求多项式 z^9+3z^5-8z^3+2z+1 在区域 { z∈C｜1＜｜z｜＜2 } 中零点的个数

有好好生活吗

\(求多项式z^9+3z^5-8z^3+2z+1在区域\left\{ z∈\mathbb{C}|1<|z|<2\right\}中零点的个数(此处计算零点的重数)\)

zytsang

这是 Rouché's theorem 儒歇定理的应用。令
\[f(z)=z^9+3z^5-8z^3+2z+1\]
根据代数基本定理，\(f(z)\) 在复数域上共有9个零点（算上零点的重数）。

令 \(g(z)=3z^5-8z^3+2z+1\)，当 \(|z|=2\) 时，我们有
\[|g(z)|\leq165<512=|z^9|\]
根据儒歇定理， \(z^9\) 和 \(z^9+g(z)\) 在 \(|z|<2\) 的圆盘内部有同样数量的零点。因为 \(f(z)=z^9+g(z)\)，所以 \(f(z)\) 在 \(|z|<2\) 的圆盘内部有 \(9\) 个零点。

令 \(h(z)=z^9+3z^5+2z+1\)，当 \(|z|=1\) 时，我们有
\[|h(z)|\leq7<8=|-8z^3|\]
根据儒歇定理， \(-8z^3\) 和 \(-8z^3+h(z)\) 在 \(|z|<1\) 的圆盘内部有同样数量的零点。因为 \(f(z)=-8z^3+h(z)\)，所以 \(f(z)\) 在 \(|z|<1\) 的圆盘内部有 \(3\) 个零点。

综上所述，\(f(z)\) 在 \(1<|z|<2\) 的圆环内部有 \(9-3=6\) 个零点（算上零点的重数）。

luyuanhong

楼上 zytsang 的解答很好！已收藏。