会失败。1931 年Godel 证明除非依靠更强的逻辑系统, 否则任何逻辑系统绝不可能被证明免于矛盾。这个证明结束了冯·诺依曼公理化和集合论的研究, 但他的努力并没有白费, 反而帮助他构想出电子计算机应有的架构。第二项对未来有决定性影响的事件则是Chadwick 于1932 年发现了中子的存在。

前面所说时间均分的完美安排在1933 年突然地结束了, 第一是因为希特勒崛起, 第二是因为冯·诺依曼同时被任命为普林斯顿大学及新创立的普林斯顿高等研究院教授。这是一个非常受人尊敬的职位, 爱因斯坦和Hermann Weyl 也是其中一员, Godel 随后也加入行列。

1930 年代中期是冯·诺依曼多产的时期。他和Francis Murray 合作完成了他最历久不衰的发现: 算子环理论(a theory of rings of operators), 现在称为冯·诺依曼代数。同时, 逐渐累积的政治危机让他了解战争一触即发, 并且无法避免。他同时也预见战争会导致欧洲犹太人的毁灭, 严重程度如同第一次世界大战时, 土耳其政府毁灭亚美尼亚人的规模。

因此, 当他敏锐地发现战争即将爆发, 便思考如何利用他的数学长才协助美国备战。当时, 战争中与数学最有关连的便是弹道学。阿伯丁试验场距离普林斯顿大学不远, 因此他积极投入爆炸和冲击波的研究。在这过程中他差点就成了军械部的陆军中尉, 只可惜他的年龄稍稍超过35 岁的年龄限制, 因此战争部长不愿破例任命。拜此之赐, 冯·诺依曼免于军旅生涯的束缚, 可以徜徉于各式各样的研究当中。他被指派至各种委员会, 并且积极参与相关的讨论研究。很快地, 他致力研究实用应用数学的名声远播, 如同15年前他以优秀纯粹数学研究而闻名一般。推崇他的人包含军械部的Simon 将军和科学研究与发展办公室的领导者Vannevar Bush。1943 年初时冯·诺依曼被派至英国协助反潜作战和空中战争, 在此他贡献所学并同时在英国习得关于引爆的相关知识, 获益良多。没有多久他便活用这些新习得的知识投入一项重要的战争计画: 制造原子弹。更准确地来说, 是制造核弹。

当冯·诺依曼到达洛斯阿拉莫斯国家实验室时, 发现有许多重要急待解决的问题, 他必须逐一克服这些问题, 才能成功制造钸弹。钸同位素会自发裂变并释出中子, 汇集中子数量的速度必须够快, 以达定量才能预先引爆任何炸弹。内爆是当时最有希望的汇集方法。因为冯·诺依曼具有高效炸药的经验让他安全并迅速地完成这个任务。这项成功的事迹连同许多其他在物理和工程问题上的技术贡献, 为他建立起“顾问”的声誉。实验室中许多赫赫有名的人也都相当推崇他, 这些人包含Oppenheimer、 Bethe、 Feynman、 Peierls、 Teller 等人。

核子武器的设计不能采用试误法, 每个提出的设计细节皆须用理论测试。其核心技术就是对非线性, 不可压缩流体方程式之求解。

冯·诺依曼深刻地了解到单纯使用古典数学分析方法不足以应付这项工作, 唯一能够解决问题的方法便是将其连续力学方程式离散化后并用数值方法求解。要有效率地进行这样的计算需要的工具有: 高速且可程式化的电子计算机、 大容量的储存装置、程式语言、一个微分方程的稳定离散理论、 再加上对各式各样离散化方程式快速求解的演算法。在战争期间及战后，冯·诺依曼皆投注相当大程度的精神在这些任务上。他敏锐地发现了电子计算方法是相当关键的, 不仅能用来设计武器, 也能解决众多且多元的科学及工程问题, 其中对气象与气候之理解特别引发他的兴趣。他了解到电子计算比费力的人力计算更能够解决实际问题。

在此我引用1945 年他在蒙特娄一场演讲的片段, 此时电子计算机仍仅只是他脑中的构想, 他说道: “我们当然可以继续提出更多例子来证明我们的论点: 因纯粹分析方法不足以解决非线性问题, 许多纯粹数学与应用数学的分支都很需要计算工具来打破现在所面临的困境。高效能高速计算能力可能可以为非线性偏微分方程领域, 连同其他正面临困境或仍无法探索的各种领域, 提供推动数学各方面实质进展而需要的关键启发。以流体动力学为例, 从直觉论开始至今已逾两个世代, 虽然为了突破该领域的僵局已投入许多一流的数学贡献, 但这些关键点都仍未出现。在极少数的情况下, 这些关键点出现了, 却是源自于物理实验的结果。现在我们可以让电子计算变得更加有效率、快速且更有弹性, 这样使用这些新的电子计算机提供所需的关键技术便是有可能的, 而且最终可能促进分析的重要进展。”

大家都知道冯·诺依曼是现代电子计算机之父, 但不是每个人都知道他也是计算流体力学之父, 以下我将仔细地介绍他在这个领域当中的两项贡献。

冯·诺依曼在差分方程理论发展中, 一项重要贡献便是提出稳定性的概念, 后来其中一种检验离散格式稳定性的方法是以他的名字来命名, 由此可知它的重要性。他的陈述为: 这个检测方法只适用常系数的线性方程稳定性分析。但冯·诺依曼大胆断言, 它也能够推广到变系数系统的情况, 结果也果真如此。

冯·诺依曼在计算可压缩流上最具有深度的想法便是震波捕捉法(shock capturing)。在可压缩流中, 震波以及不连续解的现象是必然发生的, 该法把流场中所有点都视为普通的网格点, 震波在网格点上是以急速变化之离散近似解来表示, 而非流场内不同区域的边界解。在1944 年进行的数值实验中, 冯·诺依曼成功地研究一个一端被封闭的管中的气流问题。当气流进入管中, 靠近封闭墙附近气体开始向气流相反的方向运动。质点的移动路径在震波附近突然改变。他观察到在震波附近的质点路径是摆动的, 这表示该处的速度场在振荡, 这些非物理性振荡发生的原因, 是因为他所采用的差分法具有消散的性质所造成。随后在一篇与Richtmyer 合作的论文中, 他们引进人工粘性项以消除因不稳定数值方法所造成的振荡。

如果冯·诺依曼活到今日, 不知道下列哪个事件最令他吃惊呢？是人手一台且物美价廉的个人电脑？网路的发明？电脑和计算科学现今的发展？气候的数值计算至今仍然一个难题？基因解码？人类已经登陆月球？苏联的解体？还是地球还没爆炸呢？

冯·诺依曼的早逝是数学界和科学界的不幸, 让我们失去了一位天生的领导者和雄辩的发言人, 也使得年轻世代无缘遇见20 世纪中最令人钦佩的知识份子。